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3 3 3导数的实际应用 第三章 思维导航1 生活中 我们经常遇到面积 体积最大 周长最小 利润最大 用料最省 费用最低 效率最高等等一系列问题 这些问题通常通称为优化问题 解决这些问题的基本思路 途径 过程是什么 优化问题 新知导学1 在解决实际优化问题中 不仅要注意将问题中涉及的变量关系用函数关系式给予表示 还应确定函数关系式中 的取值范围 2 实际优化问题中 若只有一个极值点 则极值点就是 点 3 解决优化问题的基本思路 自变量 最优 答案 C 点评 利用导数求函数最值时 令y 0得到x的值 此x的值不一定是极大 小 值时 还要判定x值左 右两边的导数的符号才能确定 答案 D 答案 C 解析 如图 设底面边长为x x 0 4 在周长为l的矩形中 面积的最大值为 面积 容积最大问题 方法规律总结 1 利用导数解决实际问题中的最值的一般步骤 1 分析实际问题中各量之间的关系 找出实际问题的数学模型 写出实际问题中变量之间的函数关系式y f x 2 求函数的导数f x 解方程f x 0 3 比较函数在区间端点和极值点的函数值大小 最大 小 者为最大 小 值 4 把所得数学结论回归到数学问题中 看是否符合实际情况并下结论 其基本流程是2 面积 体积 容积 最大 周长最短 距离最小等实际几何问题 求解时先设出恰当的变量 将待求解最值的问题表示为变量的函数 再按函数求最值的方法求解 最后检验 已知矩形的两个顶点位于x轴上 另两个顶点位于抛物线y 4 x2在x轴上方的曲线上 求这个矩形面积最大时的长和宽 解析 如图所示 设出AD的长 进而求出AB 表示出面积S 然后利用导数求最值 利润最大问题 解析 1 由题意得 本年度每辆车的投入成本为10 1 x 出厂价为13 1 0 7x 年销售量为5000 1 0 4x 因此本年度的年利润为 p 13 1 0 7x 10 1 x 5000 1 0 4x 3 0 9x 5000 1 0 4x 1800 x2 1500 x 15000 0 x 1 方法规律总结 利润最大 效率最高等实际问题 关键是弄清问题的实际背景 将实际问题用函数关系表达 再求解 费用 用料 最省问题 分析 设出CD的长为x 进而求出AC BC 然后将总费用表示为变量x的函数 转化为求函数的最值问题 令y 0 解得x1 30 x2 30 舍去 当x30时 y 0 所以当x 30时 取得最小值 此时AC 50 x 20 km 即供水站建在A D之间距甲厂20km处 可使水管费用最省 某工厂要围建一个面积为128m2的矩形堆料场
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