扩散的年龄结构模型

第三章 扩散的年龄结构模型3.1可扩散的种群模型另一个在种群动态中非常重要的现象是空间扩散。M.E. Gurtin在1973年考虑了年龄结构人口数量的扩散。这个模型被M.E. Gurtin和R.C. MacCamy进一步研究。Gurtin-MacCamy模型描述了一个生物种群栖息地中自由移动的情况 ，其中。如果我们用 表示以个体年龄，在时刻 ，在位置的密度函数。那么，满足下面的方程：（3.1.1）（其中 表示x的拉普拉斯算子）， （3.1.2）其中参数与前文提到的模型中的参数含义相同。是一个扩散常量，和。问题(3.1.1)-(3.1.2)在合适的边界条件下进行了研究。D.G. Aronson强调了动态种群扩散的重要性，包括了非线性扩散的情况。年龄结构人口数量种群动态的解的基本性质（例如存在性、唯一性、正值性条件，大时间渐进状态）已经被许多作者研究。我们将继续分析一些连续的人口年龄结构种群数量的扩散模型。假设一个给定的单种群物种自由移动在一个开放的和有界栖息地环境中。有足够光滑的边界.表示由个体年龄密度，（是种群的最大年龄。）与时刻和位置构成的函数。由积分 代表在时刻t和位置x下的年龄人口密度。则是在时间t位置x时的人口密度。 假设人口扩散遵循Nernst法则。通过曲面的通量人口S(是一个任意边界开放的子集)在时间间隔得到。当k0是扩散系数和是S的法向导数（向外的）。在年龄为a，时刻为t，空间为v条件下的的人口密度是。那么在年龄为a+dt，时刻为t+dt，空间为v的条件下的人口密度为。考虑死亡率。给出个人的死亡率取决于年龄a,时间t,地点x和函数 （在时间t和位置x下的总人口密度）。平衡定律表明,个体的数量在年龄a,时刻t,位于V,在时间段 (t,t+dt)的死亡数为： 现在除以dt，我们获得当（如果p足够光滑）Dp是增长速度。使用Ostrogradski公式，我们得到.因为 是任意开放的子集，所以我们可以得出这样的结论：种群动态可描述为，.如果领域出现了某种人口的注入（增长率为 ），则函数p演变为，（1）.（1） 式最合适的边界条件是：，（2）（均匀狄利克雷条件），描述了这样一个完全不适合人类居住的边界；，（3）（齐次纽曼条件）。当没有通过交换人口(迁移)；，（4）（a0）当边界上发生人口数量的迁移，并且这种迁移的人口数量和边界上的人口数量p成正比。我们就可以考虑一个非齐次状态对应（2）、（3）、（4）。所描述的诞生过程是“更新法”，这里是在t时刻的生育率。那么和在t时刻，位置x父母年龄为a时的新生人口成比例。这个速率取决于年龄a,时间t,地点x和P(t,x)（在时间t和位置x时的总人口。）还有一些生物种群与非线性扩散模型描述。这一切发生时,扩散系数取决于人口密度。在这种情况下人口动力学描述，.当是一个函数与某些属性。在本章中介绍的模型似乎是最现实的连续的年龄相关性与扩散种群动态。我们不得不提到每个数学模型都有其适用性区域以及其局限性。3.2 可扩散的种群模型的解的分析本节关注最重要的属性线性年龄相关性与扩散种群动态的解的问题。将会证明解的存在性和唯一性。也将建立一些线性模型的比较结果。考虑描述了人口年龄结构的演化与扩散的线性模型（3.2.1）假设满足以下假设为了解决（3.2.1），我们定义一个函数，属于，对于几乎所有的特征线方程S 并满足（3.2.2）对于特征线S，我们可以写成这里我们已经用，h连续是绝对连续在紧凑的子区间。由于，（3.2.1）的解满足，那么是有意义的。对于Sobolev空间的一些基本原理，我们可以参考附录l Adams。首先我们研究满足 （代替）那么可以得到一个基本的引理。引理3.1 在假设条件、下，式子（3.2.1）存在唯一解。如果 满足 以及如果则.是（3.2.1）的解，对应于.引理3.1的证明不再赘述，接下来我们证明可扩散的种群模型的解的存在性，唯一性和非负性。定理3.2如果系统（3.2.1）存在一个独一无二的解。那么这个解是非负的。证明 对于任意的我们规定，.满足假想，是一个增序列。 用表示(3.2.1)的解，相对应的。根据定理3.1，我们可以得到：（3.2.3）对于任意的，用Beppo-Levi定理得出：（3.2.4）和，这里是（3.2.1）对应于的解。由（3.2.3）和（3.2.4）并通过Lebesque定理得到：（3.2.5）我们将证明是（3.2.1）的唯一解。由于，我们可以得到对于任意，足够光滑，那么存在，这样（3.2.6）对于任意.现在通过解对于一开始的线性抛物线方程的连续依赖性，（3.2.5）和（3.2.6），我们可以推断出对于几乎任意特征线和，得到 在另一方面，满足（3.2.2）。还需证明对于，如果。这就足够表明如果。通过添加并积分，我们