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数学归纳法及其应用举例 2 欢迎指导 什么是数学归纳法 对于某些与自然数n有关的命题常常采用下面的方法来证明它的正确性 先证明当n取第一个值n0时命题成立 2 然后假设当n k k n k n0 时命题成立 证明当n k 1时命题也成立 这种证明方法就叫做 课前复习 数学归纳法 1 第一步 是否可省略 不可以省略 2 第二步 从n k k n0 时命题成立的假设出发 推证n k 1时命题也成立 既然是假设 为什么还要把它当成条件呢 这一步是在第一步的正确性的基础上 证明传递性 反例 小结 重点 两个步骤 一个结论 注意 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫忘掉 思考 假设n k时 等式成立 就是那么 k2 k 1 2 k 1 k 1 2 k 1 1这就是说 如果n k时等式成立 那么n k 1时等式也成立 能否得出对任何非零自然数n 命题都成立 同学们可以自己验证n 1 n 2 n 3等时 命题是否成立 例题2用数学归纳法证明 证明 1 当n 1时 左边 12 1 右边 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 那么 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 例3用数学归纳法证明 1 第一步应做什么 此时n0 左 2 假设n k时命题成立 即 1 4 4 1 当n 2时 左 右 2 2 1 2 当n k时 等式左边共有项 第 k 1 项是 k 1 4 2 7 k 1 3 k 1 1 思考 3 当n k 1时 命题的形式是 4 此时 左边增加的项是 5 从左到右如何变形 证明 1 当n 1时 左边 1 4 4 右边 1 22 4 等式成立 2 假设当n k时 等式成立 就是 这就是说 当n k 1时等式也成立 根据 1 和 2 可知等式对任何n n 都成立 数学归纳法证明恒等式时 第二步证明中常用到哪些变形手段 等变形手段 复习巩固 小结提高 1 如下证明对吗 证明 当n 1时 左边 右边 等式成立 设n k时 有 思考小结 乘法公式 因式分解 添拆项 配方 那么 当n k 1时 有 即n k 1时 命题成立 根据 问可知 对n n 等式成立 既然不对 如何改正 第二步证明中没有用到假设 这不是数学归纳法证明 2 分组练习p661 2 3 3 小结 用数学归纳法证明恒等式的步骤及注意事项 明确首取值n0并验证真假 必不可少 假设n k时命题正确 并写出命题形式 分析 n k 1时 命题是什么 并找出与 n k 时命题形式的差别 弄清左端应增加的项 明确等式左端变形目标 掌握恒等式变形常用的方法 乘法公式 因式分解 添拆项 配方等 并用上假设民 可明确为 重点 两个步骤 一个结论 注意 递推基础不可少 归纳假设要用到 结论写明莫
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