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抛物线的几何性质 结合抛物线y2 2px p 0 的标准方程和图形 探索其几何性质 1 范围 2 对称性 3 顶点 类比探索 x 0 y r 关于x轴对称 对称轴又叫抛物线的轴 抛物线和它的轴的交点 原点 0 0 4 离心率 5 焦半径 6 通径 始终为常数1 通过焦点且垂直对称轴的直线 与抛物线相交于两点 连接这两点的线段叫做抛物线的通径 pf x0 p 2 f p 通径的长度 2p 例题解析 例1 抛物线顶点在坐标原点 对称轴是坐标轴 并且过点m 2 求它的标准方程 并画出草图 当焦点在x y 轴上 开口方向不定时 设方程为y2 mx m 0 x2 my m 0 可避免讨论 焦点弦的长度 y2 2px p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 x2 2py p 0 关于x轴对称 关于x轴对称 关于y轴对称 关于y轴对称 0 0 0 0 0 0 0 0 特点 1 抛物线只位于半个坐标平面内 虽然它可以无限延伸 但它没有渐近线 2 抛物线只有一条对称轴 没有对称中心 3 抛物线只有一个顶点 一个焦点 一条准线 4 抛物线的离心率是确定的 为1 5 抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响 p越大 开口越开阔 例3探照灯反射镜的轴截面是抛物线的一部分 光源位于抛物线的焦点处 已知灯的圆的直径60cm 灯深为40cm 求抛物线的标准方程和焦点位置 所以所求抛物线的标准方程是 焦点坐标是 例5 求证 以抛物线的焦点弦为直径的圆与抛物线的准线相切 a1 b1 2 过抛物线的焦点做倾斜角为的直线l 设l交抛物线于a b两点 1 求 ab 2 求 ab 的最小值 课堂小结 1 掌握抛物线的几何性质 范围 对称性 顶点 离心率 通径 焦半径 焦
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