江苏省阜宁中学、大丰中学2012-2013学年联考高三（上）期中数学试卷（强化班）(含解析).doc

2012-2013学年江苏省阜宁中学、大丰中学联考高三（上）期中数学试卷（强化班）一、填空题（每小题5分，共70分）1（5分）已知集合A=1，1，3，5，B=x|x240，xR，则AB=1，1考点：交集及其运算专题：计算题分析：集合A与集合B的公共部分构成集合AB，由此利用集合A=1，1，3，5，B=x|x240，xR，能求出AB解答：解：集合A=1，1，3，5，B=x|x240，xR=x|2x2，xR，AB=1，1故答案为：1，1点评：本题考查集合的交集的求法，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意不等式性质的合理运用2（5分）命题“xR，x2x+10”的否定是考点：命题的否定专题：计算题分析：根据命题的否定的规则进行求解，注意“任意”的“否定”为存在；解答：解：命题“xR，x2x+10”“任意”的否定为“存在”命题的否定为：，故答案为：点评：此题主要考查命题的否定规则，是一道基础题，注意常见的否定词；3（5分）（2012江苏一模）已知抛物线y2=2px的准线与双曲线x2y2=2的左准线重合，则p的值为2考点：双曲线的简单性质；抛物线的简单性质专题：计算题分析：求出抛物线的准线方程，双曲线的左准线方程，建立关系，即可求出p的值解答：解：抛物线y2=2px的准线为：x=，双曲线x2y2=2的左准线为：x=，由题意可知，p=2故答案为：2点评：本题考查抛物线与双曲线的准线方程的求法，考查计算能力4（5分）已知向量a，b，c满足：|a|=1，|b|=2，c=a+b，且ca，则a与b的夹角大小是 120考点：数量积表示两个向量的夹角；向量的模；数量积判断两个平面向量的垂直关系专题：计算题分析：利用向量垂直的充要条件及向量的数量积公式列出方程，求出夹角余弦，从而求出夹角解答：解：设的夹角为，即1+1+2cos=0cos=120故答案为120点评：本题考查两个向量垂直的充要条件及向量的数量积公式5（5分）已知等比数列an的公比，则的值为3考点：等比数列的性质；等比数列的前n项和专题：计算题分析：由等比数列的通项公式可得an=an1q，故分母的值分别为分子的对应值乘以q，整体代入可得答案解答：解：由等比数列的定义可得：=3，故答案为：3点评：本题考查等比数列的通项公式，整体代入是就问题的关键，属基础题6（5分）函数的最小正周期为2考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系；三角函数的周期性及其求法专题：计算题分析：将函数解析式利用多项式乘以单项式法则计算后，利用同角三角函数间的基本关系变形，再利用两角和与差的正弦函数公式及特殊角的三角函数值化为一个角的正弦函数，找出的值，代入周期公式即可求出函数的最小正周期解答：解：f（x）=cosx+sinx=2sin（x+），=1，T=2故答案为：2点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，同角三角函数间的基本关系，以及三角函数的周期性及其求法，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键7（5分）已知x0，y0，且x+y=xy，则u=x+4y的取值范围是 9，+）考点：基本不等式专题：计算题分析：将x+y=xy代入u=x+4y，消掉y，得到u关于x的函数，在变形利用重要不等式求得解答：解：x0，y0，且x+y=xy，x1u=x+4y=x+4=（x1）+（）+59故答案为：9，+）点评：本题考查了不等式的基本性质及均值不等式，属于基本知识，常规题型的考查8（5分）已知，则sin（）=考点：两角和与差的正弦函数；同角三角函数间的基本关系专题：计算题分析：sin（+）除以sin（），利用两角和与差的正弦函数公式化简后，再利用同角三角函数间的基本关系变形，分子分母同时除以tan，将与sin（+）的值代入，即可求出sin（）的值解答：解：sin（+）=sincos+cossin=，sin（）=sincoscossin，=，=，即=，解得sin（）=故答案为：点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键9（5分）函数f（x）=lgx|x2|的零点个数为2考点：根的存在性及根的个数判断专题：函数的性质及应用分析：函数f（x）=|lgx|+x2的零点可转化成f（x）=0根的个数，然后转化成函数y=|lgx|与函数y=2x的交点的个数，作出函数y=2x与函数y=|lgx|的图象，结合函数的图判断即可解答：解：f（x）=0|lgx|=2x，所以f（x）的零点个数即函数y=|lgx|与函数y=2x的交点的个数，作出函数y=2x与函数y=|lgx|的图象，结合函数的图可知有2个交点，故答案为：2点评：本题主要考查了函数的零点的个数的判断，同时考查了转化的数学思想，解题的关键是准确作出函数的图象，属于基础试题10（5分）（2011湖南）设m1，在约束条件 下，目标函数z=x+5y的最大值为4，则m的值为3考点：简单线性规划的应用专题：计算题；压轴题；数形结合分析：根据m1，我们可以判断直线y=mx的倾斜角位于区间（，）上，由此我们不难判断出满足约束条件的平面区域的形状，再根据目标函数Z=X+5y在直线y=mx与直线x+y=1交点处取得最大值，由此构造出关于m的方程，解方程即可求出m 的取值范围解答：解：满足约束条件 的平面区域如下图所示：当x=，y=时，目标函数z=x+5y取最大值为4，即；解得m=3故答案为3点评：本题考查的知识点是简单线性规划的应用，其中判断出目标函数Z=X+my在点取得最大值，并由此构造出关于m的方程是解答本题的关键11（5分）已知函数，设a，bR，且f（a）+f（b1）=0，则a+b=1考点：函数与方程的综合运用专题：计算题；函数的性质及应用分析：由，知f（x）是R上的奇函数，由f（a）+f（b1）=0，知a+b1=0，由此能求出a+b解答：解：，xR，f（x）=f（x），f（x）是R上的奇函数，f（a）+f（b1）=0，a+b1=0，解得a+b=1故答案为：1点评：本题考查奇函数的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，推导出f（x）是R上的奇函数，是解题的关键12（5分）已知，且x+2y=1，则的最小值是考点：两向量的和或差的模的最值专题：计算题分析：根据要求的向量可以表示成两个向量的和的形式，把两个向量的系数用一个字母来表示，求向量的模长，利用二次函数的最值，做出结果解答：解：x+2y=1=84y272y+16当y=时，原式=，故答案为：，点评：本题考查向量的模长的最值，本题解题的关键是表示出向量的模长，再用函数求最值的方法来求解，这是这一类题目共同的特征13（5分）已知数列an是首项为15、公差为整数的等差数列，前n项的和是Sn，S110，S120，Sn的最大值是S，函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5x）对任意实数x都成立，且y=f（x） 的所有零点和恰好为S，则y=f（x）的零点的个数为15个考点：根的存在性及根的个数判断；等差数列的通项公式专题：函数的性质及应用；等差数列与等比数列分析：根据已知结合等差数列的性质，求出数列的公差d，进而求出数列的前n项的是Sn的最大值是S，由函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5x）对任意实数x都成立，分析也函数图象关于直线x=3对称，即函数y=f（x）所有零点的平均数为3，进而求出函数零点的个数解答：解：设数列an的公差为d，则dZS11=11a60，a6=a1+5d=15+5d0，解得d3又S12=12=12=180+66d0，解得d由得d=3则Sn=n2+n则当n=5或n=6时，Sn的最大值是S=45函数y=f（x）满足f（1+x）=f（5x）对任意实数x都成立函数y=f（x）的图象关于直线x=3对称即函数y=f（x）所有零点的平均数为3又y=f（x） 的所有零点和恰好为S=45y=f（x）的零点共有=15个故答案为：15点评：本题考查的知识点是函数零点，函数的对称性，等差数列的性质，等差数列的前n项和，是数列与函数的综合应用，难度中档14（5分）已知f（x）=x33x，过A（1，m）可作曲线y=f（x）的三条切线，则m的取值范围是（3，2）考点：导数的几何意义分析：先对函数f（x）求导，得到函数f（x）的两个极值点和一个拐点，得到函数f（x）的大致图形再分析可得答案解答：解：已知点（1，m）在直线x=1上；由f（x）=3x23=0得两个极值点x=1；由f（x）=6x=0；得一个拐点x=0；在（，0）f（x）上凸，在（0，+）f（x）下凸；切线只能在凸性曲线段的外侧取得，在拐点x=0处有一条上凸和下凸部分的公共切线L其斜率k=f（0）=3，方程为：y=3x；L与直线x=1的交点为（1，3）设过点（1，m）的直线为l当m2时，l与函数f（x）上凸部分相切且有两条切线，l与下凸部分只能相交；当m3时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分只能相交；当3m2时，l与f（x）下凸部分相切且有两条切线，l与上凸部分也相切但只有一条，共3条；其中，当m=3时下凸部分的切线之一与上凸部分的切线重合，共有2条所以m的取值范围是3m2故答案为：（3，2）点评：本题主要考查导数的几何意义，即函数在某点的导数值等于该点的切线的斜率属难题二、解答题（本大题共6小题，共90分）15（14分）已知ABC的三个内角A，B，C对应的边长分别为a，b，c，向量=（sinB，1cosB）与向量=（2，0）的夹角的余弦值为（1）求角B的大小；（2）若，求a+c的取值范围考点：平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数专题：解三角形分析：（1）ABC中，由条件求得=，由此可得B的值（2）由以上可得，利用两角和差的正弦公式求得sinA+sinC=sin（A+），根据，求得，由此可得的范围解答：解：（1）ABC中，因为 （sinB，1cosB）=，=（2，0），=，所以，（4分）由，可得，即（7分）（2）因为，所以所以= （10分）又，所以所以，（12分）又，所以（14分）点评：本题主要考查两个向量的数量积的定义，两角和差的正弦公式、正弦定理的应用，正弦函数的定义域和值域，属于中档题16（14分）如图，E，F分别是直角三角形ABC边AB和AC的中点，B=90，沿EF将三角形ABC折成如图所示的锐二面角A1EFB，若M为线段A1C中点求证：（1）直线FM平面A1EB；（2）平面A1FC平面A1BC考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定专题：证明题分析：（I）取A1B中点N，连接NE，NM，证四边形MNEF为平行四边形来获取MFNE，得到线面平行的条件（II）根据图形找出线MF与面ABC中的两条相交线垂直即可，由题目中的条件易得解答：证明：（1）取A1B中点N，连接NE，NM，则MN，EF，所以MNFE，所以四边形MNEF为平行四边形，所以FMEN，（4分）又因为FM平面A1EB，EN平面A1EB，所以直线FM平面A1EB（7分）（2）因为E，F分别AB和AC的中点，所以A1F=FC，所以FMA1C（9分）同理，ENA1B，由（1）知，FMEN，所以FMA1B又因为A1CA1B=A1，所以FM平面A1BC，（12分）又因为FM平面A1FC所以平面A1FC平面A1BC（14分）点评：考查线面平行与线面垂直的判定定理，以及空间想象能力17（15分）已知椭圆（ab0）的两准线间距离为6，离心率过椭圆上任意一点P，作右准线的垂线PH（H为垂足），并延长PH到Q，使得F2为该椭圆的右焦点，设点P的坐标为（x0，y0）（1）求椭圆方程；（2）当点P在椭圆上运动时，求的值使得点Q的轨迹是一个定圆考点：轨迹方程；椭圆的标准方程专题：综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（1）利用椭圆（ab0）的两准线间距离为6，离心率，建立方程组，求得几何量，从而扩大椭圆的方程；（2）利用向量知识，确定P的坐标，结合椭圆方程，利用点Q的轨迹是一个定圆，即可求的值解答：解：（1）椭圆（ab0）的两准线间距离为6，离心率，=所求椭圆方程为（6分）（2）设Q的坐标为（x，y），H（3，y0），y=y0，3x0=（x3），x0=3+3x（9分）又，即（12分）当且仅当，即时，点Q在定圆上（15分）点评：本题考查椭圆的标准方程，考查椭圆的几何性质，考查向量知识的运用，考查学生的计算能力，属于中档题18（15分）在一次数学实践活动课上，老师给一个活动小组安排了这样的一个任务：设计一个方案，将一块边长为4米的正方形铁片，通过裁剪、拼接的方式，将它焊接成容积至少有5立方米的长方体无盖容器（只有一个下底面和侧面的长方体）该活动小组接到任务后，立刻设计了一个方案，如下图所示，按图1在正方形铁片的四角裁去四个相同的小正方形后，将剩下的部分焊接成长方体（如图2）请你分析一下他们的设计方案切去边长为多大的小正方形后能得到的最大容积，最大容积是多少？是否符合要求？若不符合，请你帮他们再设计一个能符合要求的方案，简单说明操作过程和理由考点：函数模型的选择与应用专题：应用题分析：（1）设切去正方形边长为x，利用长方体的体积公式求得其容积表达式，再利用导数研究它的极值，进而得出此函数的最大值即可（2）在（1）中之所以不符合要求，主要原因是因为裁去四个相同的小正方形形成资源浪费，没有充分利用现有材料，重新设计方案时，必须充分考虑材料不浪费解答：解：（1）设切去正方形边长为x，则焊接成的长方体的底面边长为42x，高为x，所以V1=（42x）2x=4（x34x2+4x）（0x2）（4分）V1=4（3x28x+4），（5分）令V1=0，即4（3x28x+4）=0，解得x1=，x2=2（舍去）（7分）V1在（0，2）内只有一个极值，当x=时，V1取得最大值5，即不符合要求（9分）（2）重新设计方案如下：如图，在正方形的两个角处各切下一个边长为1的小正方形；如图，将切下的小正方形焊在未切口的正方形一边的中间；如图，将图焊成长方体容器新焊长方体容器底面是一个长方形，长为3，宽为2，此长方体容积V2=321=6，显然V25故第二种方案符合要求（13分）注：第二问答案不唯一点评：利用导数解决生活中的优化问题，关键是要建立恰当的数学模型，把问题中所涉及的几个变量转化为函数关系式，这需要通过分析、联想、抽象和转化完成函数的最值要由极值和端点的函数值确定当函数定义域是开区间且在区间上只有一个极值时，这个极值就是它的最值19（16分）（2010苏州模拟）各项均为正数的数列an的前n项和为Sn，；（1）求an；（2）令，求cn的前n项和Tn；（3）令（、q为常数，q0且q1），cn=3+n+（b1+b2+bn），是否存在实数对（、q），使得数列cn成等比数列？若存在，求出实数对（、q）及数列cn的通项公式，若不存在，请说明理由考点：数列的应用；等比关系的确定；数列的求和专题：计算题；压轴题分析：（1）由题意知，（an+an1）（anan12）=0，由此可知an=2n（nN*）（2）由题意知c1=b6=b3=a3=6，c2=b8=b4=b2=b1=a1=2，所以，由此可知（3）由题设条件知得，由此可以推导出存在，解答：解：（1），a10，a1=2；当n2时，即（an+an1）（anan12）=0an0，anan1=2，an为等差数列，（2分）an=2n（nN*）；（4分）（2）c1=b6=b3=a3=6，c2=b8=b4=b2=b1=a1=2，（6分）n3时，（8分）此时，Tn=8+（22+2）+（23+2）+（2n1+2）=2n+2n；（10分）（3），令，（14分）存在，（16分）点评：本题考查数列性质的综合应用，解题时要认真审题，仔细解答20（16分）已知函数f（x）=alnx+x2（a为实常数）（1）若a=2，求证：函数f（x）在（1，+）上是增函数；（2）求函数f（x）在1，e上的最小值及相应的x值；（3）若存在x1，e，使得f（x）（a+2）x成立，求实数a的取值范围考点：利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性专题：压轴题；解题方法分析：（1）当a=2时故函数 在（1，+）上是增函数（2），当x1，e，2x2+aa+2，a+2e2若a2，f（x）在1，e上非负，故函数f（x）在1，e上是增函数若2e2a2，当时f