模拟和数字_IIR_滤波器的CAD.pdf

华东师范大学学报 自然科学版 一九八六年第四期 J ourna l o 卫Ea st C h 妞aN o r m a lUniv er sit y Na t u r alS eienee Ed itionN o 4 1 98 6 模拟和数字侄 置R 滤波器的CAD 毕厚馥董美娣 电子科学技术系 摘要 本文以布特沃思型滤波器为例 提出了统一设计模拟和数字 I I R 滤波器传递函数的 CAD 方法 并给出了程序设计框 图 设计举例和结果 只要给定滤波器的特性指标 通带最大衰减A 二a I 阻带最小衰减迁二 i 通 带边界频率 几 阻 带边界频率九及采样频率九 就能迅速得到滤波器传递函数的系数 幅频值 相频值及幅 频曲 线 运用计算机设计方法 避免了设计过程 中的繁复计算 大大加快了设计速度 并提高了设训精 度 关键词 传递函数 双二阶 模拟和数字滤波器 双线性变换 无限冲激响应 目lJ言 滤波器是一种具有选频特性的装置 无论在现代通信或信号处理方面 如电话 电视 雷 达 声纳和人造卫星等 滤波器都是十分重要的部件 滤波器按被处理的信号是连续的还是离散的 可分为模拟滤波器和数字滤波器 数字 滤波器按冲激响应时间特性的不同 又可分为nR和F 工 R二大类 l l R数字滤波器的设计 要点是 首先应设计一个相应 的参考模拟滤波器 再用一定的变换方法 将模拟滤波器转换 为数字滤 波器 本文采用常用的双线性变换法 对于模拟传递函数 较方便的设计方法是采用级联型 将传递函数以低阶 一阶和 或二 阶 函数相乘的形式出现 高阶函数分解为低阶的原则是 当传递函数万 习 的分母最高阶 为偶数时 可分解为若干个二 阶 因式的乘积 H 习 1 1 万 S O J习 马 N声 A 尽 B J 肠 9 n 百 1 当传递函数 H 国 的分母最高阶 为奇数时 可分解为若干个二阶因式和一个一阶因 式的乘积 二二 共万 习 G J习 D 0 月十 D 工 又乃 巨 号 只 几r 一 了 二 二 二 r 一 7 刀乙 J诬孜刀 1召团 十丑 汀 十万 J 丑 汀十五 肠一1 2 1 2 式中的 为滤波器的阶数 万人必 D J N A J B 0 D A 和B 数的系数 这些系数可以通过 2 为低阶基本节函 本文于 1 98 5 年 1 1 月1 3 日收到 一 f 立又 汀夕一 11 万 一下产 J 口一O J 3 求得 习 为H 了 酌 在尽左半平 面的极点 共辘对 极 点或负实极点 一般是先求归一化传 递函数H J武8 再反归一化得到H J 必 所以模拟滤波器的设计 先应求出基本节函数的 极点 为此 必须首先求出滤 波器阶数 数 字滤波器的设计 应 当根据特性指标 求出参考模拟滤波器的传递函数 对于双线性 变换 法 为了防止变换过程中的非线性失真 在设计参考模拟滤波器以前 应 当先对送入的 频率指标进行修正 即予畸 对修正后的频率再 进行模拟滤波器 H S的设计 然后用双线 性变换公式代入 H 必 即 可得到数字滤波器的传递函数H Z 在数字滤波器的设计过 程中 也 采用将高阶函数化为基本节函数 的方法 其 中二阶节函数的形式为 H J 幼 若Y 0 Q o 则为 一阶节函数 R 十住 么一1 Y J Z 一 1十 1 J么一王十 Q J Z 一 径 下面以布特沃思型 简称B型 滤波器为例进 行设计 模拟滤波器的设计 求滤波器的阶 数 对于 B 型滤波器 2 了 5 口 n 了 碑百 其中 为滤波器 的阶数 L PF 的衰减函数 A B 为 F 曰 p 1 一10 二 IO t l 戈常 j 甲10 0 ma l 一1 0 田 旬 P 功 动习 时 A 尸 A 时 A 妇 月 可推得L P F的 是 甘zJ 2 才 朽 Ono 口 了 佗了 J 乙 10 0 1孟min 一1 10910一 J 气少 2109 1 其 中 口 仰 的 p 对于HP F 其辅助低通的阶数可用 口 代入 7 得到 对于 BPF BRF 其辅助低通的阶数可分别用 口 一 口召 田8 一0 日1 臼尸 一功尸1 份尸 一功尸1 田8习一功8 1 19 1 1 代入 7 得到 上述四种滤波器的衰减特性见图 1 人 丽 八 了 里 11臼 尸 土 田 A d n l Aa n t x 去 众 牛 臼s山p A ma x O 臼 51臼p一 留刃臼韶 止 创尸4留 s一 留韶 勿尸2 L O f J叮 e s w e 工 I 十 私人 h a 嘛 汽 月滋 图 1 求传递函数的极点和归一 化基本节函数 对于 B型滤波器 极点 召 一 士了 曰了 J一 I L 瓮 ZJ 一 一 05 会 ZJ一1 13 争 尹 45 臼O J 1 2 3 二 临 归 一化基本节函数 共扼对 丑 J 二 召 n 了 1 了二匆丁 万获葱万歹泛 单极点 1 2丈 v 弋 心 二 侧r 口呀 1 求反 归一化基本节函数及H S 对已求得的H二 厉 用相应 的关系式代入 可得反归一化基本节函数 用 工 洲 O 口一S 份P 代入 1 4 和 或 1句 并与 i 和 或 2 中的基本节函数比较之 即可得 到LPP 函数的系数 将基本节函数连乘 即求得L PF反归一化后 的H 召 16 各个基本节 用同样的方法 可求得Hr F BPF B R F的 H 司 仅所用的关系式分别 为 万PF 召 心全竺 51 1 81 9 BPP s 蕊 B声 BR F B I S 心 气了 一 芍 名一十田6 式 18 19 中的 2 0对2 2 泣 了 了吸 了 式 18 中的 式 1勿中的 吻 寸瓦扛 面雨 B 一 吻 一 二 1 B 一 p 一 1 由以上方法求得的基本节函数的系数为 L PF 尹 t z 56 9 2 了 010 011 一一 一一一一一一一一一一 芯N J听 凡 鳞凡 HPF 二阶 一阶 二 阶 马 A J O J 0 2口 1 D 一 s B 铆护 23 A J 1 D J一 1 B 一 p 1 一阶万M J 一 LN 一 0 0 一 O D J 0 A 一 2 1 B 早 s G J ID 0 A IB 一 尸51 BP F 反归一化后 一个二阶节变为二个二阶节 一个一阶节变为一个二阶节 具体的系数如 下 产 了尸 7 8 22 了 吸 了了 二阶 M I J 0 N 子 1 万 J 0 N J 1 c J 一B l 寸 儿 儿 式 一 牛 1 Q p c J 一 B 甲 全 2 多 A J 儿 Qp D月 O B J 监 D J 0 岛 览 式中 2 r 9 9 介O 了 z 1 u Q 甲瓜不万 丈又孑 2 口 一寸 二必 一4 若 2 J 1433 了 2 端 甲瓦砰石砰二骊瓣 2舫 了 丫 一一 份P创Q 其中 肠一ZBz o J B R P 变换与 一阶 一 C LN I A 尹 BPF类似 变换后的系数为 一 2 若十B呈 一BI D 0 一B B 言 二阶 探 t或 O 0 A 全 i Q O招 O A 全 Q D 若 刀 J 一 益 D J 端 B J 监 35 52 一阶 万 尹一 1 N 1 C 户 O A B D 若 B 若 3 6 数字滤波器的设计 修正频率 指标 将已给指标介 f 用予畸公式修正当f乡 儿 只p 儿 了 一 1 兀7 连 1 兀全 馆 二T成几 37 g t 二望Afp 其中 T 为采样周期 求 出参考 模拟传递函数 用 上面所述的求模拟传递函数的方法 对儿 几 刀二 a 和月 l 的指标求基本节函数 丑 二 S 变换 用双线性变换公式 2 巧 二一 笙 1一么 一1 1 Z 一土 代入H二 酌 并与式 比较之 可得到各个基本节的H Z 函数系数 R J G二 Q 共扼极点时 丑 D尸聋 2马T 十 4M J B J T差十2且 J几 4N力 G J ZD 望呈一SM J B JT 芝 ZA J T 4N J Y J一 D J T若一ZC JT 十4 M力 B J T差 ZA J T 十4N J P J ZB 望差 一SN J B 望理 2 几 4N 吼 B J鳄一 2且 JT 十 4N J B J望聋 十2月 JT 4N力 38 Y J P 和 单实极点时 对于 B PF B RF 单极点情况 H S 是二阶函数 所以它们也用上述共扼极点的关系 式 对于 L PF HP F单极点情况 R J 20 D J T动 2月 一 J B J几 召J一 D J T 一2氏 2且 J 十岛卫 Y J O P 了 B J几一ZA ZA了 B 助 Q 0 程序设计框图和实例 程序设计框图如图 2所示 58 注 入一 1 2 3 4分别表示低通 高通 带通和带阻 求模拟滤波器的传递函数万 歇和数字滤波器的传递函数 万 Z 的实例如下 例1 求 L P F 的 H 尽 和H Z 已知 Aa m 二 1 o d BA oi 4 0 Od B f P二 50 0H z f s 1500H z 望 1 666 67 x 1o 一58 由计算机运算结果为 万 29319弓2又107 3596 1 023 岁 2 公22 51 1 5 3 一卜1 29319 62丫10 7 5 3596 1 0 23 1 2931 952义10 7 H Z s习 5818 6 注8名 1 29 31952xIU矛 8 561727Ox10 一4 1 7123肠4 丫1 0一82 一1 十8 5617270丫1 0 一4 2 一 1一1 9 0414212 一1 0 90756 6792 一习 8 8134 705义1 0 一4 1 7626 941 x 10 一3万一1 8 8134705大1 0 一盛Z一 1一1 96 013022 一1 0 96365565 2 一2 54 2 109 2 1 0 4 x 10 一 十9 9102104 丫 10 一 Z 一1 1一0 9 4179 577么一 1 例2求HPF的 H s 和H Z 已知 A ma二 1 0dBA m 4 0 0dB 儿 1500H z 几 石00H z 几 1 66667x10一 s 由计算机运算结果为 万 H Z s 1 332 2189 x 10 s 十6 779 16 9 6 义 10 7 污 s 8 23 3 6713x10 吕 0 9549 0932 一1 9 0 981862 一立 0 9549 09322 一 1一1 9 0 079 0 62 一1 0 918846732 一 0 89607781一1 79215562 一1 0 896 0778 12 一 1一1 78368382 一土十 0 8006 27472 一 0 9356 6841一0 935668412 一1 1一0 871336822 一1 例 3 求 B P F 的万 s 和H Z 已知 A a二 ld B A n 4 0 0dB f 80 0H z f 1250H 介 石00 H z T 1 25又10一 由计算机运算结果为 丑 a 4 12788 38丫10 35 H Z 一 护 1 23874 78只10 35十 6 4219 18XI 7 2 5375913 丫1035 s 7 615127 x 10 2 426 908义107 3 7756807丫10 35 护 3 0 186792x103s 5 3727964又10 7 2 774303丫10 35 了不瓦面面万不万乎不硕澳顽万骊丽 3 2364922又1035 了不犷死蕊互万刃呵琴再蔽卿丽丽瓦 0 2259 9059一0 2 259 9 0592 一 1一1 00689 1 1 2 一1 0 865 321822 一 0 1 5828481一0 158284 812 一 1一1 5 5 629122 一立 0 9 0 5670762 一 0 19365692一0 19365692万 一 不万灭感骊扼蕊厂石万万沉互 示 贾 厄牙 百 0 15720318一0 157203182 一习 1一1 3665028 2 一工 0 74 9398052 一2 0 1697 19 96一0 16 971996万 一s 1一1 1691214么以十0 6 60560 07么 例 隶BR卫的H s 和H Z 已知 A ma 二 1 0dB A m n 4 0 0dB 知 介 200H z 40 0 H z f 望 10 0 0 H z 2 5 10 一与 由计算机运算结果为 H s 一 s 7 8956720火10 6 H Z 护十3 0978 313 x 10 3s 2 672785丫 一 ID 7 沪 7 895672 又 10 6 护十9 151 3019 义10饱 2 33246 0 只 I OG s 十 7 8956715 x 10 7 不犷丽丽雨万刃亩孚两飞顽藏面孤j了 0 52789 611一0 76707842 一1 0 52789 611 2 一 1一0 23 1851012 一1 0 5910 1 9692 一 1 0260623一1 49 0 95652 一1十 1 026 0 623 2 一 1一1 71 19392 一1 十0 83114189 2 一 0 4 8 849499一0 70 9825162 一1 0 4884 94 992 一 一 一1二石 二 诬g石 4百 i范了 二不万万百 6丽系 元玄花一一 0 8154 5407一1 18492472 一1 0 8 154 54 072 一 1一1 323 5252 一1 0 49230 784么门 计算机 运算结果见附录 本文得到计算机系俞德勇 张志杰同志大力支持 在此深表谢意 参 考文 献 1 毕厚馥 全极点有源滤波器的 CAD 华东师范大学学报 自然科学版 1 9 8 4 3 2 a S m uel D S七 ealn s D匆店云 a l 公乞g兄a Z且协Z到s铭 197 5 3 HA R RYY 一 F L AM 刁朋l og a心 D娜a tz凡渝 Z殆习匆二助己丑a 6乙 咖 几 蜘 毛u i c t e一Ha l l I N O Eg nl ew x d 011任s N ew J er s ey 19 79 AC o m p u t er AidD se i g no fA na l o g na dDi gi t a l IIRFil t er B l H OUPU 刀即口对哪朗 t fo刃 日 云 州刀云 D ONG M EI ID a刃 d T a k i n g uB 七七 r w o r t hifl 七 e rasa n e x a m pl e thio a r 七iclep reoen七 a m e毛 h o d o fC AD f o r tr an f e r f u ndion o f ana log an ddiig七 a li f lte r a d n giv e s 七h e blo e kdi a g r m 七h e d朋ig ning exa mPl e s an d reoul七 Giv en 毛h e ifl协 r opeeii fea七son 孙田 ba n d edge f r equeney f 七opband e dg e fr equen