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1 3 2 杨辉三角 与二项式系数的性质 一 新课引入 二项展开式中的二项式系数指的是那些 共有多少个 下面我们来研究二项式系数有些什么性质 我们先通过杨辉三角观察n为特殊值时 二项式系数有什么特点 1 杨辉三角 的来历及规律 杨辉三角 展开式中的二项式系数 如下表所示 11 121 1331 14641 15101051 1615201561 二项式系数的性质 展开式的二项式系数依次是 从函数角度看 可看成是以r为自变量的函数 其定义域是 当时 其图象是右图中的7个孤立点 二项式系数的性质 2 二项式系数的性质 1 对称性 与首末两端 等距离 的两个二项式系数相等 这一性质可直接由公式得到 图象的对称轴 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由于 所以相对于的增减情况由决定 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 由 二项式系数是逐渐增大的 由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的 且中间项取得最大值 可知 当时 二项式系数的性质 2 增减性与最大值 3 各二项式系数的和 二项式系数的性质 在二项式定理中 令 则 这就是说 的展开式的各二项式系数的和等于 同时由于 上式还可以写成 这是组合总数公式 一般地 展开式的二项式系数有如下性质 1 2 3 当时 4 当时 课堂练习 1 已知 那么 2 的展开式中 二项式系数的最大值是 3 若的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数最大 则n 例1证明在
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