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导数在实际生活中的应用之一 几何应用 例1 在边长为60cm的正方形铁皮的四角切去边长相等的正方形 再把它的边沿虚线折起 做成一个无盖的方底铁皮箱 箱底边长为多少时 箱子容积最大 最大容积是多少 例2 某种圆柱形的饮料罐的容积一定时 如何确定它的高与底半径 使得所用材料最省 练习 1 求内接于半径为r的圆的矩形面积的最大值 2 求内接于半径为r的球的圆柱体积的最大值 例3 有甲乙两个工厂 甲厂位于一直线河岸的岸边a处 乙厂位于离甲厂所在河岸的40kmb处 乙厂到河岸的垂足d与a相距50km 两厂要在此岸边合建一个供水站c 从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元 问供水站c在何处才能使水管费用最省 c x 导数在实际生活中的应用之二 物理上的应用 例4 在如图所示的电路中 已知电源的内阻为r 电动势为 外电阻 为多大时 才能使电功率最大 最大电功率是多少 r r 例5 强度分别为a b的两个点光源a b 它们间的距离为d 试问在连接这两个光源的线段ab上 何处照度最小 试就a 8 b 1 d 3时回答上述问题 照度与光的强度成正比 与光源距离的平方成反比 a b p x 3 x 例6 如图 质点p在半径为10cm的圆上逆时针做匀速圆周运动 角速度为2rad s 设a 10 0 为起始点 求时刻t时 点p在y轴上的射影点m的速度 n 角的弧度数为 2t 导数在实际生活中的应用之三 经济学中的应用 阅读课本p64链接 例7 生产某塑料管的利润函数为p n n3 600n2 67500n 1200000 其中n为工厂每月生产该塑料管的根数 利润p n 的单位为元 1 求边际利润函数p n 2 求使p n 0的n值 3 解释 2 中的n值的实际意义 例8 在经济学中 生产x单位产品的成本称为成本函数 记为c x 出售x单位产品的收益称为收益函数 记为r x r x c x 称为利润函数 记为p x 1 设c x 10 6x3 0 003x2 5x 1000 生产多少单位产品时 边际成本c x 最低 2 设c x 50 x 10000 产品的单价p 100 0 01x 怎样定价可使利润最大 例9 某产品制造过程中 次品数y依赖于日产量x 其函数关系为y x 101 x x
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