线性代数(专科)复习大纲.doc

线性代数（专）复习大纲第一章 行列式一、考试要求及内容1了解行列式的定义，2理解行列式的k阶子式，k阶子式的余子式，k阶子式的代数余子式，3熟悉掌握行列式的性质4会计算行列式的值行列式的计算方法1）化为上（下）三角形行列式2）将行列式按某一行（列）展开3）将行列式按行（列）展开，即利用拉普拉斯定理注意：对角线法则只适用2.3阶行列式.二、练习题1. 计算下列行列式的值1）132+213+321333111222182、设，则3、行列式1-1-2201021=4、行列式322232223 = 5、 =6、1-1-2021201 =第二章 矩阵一、考试要求及内容1. 了解矩阵的概念。 2. 掌握矩阵的加（减）运算。数乘矩阵，矩阵的乘法及矩阵的转置。注意：一般1） 2) 3）或3. 理解方阵行列式的概念，方阵行列式的性质。4. 理解逆矩阵的概念，可逆矩阵的性质，掌握矩阵可逆的充要条件，会求可逆矩阵的逆矩阵，会解矩阵方程。逆矩阵的求法(1)公式法 二阶方阵 (2)初等变换的方法 （3）若A( )=E （ 或（ ）A=E） 则A可逆，且( )（4）特殊形式矩阵的逆矩阵 若 其中均可逆，则5. 理解矩阵的秩的概念，有关秩的结论，会求矩阵的秩有关秩的结论1) 2）3) 4) 可逆可逆 则 矩阵的秩的求法 1)用定义 2）用初等变换方法将 （ ）阶梯形阶梯形中非零行的行数.二、练习题 1、设A =111012003 ，B = 110111 则AB = BTAT = 2. 设 求 3. 设 求4. 设 A = 311031003 求 ：矩阵 B ，使得AB-A=2B5. 设3阶方阵A且，求 6、设为阶方阵且，则 7、设，则8、设矩阵的秩为，则必有（）。（A）或 （B）且（C）且 （D），9、设n阶方阵,且满足,证明A+E可逆,并求.10、设 A = 411041004 求 ：矩阵 B ，使得AB-A=3B第三章 维向量一、考试要求及内容1. 理解n维向量的概念，向量的线性运算。2. 理解向量组线性组合，线性相关，线性无关的定义，会判定向量组的线性相关性线性相关性的判定方法判定向量组的线性相关性方法1. 用定义：令代入已知条件，解出若有非零解则线性相关若只有则线性无关方法2. 用矩阵的秩 令 或求出 若则线性相关若则线性无关特别是个维向量作成行列式 线性相关 线性无关3. 理解向量组的极大无关组的概念，向量组的秩的概念，会求向量组的秩。向量组秩的求法：求向量组 的秩 方法1 . 用定义(比较麻烦) 方法2. 用矩阵的秩 令 或求出 则向量组的秩二、练习题1. 判定向量组的线性相关性.2. 问k取何值时，向量组1=（1，1，1），2=（2，k，2），3=（2，3，4）线性相关，又为何值时线性无关？3. 求向量组1=（1，1，1，0），2=（2，3，4，2），3=（2，1，3，2），4=（3，2，4，2）的秩，并求出它的一个极大无关组。4.设向量组线性无关，又向量组 证明线性无关。5、求向量组，的秩。6、问a，b为何值时，向量组1=（a，1，1），2=（1，2b，1），3=（1，b，1）线性相关，又取何值时线性无关？第四章 线性方程组一、考试要求及内容1. 理解非齐次线性方程组有解的充分必要条件。2. 理解齐次线性方程组解向量的性质，基础解系的概念，会求齐次线性方程组的基础解系及通解。3. 理解非齐次线性方程组解向量的性质，解的结构会解非齐次线性方程组，会用基础解系表示非齐次线性方程组的全部解。对于永远有解至少有0解唯一零解有非零解当时 唯一零解，有非零解定理对于 当必有基础解系，且基础解系中含有个解向量对于 无解 有解 唯一解 有无穷多解二、练习题1. 设五元齐次线性方程组 ，系数矩阵A的轶为2，求它的基础解系含有解向量的个数2. 求齐次线性方程组x1+x2-x3+2x4=03x1+4x2+2x3-x4=05x1+6x2+3x4=0 的基础解系及通解。3. 求非齐次线性方程组x1+x2+x3+x4=63x1+4x2+6x3+5x4=85x1+6x2+8x3+7x4=20的全部解（用基础解系表示）。4、设元齐次线性议程组，系数矩阵的秩，则其基础解系含有（）个解向量。（A）（B）（C）（D） 第五章 方阵的相似对角形一、考试要求及内容1. 了解特征值，特征向量的概念、性质。会求方阵的特征值与特征向量。2. 理解相似矩阵的概念、性质。3. 掌握方阵的充要条件，会求可逆，使得为对角形。4. 了解向量的内积的概念，向量长度的概念，会将非零向量单位化，掌握施密特正交化的方法，了解正交矩阵的概念，性质。5. 理解实对称矩阵的性质，会求正交矩阵，使得为对角形。特征值的性质设为的特征值 则的为的特征值若 可逆 则为的特征值 为的特征值施密特正交化的方法 设线性无关 令 则,为正交向量组再单位化 令, 则,为标准正交向量组实对称矩阵属于不同特征值的特征向量是正交的二、练习题1. 设三阶方阵A的3个特征值为1，2，