基于认知与生成的数学思维教学——以“三角形内角和定理”一节课为例.pdf

2 叭4 年3 月案例点评 基于认知与生成的数学思维教学冰 以 三角形内角和定理 一节课为例 江苏省泰州市教育局教研室钱德春 2 0 1 3 年5 月 泰州市以苏科版义务教育教科书 数学 以下简称教材 七年级下册1 2 2 三角形内角和定理 为课题 举行了初中青年数学教师优质课评比活动 笔 者记录了参赛教师具有共性的教学片断 师 课堂伊始 三角形内角和是多少度 生1 1 8 0o 师 你是怎么知道的 生1 用量角器量出3 个角再相加 师 那请大家试试 学生量得3 个角的度数并相加 师 3 个角的和是多少度 生2 1 8 0o 生3 1 7 9o 生4 1 8 lo 师 怎么会有不同的结果呢 生4 度量有误差 师 那还有什么办法呢 生4 把三角形的角撕下来拼在一起 师 好的 请同学们将课前准备好的三角形纸片拿 出来拼拼看 学生在座位上操作 师 谁将拼好的图展示给大家欣赏 生5 展示拼图1 我是这样拼的 将 A 移到 1 的位置 B 移到 2 的位置 我发现B C D 在同一直线 上 从而得到平角 由此发现三角形3 个内角的和是1 8 0 o 师 请问 看上去是平角 就能说明是平角吗 生6 不能 需要说理 师 很好 那么 怎样来说理呢 师引导学生画出图形 写出 已知 求证 结合图1 启发学生作出辅助线并板书证明过程 师 还有其他拼图的方法吗 生7 展示拼图1 仿照图1 由学生完成 教师点评 从教学活动看 有操作 有猜想 有分析 有推理 学 生也能熟练地运用定理解决问题 整个教学过程顺风顺 水 乍一看很 符合 课程标准理念 然而 细细观察学生 的思维活动及心理反应 笔者感觉还缺少了什么 诚然 由课堂上所展示的图l 1 这两种拼图 能顺利找到 证明思路 但这真实反映了学生的操作与思维过程吗 学生的所有拼图都能找到证明思路吗 他们的思维也都 顺风顺水 吗 8 a 感 l 竺 图l 其实 拼图l l 或是源自过往经验 小学已经初 步感受过 或是对课本图形的模仿 教材上正是这样呈 现的 然而 有不少学生还拼出了图1 图1 等图形 这部分学生因找不到证明方法而处于困惑与无奈之中 不知教者是毫无察觉还是视而不见 居然没有任何回 应 或许担心 纠缠 于其他拼图 花费时间多 难以完成 教学任务 殊不知 这种教学只考虑了教师的 教 而忽 视了学生的 学 以教师的 精彩表演 掩盖了学生的困 惑 纠结和无奈 美国心理学家斯腾伯格的成功智能理论研究表明 教学处理与自身能力相匹配学生的成绩显著优于不相 匹配学生的成绩 教学必须以学生的认知基础为出发 点 以学生的思维障碍为突破点 以课堂的 死结 与 意 本文系江苏省规划课题 初中数学 情理交融 课堂教育的实践研究 E C 2 叭3 0 1 1 的研究成果 初中版十 善幺 一万方数据 例点评 2 0 1 4 年3 月 外 为生长点 适时激发学生的 愤悱 回应学生的思维 困惑 通过问题的生成 解决与延伸 引导学生暴露和修 正思维进程 感受数学思想方法 获得能力的发展与心 智的健全 一 学生的认知基础 教学的出发点 奥苏贝尔认为 影响学习的唯一重要的因素 就是 学习者已经知道了什么 1 1 教师在教学设计时必须理 清以下问题 1 学生已经知道了什么 2 本节课教学的重点 难点是什么 3 学生拼图的意图是什么 到底能拼出哪些图 形 4 学生的真实思维过程是什么 学生在小学阶段已经通过测量和拼图直观感知了 三角形内角和等于1 8 00 本节课的重点是从学生已有 知识经验出发 通过拼图活动启发学生添加适当的辅助 线 为演绎推理 即证明 寻找思路与方法 引导学生的 思维从合情推理向演绎推理过渡 将直观感知的结论用 演绎的方法加以证明 如何添加辅助线是教学难点 据 此 设计如下问题串 问题l 三角形内角和是多少度 问题2 你是怎么知道的 学生可通过量角器测量 撕纸拼图发现结论 问题3 你是怎样拼图的 问题4 小组交流你们的作品 都有哪些拼图 你能 将这些拼图分类吗 问题5 观察你的拼图 能得到三角形3 个内角和是 1 8 0 0 吗 问题6 怎样说明 三角形3 个内角和是1 8 0 0 呢 问题7 你是如何想到添加辅助线的 在学生拼图时 要给足时间 并充分展示学生的作 品 再引导学生进行图形分类 从而归纳出图1 中 一 共5 种图形 二 学生的思维障碍 教学的突破点 数学在其发展过程中 走过漫长而曲折的道路 它 不断修正过自己的进程 避开过弯路 绕过死胡同 重新 明确前进的方向 2 学生的思维障碍往往是教学的难 点 也是教师必须寻找的突破点 教师要围绕学习重点 难点精心设计活动 为学生的再发现 再创造提供条件 一十 7 擞叩初中版 充分展开活动过程 不断引导学生修正思维进程 1 学生的思维障碍在哪里 仔细观察教学过程 发现 学生的思维障碍主要有 如下两点 1 如何将图l 1 与已有的模型 平角 和 平行 线 建立联系 2 对图1 和1 只有直观结论而找不到证明思路 2 如何突破思维障碍 对于上述问题 1 根据拼图的启发添加适当的辅 助线 由几何直观向演绎推理转变是关键 可以设计如 下的问题链 从拼图上看 3 个角组成了平角 就能说明3 个内 角的和一定是1 8 0 0 吗 说明证明的必要性 如何证明呢 哪些拼图能给我们以启发呢 引导学生构思辅 助线 如无学生作出则进一步启发 如图2 既然我们不能 判定B C D 是否一定在同一 直线上 即组成平角 是否 可以换个角度思考 先构造B 一个平角 怎么构造 引导 E 2 一 D 学生结合图l 延长曰c 到D 构造平角从而出现1 8 0 如图2 1 是怎样的角 从拼图看是由厶4 移过 来的 启发学生在厶4 c D 内作 1 厶4 或过点c 作c E A 日 现在只要证明什么 即证 2 曰 至此 图1 得以解决 对于图 1 学生是将 B 移至 1 的位置 C 移至 2 的位置 如图3 此时不D 妨先顺着学生的思路前行并提问 从拼图上看 你有何结论 曰 1 B 2 C A C 图3 进而又能得到什么 AD B c AE 曰c 要证明 鲋 曰 c 1 8 0 0 即证明什么 D A E 三点在同一直线上吗 理由是什么 显然这种思路难以继续 接着 引导学生换角度思 考 我们可不可以直接过点A 作B C 的平行线呢 这样 既 关注了学生的纠结 优化了学生的思路 也渗透了模型 思想 三 学生的 死结 意外 教学的生 长点 课堂教学中 学生的思维可能会因所谓的 死结 而 令 万方数据 2 0 1 4 年3 月案例点 走进死胡同 有时还会出现教者预设之外的种种 意 外 教师应该把这种 死结 意外 作为课堂生成性资 源 引导学生 在变动不已的课堂中发现 判断 整合信 息 随时把握有价值的 意外 展开 创造性的碰撞 推 动教学的发展 生成 3 从而形成新的教学生长点 使 数学课堂充满生命的灵动气息 1 必须解开的 死结 由图l 1 难以找到思路 以 图1 为例 如图4 根据拼图可知 D A B C 仿照上述方法 反向延 缸D 到E 同样可以出现平角 如何 证明 鲋C B 从课堂上学生的 反应看 这种方案看似是一个 死结 学生的思维似乎 进入了 死胡同 这时 应该花一定的时间引导学生去 思考 交流 从而解开 死结 这里的问题是 1 图中与厶B 相等的 肼C 不是 B 的内错角 2 与二曰处于内错角位置关系的角厶D A B 与 曰又 不相等 矛盾与冲突之处往往就是问题突破之处 教师应启 发学生将问题与已有模型建立联系 比如 由1 8 0 0 联想 到平行线 能否把问题转化为 平行线 的模型 至此 学 生自然会将 础日与 鲋C 的位置对调 问题很快转化 为图2 的情形 解决问题可以有多种方案 有时需要通过转换视 角 另辟蹊径 调整策略 从而 避开弯路 绕过死胡 同 达到柳暗花明的境界 有些问题暂时还无法解决 随着知识 思想和方法的积累 我们会有新的发现 新的 思路和新的策略 经过这个思维过程 我们不仅突破了 难点 解决了疑点 学生还收获了数学探究的途径 策 略 方法与规律 也积累了数学活动经验 更铸就了坚定 信念 直面困难 勇于探索的学习品质 2 邂逅美好的 意外 在探索证明思路时 有学生提出 如图2 延长曰C 到 D 由 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和 得到厶4 C D A 曰 而厶4 C D 曰甜 1 8 0 0 从而 得到厶4 曰 日c A 1 8 0o 这是一个很好的生成性教 学资源 然而教师却以一句 这属于循环论证 打断了学 生的回答 继而转入自己预设的方案继续前进 在课后 教师交流中得知 外角问题属于定理的推论 安排在后 面讲 课件已经设定好了流程 教师担心打乱了顺序无 法收场 学生对 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内 角的和 早已熟悉 但这个结论从哪里来的 与 三角形 内角和定理 是什么关系 学生认识并不清晰 当 意外 出现后 教师 不要急于否定或批评 而是要尊重 呵护 善待 构建新的对话 让学生说完自己的想法 4 1 接着 趋势追问 你是怎么知道的 学生必然会搜索枯肠 寻 找理由 此时学生的认知处于冲突状态 思维也高度集 中 学生的探究兴趣得以激发 教者趋势点拨 根据图2 的辅助线得 1 厶4 2 曰 从而有厶4 C D 厶4 B 这其实是在证明 三角形内角和定理 过程中得到 的结论 至此 学生对两个结论之间的因果关系一目了 然 这样增加了思维含量 提升了学生的思维品质 无痕 地渗透了 公理化 数学思想 智慧地将课堂的 意外 变 为教学的生长点 教学必须有预设 只有预设 才能把握住教学的目 标内容 重点和难点的突破方法 课堂教学的进程 教学 又是生成的 课堂应是向未知方向挺进的旅程 随时都 有可能发生意外的通道和美丽的风景 而不是一切都必 须遵循固定线路而没有激情的行程 叶澜先生语 所 以教学要从学生的学习状态和情感出发 抓住课堂上 的每一个契机 捕捉来自学生的课程资源 引领课 堂在师生互动 生生互动中迸发出思维火花 由此发展 自己的教育智慧 这既是教师应有的教学智慧 也是 对学生的尊重 教者不能只是按照自己的预设完成 规 定动作 还要给予学生足够的时间和空间 为学生的 再发现 创造条件 引导学生完成 自选动作 不只是 对学生出现的各种可能性给予恰当的回应 引导学生学 会 避开弯路 绕过死胡同 完成 再发现 的曲折过 程 6 还要关注学生在思维活动中的心理体验 参考文献 1 美 奥苏贝尔 教育心理学 认知观点 M 北 京 人民教育出版社 1 9 9 4 2 荷