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矩阵的概念与基本运算 称为方程组的增广矩阵 称为方程组的系数矩阵 设有线性方程组 线性方程组与矩阵之间可建立一一对应的关系 定义1由m n个数aij i 1 2 m j 1 2 n 称为m n矩阵 排成的m行n列数表 记成 某学校印刷厂印制甲 乙 丙三种类型的作业本 一 二月份的生产与销售情况如下表 矩阵的概念 行矩阵 行向量 只有一行的矩阵 等 列矩阵 列向量 只有一列的矩阵 等 几种特殊形式的矩阵 等 零矩阵 所有元素都为零的矩阵 简记作 方阵 行数和列数相等的矩阵 如 等 二阶方阵 三阶方阵 n阶方阵 如 等 对角形矩阵 主对角线上的元素不全为零 其它的元素都为0的方阵 简记作 单位矩阵 主对角线上的元素都是1的对角形矩阵 简记作 如 等 上三角形矩阵 主对角线下方元素全为零 上方的元素不全为0的方阵 如 等 下三角形矩阵 主对角线上方的元素全为零 下方的元素不全为0的方阵 同型矩阵 有相同的行数与相同的列数的两个矩阵 称为同型矩阵 如 只有矩阵与矩阵同型 注意 同型是相等的必要条件 相等矩阵 若两矩阵同型且对应位置上的元素相等 则称相等 记作 如 关系式 矩阵的基本运算及性质 有两种 一矩阵的加法 定义2设a aij b bij 都是m n矩阵 矩阵a与b的和 例1 记成a b 规定为 两个印刷厂 矩阵的加法运算满足规律 2 a b c a b c 结合律 3 a 0 a 4 设a aij 记 a aij 规定a b a b 二数与矩阵的乘法 定义3 规定为 称 a为a的负矩阵 1 a b b a 交换律 易知 a a 0 例2若 那么 3a a3 数乘矩阵的运算满足规律 a b为矩阵 三矩阵与矩阵的乘法 定义4设a aij 是一个m s矩阵 b bij 是一个s n a与b的乘积记成ab 即c ab 规定a与b的积为一个m n矩阵c cij 其中 ab abm ss nm n 矩阵 例3 例4 例5 例6 一般来说 ab ba 若矩阵a b满足ab 0 n阶矩阵 称为单位矩阵 如果a为m n矩阵 那么 即矩阵的乘法不满足交换律 未必有a 0或b 0的结论 n阶矩阵 称为对角矩阵 两个对角矩阵的和是对角矩阵 两个对角矩阵的积也是对角矩阵 矩阵的乘法满足下述运算规律 矩阵的减法 数乘矩阵 如 注意 数乘矩阵时 矩阵的每一元素都要乘以常数k 等 数量矩阵 数乘矩阵的运算规律 矩阵的乘法 设 则 其中 左矩阵右矩阵a的列数b的行数 例如 无意义 ab存在 ba无意义 例题 计算下列各题 1 2 ab与ba不同型 3 4 5 6 2 当ab ba时 称a b为可交换矩阵 或称a b可交换 此时 a b必为同阶方阵 小结 8 7 矩阵的乘法运算不满足消去律 矩阵相乘的运算规律 一般地 或 若a是方阵
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