温州地区七年级数学科《三角形的边角关系（竞赛）》资料课件 浙教版下册.ppt

奥数辅导系列 三角形的边角关系 1 如图1 在 abc中 c 90 ac bc ad平分 cab交bc于d de ab于e 若ab 6 则 deb的周长为 a 5 b 6 c 7 d 8 c a b d e b 2 如果 abc的三个外角的度数之比是3 4 5 那么这个三角形是 a 钝角三角形b 锐角三角形c 直角三角形d 等腰三角形 c 图1 3 在 abc中 ab 5 ac 9 则bc边上的中线ad的长的取值范围是 a b c d e 2 ad 7 延长ad到e 使de ad 连结be 证 bde cda 得de ac 在 ade中 4 ae 14 即4 2ad 14 2 ad 7 4 若三角形的三边长度均为整数 其中两边的差是7 且三角形的周长是奇数 则第三边长可能是 a 9b 8c 7d 6 5 一个三角形的三条边的长分别是a b c a b c都是质数 且a b c 16 则这个三角形是 a 直角三角形b 等腰三角形c 等边三角形d 直角三角形或等腰三角形 不妨设三角形三边长度为a b c 且a b 7 则a与b一奇一偶 又a b c为奇数 所以c一定为偶数 可能是8 c 不妨设a 2 b c则b c 14 又c b 2 所以c b 0 b c 7 选 b b 6 年江苏初二 已知的三个内角为角 令 则 中锐角的个数至多为 把 分别看成是 的外角 因为 中最多只有一个是钝角 故 中最多也只有一个是锐角 7 1998年重庆 三角形的三个内角分别为 则 的取值范围是 8 2000年江苏初二 锐角 abc中 ab bc ac 且最大内角比最小内角大24 则 a的取值范围是 解 ab bc ac c a b 依题意知 c 24 b 又 a b c 180 b c a 解得52 a 68 156 a 2 204 a 2 156 a 2 204 a 2 52 a 68 第7届初二2试 在 abc中 b 2 c 则ac与2ab之间的大小关系是 a ac 2abb ac 2abc ac 2abd ac 2ab a b c d d 解 如图 延长cb到d使db ab 连结ad 在 abd中 ab bd 所以 bad d 又 abc是 abd的外角 所以 abc 2 d 得 d c ad ac 因为在 abd中 ab bd ad 所以2ab ac 14届江苏竞赛 已知等腰三角形的周长为12 则腰长a的取值范围是 a a 6b a 3c 4 a 7d 3 a 6 解 设底边为b 则2a b 12 2a 12 2a b 由 得b 12 2a 代人 得2a 12 2a a 3 由 得 a 6 3 a 6 故选d d 2004年四川竞赛 若不等边三角形的两条高的长分别为4和12 且第三条高的长也为整数 则这条高的长为 解 设高为 所对应的边为 又设第三边及其边上的高为 则 可设三边长为 为正整数 得 即 又 是整数 从而选 提示 设长度为4和12的高分别是边a b上的 边c上的高为h abc的面积为s 则a 2s 4 b 2s 12 c 2s h 由2s 4 2s 12 2s h 2s 4 2s 12得3 h 6 故h 5 第9届五羊杯竞赛 三角形三边长都是整数 最大边长为8 满足这样条件的互不全等的三角形个数为 a 15b 20c 25d 30 解 设另两边长为a b 其中a b 最大边长为8 b 8又a b 8 b a 2b 8 b 4 b是整数 b 5 5 b 8 b 5 6 7 8 4 5 8 5 5 8 3 6 8 4 6 8 5 6 8 6 6 8 2 7 8 3 7 8 4 7 8 5 7 8 6 7 8 7 7 8 1 8 8 2 8 8 3 8 8 4 8 8 5 8 8 6 8 8 7 8 8 8 8 8 b 7 1999年重庆初二 给定 abc的三个顶点和它内部的七个点 且这十个点中的任意三点均不共线 则以这十个点为顶点能将 abc分割为互不重叠的小三角形个数为 提示 会聚在 abc内每一点的诸角之和为 个点就有 个周角 又 的内角之和为 所以 所有小三角形的内角和为 又由于每个三角形的内角和为 故小三角形的个数为 8 如图 在 abc中ab ac am为角平分线 则bm和mc的大小关系是 a b c m bm mc 提示 如图 在ab上截取ad ac 连结dm 易证 adm acm 从而mc md 又因为 bdm amd amc b 从而bm md 所以bm mc d 9 如图 已知p为 abc内任一点 求证 1 pb pc ab ac a b c p 延长bp交ac于d d 在 abd中 有ab ad bd 在 pdc中 dc dp pc 两式相加 ab ad dc dp bd pc pb dp pc即 ab ac pb pc 得证 2 bpc bac pdc是 abd的外角 pdc bac又 bpc是 pdc的一个外角 bpc pdc bpc bac 3 pa pb pc ab bc ac a b c p 证明 由第 1 可知 ab ac pb pcab bc pa pcac bc pa pb三式相加 并除以2 可得pa pb pc ab bc ac 10 如图2 7 4 abc中 ac ab ad平分 bac p为ad上任一点 连结pb pc 求证 pc pb ac ab 思路 通过构造全等三角形 把pc pb ac ab集中在同一三角形中 利用三角形两边之差小于第三边这一性质来证明本题结论 证明 在ac上取点e 使ae ab 连结pe 由ad平分 abc得 1 2 又 ae ab ap ap ape apb pe pb 在 epc中 pc pe ec 即pc pb ac ae pc pb ac ab 11 如图2 7 10 在 abc中 经过bc的中点m 有垂直相交于m的两条直线 它们与ab ac分别交于d e 求证 bd ce de a b c m d e 延长dm到d 使d m md 连结cd d e dd me de ed bm mc dm md bmd cmd bmd cmd bd cd 在 ed c中有ec cd ed 故bd ce de d 1 若三角形的三条边的长a b c是三个连续的自然数 三角形的周长小于19 则这样的三角形有 个 2 设 abc的三边a b c的长度均为自然数 且a b c a b c 13 则以a b c为三边的三角形共有 个 练一练 设三边的长为a a 1 a 2 a a 1 a 2 a 1 又a a 1 a 2 19 a 5 a 2 3 4 5 4 由a b c 13 可知a b 13 c 又a b c 所以13 c c 即c 13 2 从而c可取5 6 所以有 355 445 166 256 346 共有5个这样的三角形 3 1996年四川 abc三个内角a b c满足 3a 5b 3c 2b 则这个三角形的形状是 a 钝角三角形b 直角三角形c 锐角三角形d 不能确定 a 3a 5b 3c 2b b 3 5a c 2 3b 2 3 3 5a 2 5a a b c 180 a 3 5 a 2 5 a 180 a 90 4 若三角形的三个内角a b c满足a 3b c 2b 那么这个三角形是 a 钝角三角形b 直角三角形c 不等边三角形d 等边三角形 5 1997年北京初二 abc中 三个内角的度数均为整数 且 a b c 4 c 7 a 则 b a b c 180 b 180 11 7 c 70 c 84 因4 7 c是整数 c 77 a 44 b 59 若 b 30 由 a 3 b得 a 90 若 b 30 由 c 2 b得 c 60 a 90 所以 abc是钝角三角形 a 5 若 abc的三个内角a b c满足2a 5b 2c 3b 则 abc必为 三角形 因为2c 3b 2a 5b 所以2a 2b 3b 2b 2c 即又 所以a b c即a 90 因此 abc是钝角三角形 6 在 abc中 abc 30 边ab 10 边ac可以取值5 7 9 11之一 满足这些条件的互不全等的三角形的个数是 a 3b 4c