高中数学 3.4基本不等式课件 新人教A版必修5.ppt

3 4基本不等式 icm2002会标 如图 这是在北京召开的第22届国际数学家大会会标 会标根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的 颜色的明暗使它看上去象一个风车 代表中国人民热情好客 欣赏体会丰富自我 2 讲授新课 1 探究图形中的不等关系 由于4个直角三角形的面积小于正方形的面积 我们就得到了一个不等式 探究图形变化过程 当直角三角形变为等腰直角三角形 即a b时 正方形efgh缩为一个点 这时有 2 得到结论 3 思考 你能给出它的证明吗 证明 因为 特别的 如果a 0 b 0 我们用分别代替a b 可得通常我们把上式写作 4 1 认识基本不等式 只要证 要证 2 只要证 要证 3 只要证 显然 4 是成立的 当且仅当a b时 4 中的等号成立 用分析法证明 2 从不等式的性质推导基本不等式 1 小结1 重要不等式 如果 2 基本不等式 如果a b是正数 那么 成立的条件是不同的 前者要求a b都是实数 而后者要求a b都是正数 2 讲授新课 例1 1 用篱笆围成一个面积为100m的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短的篱笆是多少 2 一段长为36m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 解 1 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则xy 100 篱笆的长为2 x y m 等号当且仅当x y时成立 此时x y 10 因此 这个矩形的长 宽都为10m时 所用的篱笆最短 最短的篱笆是40m 小结 1 两个正数的和为定值时 它们的积有最大值 即若a b r 且a b m m为定值 则ab 等号当且仅当a b时成立 2 两个正数的积为定值时 它们的和有最小值 即若a b r 且ab p p为定值 则 a b 2 等号当且仅当a b时成立 例2某工厂要建造一个长方体无盖贮水池 其容积为4800m3 深为3m 如果池底每1m2的造价为150元 池壁每1m2的造价为120元 问怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少元 分析 此题首先需要由实际问题向数学问题转化 即建立函数关系式 然后求函数的最值 其中用到了均值不等式定理 解 设水池底面一边的长度为xm 则水池的宽为 水池的总造价为y元 根据题意 得 因此 当水池的底面是边长为40m的正方形时 水池的总造价最低 最低总造价是297600元 评述 此题既是不等式性质在实际中的应用 应注意数学语言的应用即函数解析式的建立 又是不等式性质在求最值中的应用 应注意不等式性质的适用条件 2 解法一 设矩形菜园的宽为xm 则长为 36 2x m 其中0 x 当且仅当2x 36 2x 即x 9时菜园面积最大 其面积为 s x 36 2x 2x 36 2x 即菜园长18m 宽为9m时菜园面积最大为162m2 解法二 设矩形菜园的长为xm 宽为ym 则x 2y 36 矩形菜园的面积为xym 当且仅当x 2y 即x 18 y 9时等号成立 因此 这个矩形的长为18m 宽为9m时 菜园的面积最大 最大面积是162m 小结 用基本不等式解决此类问题时 应按如下步骤进行 1 先理解题意 设变量 设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数 2 建立相应的函数关系式 把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题 3 在定义域内 求出函数的最大值或最小值 4 正确写出答案 课时小结本节课我们用两个正数的算术平均数与几何平均数的关系顺利解决了函数的一些最值问题 在用均值不等式求函数的最值 是值得重视的一种方法 但在具体求解时 应注意考查下列三个条件 1 函数的解析式中 各项均为正数 2 函数的解析式中 含变数的各项的和或积必须有一个为定值 3 函数的解析式中 含变数的各项均相等 取得最值即用均值不等式求某些函数的最值时 应具备三个条件 一正 二定 三相等 3 随堂练习1 已知 当x取什么值时 x 的值最小 最小值是多少 作业 1 课本第100页习题3 4a组1 2 3 42 状元之路3 4基本不等式 第一课时 15分钟随堂训练 基本不等式2 当且仅当a b时 等号成立 注意 1 两个不等式的适用范围不同 而等号成立的条件相同 剖析公式应用 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 a b是两个正数 当且仅当a b时 号成立 3 正用 逆用 注意成立的条件 4 变形用 2 基本不等式可以叙述为 深入探究揭示本质 基本不等式的几何解释 半弦cd不大于半径 动画 例1 1 已知并指出等号成立的条件 2 已知与2的大小关系 并说明理由 3 已知能得到什么结论 请说明理由 应用一 利用基本不等式判断代数式的大小关系 练习2 若 则 1 2 3 b 练习1 设a 0 b 0 给出下列不等式 其中成立的是等号能成立的是 1 2 3 4 3 4基本不等式 应用二 解决最大 小 值问题 例2 已知都是正数 求证 1 如果积是定值p 那么当时 和有最小值 2 如果和是定值s 那么当时 积有最大值 1 一正 各项均为正数 2 二定 两个正数积为定值 和有最小值 两个正数和为定值 积有最大值 3 三相等 求最值时一定要考虑不等式是否能取 否则会出现错误 小结 利用求最值时要注意下面三条 2 已知则xy的最大值是 1 当x 0时 的最小值为 此时x 2 1 3 若实数 且 则的最小值是 a 10b c d d 4 在下列函数中 最小值为2的是 a b c d c 4 例3 1 用篱笆围一个面积为100m2的矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 所用篱笆最短 最短篱笆是多少 2 一段长为36m的篱笆围成一矩形菜园 问这个矩形的长 宽各为多少时 菜园的面积最大 最大面积是多少 例4 某工厂要建造一个长方形无盖贮水池 其容积为4800立方米 深为3米 如果池底每平方米的造价为150元 池壁每平方米的造价为120元 怎样设计水池能使总造价最低 最低总造价是多少 例1 甲 乙两电脑批发商每次在同一电脑耗材厂以相同价格购进电脑芯片 甲 乙两公司共购芯片两次 每次的芯片价格不同 甲公司每次购10000片芯片 乙公司每次购10000元芯片 两次购芯片 哪家公司平均成本低 请给出证明过程 解 设第一 第二次购芯片的价格分别为每片a元和b元 例4 求函数的最小值 构造积为定值 利用基本不等式求最值 思考 求函数的最小值 利用二次函数求某一区间的最值 分析一 原函数式可化为 y 3x2 x 分析二 挖掘隐含条件 构造和为定值 利用基本不等式求最值 变式一 如此解答行吗 上题中只将条件改为0 x 1 8 即 错题纠正 错解 即的最小值为 过程中两次运用了均值不等式中取 号过渡 而这两次取 号的条件是不同的 故结果错 错因 解 当且仅当 即 时取 号 即此时 正确解答是 本题小结 用均值不等式求最值时 要注意检验最值存在的充要条件 特别地 如果多次运用均值不等式求最值 则要考虑多次 或者 中取 成立的诸条件是否相容 3 4 0 0 0 0 2 1 1 2 2 2 2 2 2 4 4 4 2 c b a abc c a c b b a c b a ac ad bc bd bc ad d c b a b a y x r y x y b x a b a 证明 求证 已知 求证 是正数 且 已知 等式 利用基本不等式证明不 1 设且a b 3 求 a b的最小值 作业 写出过程 3 若 则函数的最小值是 2 求函数f x x2 4 x