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2 1 5向量共线的条件与轴上向量坐标运算 1 向量共线的条件 在学习向量概念的时候 我们已经定义了什么是向量共线 即平行 而我们要知道向量的共线和平行是同一个含义 它与直线的平行 重合不同 两个向量的基线是同一条直线或两条平行直线时 向量都称为共线 或平行 向量 它的表示方法是a b 而且由于零向量0的方向不定 所以可以把零向量认为成和任一向量平行的向量 1 平行向量基本定理 如果a b 则a b 反之 如果a b 且b 0 则存在唯一一个实数 使得a b 这样我们给出的这个平行向量的基本定理 根据它就可以判断两个向量是否共线了 实际上 给出的这种判断方法是一种代数的判断方法 后面在学习了坐标后我们在判断是否共线时也是根据这种方法来判断的 如a 2b 则a b c 2b 则c b 2 单位向量 给定一个非零向量a 与a同方向且长度等于1的向量 叫做向量a的单位向量 如果a的单位向量记作a0 由数乘向量的定义可知 a a a0或 例1 如图mn是 abc的中位线 求证 mn bc 且mn bc 例2 已知a 3e b 2e 试问向量a b是否平行 并求 a b 解 由b 2e 得e b 代入a 3e 得 a b 因此 a与b平行且 a b 2 轴上向量的坐标及其运算 规定了方向和长度单位的直线叫做轴 已知轴l 取单位向量e 使e的方向与l同方向 根据向量平行的条件 对轴上任意向量a 一定存在唯一实数x 使a xe 反过来 任意给定一个实数x 我们总能作一个向量a xe 使它的长度等于这个实数的绝对值 方向与实数的符号一致 这里的单位向量e叫做轴l的基向量 x叫做a在l上的坐标 或数量 x的绝对值等于a的长 当a与e同方向时 x是正数 当a与e反向时 x是负数 小结 实数x与轴上的向量a建立起一一对应关系 于是可用数值表示向量 轴上两个向量相等的条件 轴上两个向量相等的条件是它们的坐标相等 轴上两个向量和的坐标等于两个向量坐标的和 向量的坐标常用ab表示 公式 1 ab bc ac 设e是l上的一个单位向量 在l上任取三点a b c 则 abe bce ace 因为e 0 所以ab bc ac 公式 2 ab x2 x1 轴上向量坐标公式 即轴上向量的坐标等于向量终点的坐标减去始点的坐标 设e是轴x的基向量 向量a平行于x轴 以原点o为始点作 a 则点p的位置被向量a所唯一确定 则 xe 平行向量基本定理 数值x是点p的位置向量在x轴上的坐标 反之亦然 在数轴x上 已知点a的坐标为x1 点b的坐标为x2 由公式 1 得ab ao ob oa ob x2 x1 公式 3 ab x2 x1 例1 已知数轴上三点a b c的坐标分别是4 2 6 求的坐标和长度 解 ab 6 ab 6 bc 4 bc 4 ca 10 ca 10 例2 已知向量a b是两非零向量 在下列四个条件中 能使a b共线的条件是 2a 3b 4e且a 2b 3e
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