历年01—09年考研数学试题及答案解析.docVIP

20012001 年全国硕士研究生入学统一考试年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题数学一试题 一 填空题一 填空题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分分 1 设为任意常数 为某二阶常系数线性齐次微分方程的通解 baxbxaey x cossin 则该方程为 2 则 div grad r 222 zyxr 2 2 1 3 交换二次积分的积分次序 0 1 1 2 y dxyxfdy 4 设 则 OEAA 4 21 2 EA 5 D X 2 则根据车贝晓夫不等式有估计 2 XEXP 二 单项选择题二 单项选择题 本题共本题共 5 小题小题 每小题每小题 3 分分 满分满分 15 分 分 1 设函数在定义域内可导 的图形如右图所示 xf xfy 则的图形为 xfy 2 设在点 0 0 的附近有定义 且则 yxf1 0 0 3 0 0 yx ff A dz 0 0 3dx dy B 曲面在 0 0 处的法向量为 3 1 1 yxfz 0 0 f C 曲线在 0 0 处的切向量为 1 0 3 0 y yxfz 0 0 f D 曲线在 0 0 处的切向量为 3 0 1 0 y yxfz 0 0 f 3 设则在 0 处可导 0 0 f xfx A 存在 B 存在 2 0 cosh 1 lim h f h h ef h h 1 lim 0 C 存在 D 存在 2 0 sinh lim h hf h h hfhf h 2 lim 0 4 设 则 A 与 B 0000 0000 0000 0004 1111 1111 1111 1111 BA A 合同且相似 B 合同但不相似 C 不合同但相似 D 不合同且不相似 5 将一枚硬币重复掷 n 次 以 X 和 Y 分别表示正面向上和反面向上的次数 则 X 和 Y 相关 系数为 A 1 B 0 C 1 2 D 1 三 三 本题满分 本题满分 6 分 分 求 dx e e x x 2 arctan 四 四 本题满分 本题满分 6 分 分 设函数在点 1 1 可微 且 yxfz 3 1 1 2 1 1 1 1 1 yx fff xxfxfx 求 1 3 x x dx d 五 五 本题满分 本题满分 8 分 分 设 将展开成的 幂级数 并求 xf 0 0 1 arctan 2 1 x xx x x xfx 的和 1 2 41 1 n n n 六 六 本题满分 本题满分 7 分 分 计算 其中 L 是dzyxdyxzdxzyI L 3 2 222222 平面 与柱面的交线 从 Z 轴正向看去 L 为逆时针方向2 zyx1 yx 七 七 本题满分 本题满分 7 分 分 设在 1 1 内具有二阶连续导数且 xf0 x f 证明 对于 存在惟一的 使 1 0 0 1 x 1 0 x 成立 xf 0 f xxf x 5 0 lim 0 x x 八 八 本题满分 本题满分 8 分 分 设有一高度为 为时间 的雪堆在融化过程 其侧面满足方程tth 设长度单位为厘米 时间单位为小时 已知体积减少的速率与侧 2 22 th yx thz 面积成正比 系数为 0 9 问高度为 130 厘米的雪堆全部融化需多少时间 九 九 本题满分 本题满分 6 分 分 设为线性方程组 AX O 的一个基础解系 s 21 其中为实常数 1213221222111 tttttt ss 21 t t 试问满足什么条件时也为 AX O 的一个基础解系 21 t t s 21 十 十 本题满分 本题满分 8 分 分 已知三阶矩阵 A 和三维向量 使得线性无关 且满足 xxAAxx 2 xAAxxA 23 23 1 记 P 求 B 使 xAAxx 2 1 PBPA 2 计算行列式EA 十一 十一 本题满分 本题满分 7 分 分 设某班车起点站上客人数 X 服从参数为 的泊松分布 每位乘客在中途下车的概率为 p p 且中途下车与否相互独立 Y 为中途下车 的人数 求 在发车时有 n 个乘客的条件下 中途有 m 人下车的概率 二维随机变量 X Y 的概率分布 十二 十二 本题满分 本题满分 7 分 分 设 X N 抽取简单随机样本 X1 X2 X2n n 2 2 样本均值 求 E Y n i i X n X 2 1 2 1 n i ini XXXY 1 2 2 2002 年全国硕士研究生入学统一考试 数学一试题 一 填空题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 把答案填在题中横线上 1 e xx dx 2 ln 2 已知函数由方程确定 则 yy x 016 2 xxye y 0 y 3 微分方程满足初始条件的特解是 0 2 yyy 00 1 1 2 xx yy 4 已知实二次型经正交变换 323121 2 3 2 2 2 1321 444 xxxxxxxxxaxxxf 可化成标准型 则 xPy 2 1 6yf a 5 设随机变量服从正态分布 且二次方程无实根X 2 0 N 04 2 Xyy 的概率为 则 1 2 二 选择题 本题共 5 小题 每小题 3 分 满分 15 分 每小题给出的四个选项中 只有一项符合 题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 考虑二元函数的下面 4 条性质 yxf 在点处连续 在点处的两个偏导数连续 yxf 00 yx yxf 00 yx 在点处可微 在点处的两个偏导数存在 yxf 00 yx yxf 00 yx 若用 表示可由性质推出性质 则有PQ PQ A B C D 2 设 且 则级数0 1 2 3 n un Llim1 n n n u 1 1 1 11 1 n n nn uu A 发散 B 绝对收敛 C 条件收敛 D 收敛性根据所给条件不能判定 3 设函数在内有界且可导 则 yf x 0 A 当时 必有 0 lim xf x 0 lim xf x B 当存在时 必有 limxf x 0 lim xf x C 当时 必有 0 lim 0 x f x 0 lim 0 x fx D 当存在时 必有 0 lim x fx 0 lim 0 x fx 4 设有三张不同平面的方程 它们所组成的线性方程组的 123iiii a xa ya zb 3 2 1 i 系数矩阵与增广矩阵的秩都为 则这三张平面可能的位置关系为 5 设和是任意两个相互独立的连续型随机变量 它们的概率密度分别为和 1 X 2 X 1 f x 分布函数分别为和 则 2 fx 1 F x 2 F x A 必为某一随机变量的概率密度 1 f x 2 fx B 必为某一随机变量的概率密度 1 f x 2 fx C 必为某一随机变量的分布函数 1 F x 2 F x D 必为某一随机变量的分布函数 1 F x 2 F x 三 本题满分 6 分 设函数在的某邻域内具有一阶连续导数 且 若 xf0 x 0 0 0 0f f 在时是比高阶的无穷小 试确定的值 2 0 af hbfhf 0 hhba 四 本题满分 7 分 已知两曲线与在点处的切线相同 写出此切线方程 并求 xfy x t dtey arctan 0 2 0 0 极限 2 lim n nf n 五 本题满分 7 分 计算二重积分 其中 dxdye D yx max 22 10 10 yxyxD 六 本题满分 8 分 设函数在内具有一阶连续导数 是上半平面 0 内的有向分段光滑曲 xf Ly 线 其起点为 终点为 记ba dc 22 2 1 1 1 L x Iy f xy dxy f xydy yy 1 证明曲线积分与路径无关 IL 2 当时 求的值 cdab I 七 本题满分 7 分 1 验证函数满足微分方程 3333 69 1 3 6 9 3 n xx y xx n LL x eyyy 2 利用 1 的结果求幂级数的和函数 3 0 3 n n x n 八 本题满分 7 分 设有一小山 取它的底面所在的平面为坐标面 其底部所占的区域为xOy 2 Dx yx 小山的高度函数为 2 75 yxy yxhxyyx 22 75 1 设为区域上一点 问在该点沿平面上什么方向的方向导数最大 00 yxMD yxh 若记此方向导数的最大值为 试写出的表达式 00 yxg 00 yxg 2 现欲利用此小山开展攀岩活动 为此需要在山脚下寻找一上山坡最大的点作为攀登的起 点 也就是说 要在的边界线上找出使 1 中达到最大值的点 试确D 22 75xyxy yxg 定攀登起点的位置 九 本题满分 6 分 已知四阶方阵 均为维列向量 其中线性 4321 A 4321 4 432 无关 如果 求线性方程组的通解 321 2 4321 Ax 十 本题满分 8 分 设为同阶方阵 A B 1 若相似 证明的特征多项式相等 A B A B 2 举一个二阶方阵的例子说明 1 的逆命题不成立 3 当均为实对称矩阵时 证明 1 的逆命题成立 A B 十一 本题满分 7 分 设维随机变量的概率密度为X 1 0 cos 22 0 x x f x 其他 对独立地重复观察 次 用表示观察值大于的次数 求的数学期望 XY 3 2 Y 十二 本题满分 7 分 设总体的概率分布为X X0123 P 2 1 2 2 21 其中是未知参数 利用总体的如下样本值 1 0 2 X 3 1 3 0 3 1 2 3 求的矩估计值和最大似然估计值 2002 年考研数学一试题答案与解析 一 填空题 1 分析 原式 2 ln1 1 lnln e e dx xx 2 分析 方程两边对两次求导得x 6 620 y e yxyyx 2 6 12 20 yy e ye yxyy 以代入原方程得 以代入 得 再以代入 得0 x 0y 0 xy 0 y 0 xyy 0 2 y 3 分析 这是二阶的可降阶微分方程 令 以为自变量 则 yP y y dydPdP yP dxdxdy 代入方程得 即 或 但其不满足初始条件 2 0 dP yPP dy 0 dP yP dy 0P 0 1 2 x y 分离变量得0 dPdy Py 积分得即 对应 lnln PyC 1 C P y 0P 1 0C 由时得于是0 x 1 1 2 yPy 1 1 2 C 积分得 1 2 2 yPydydx y 2 2 yxC 又由得所求特解为 0 1 x y 2 1 C 1 yx 4 分析 因为二次型经正交变换化为标准型时 标准形中平方项的系数就是二次型矩 T x Ax 阵的特征值 所以是的特征值 A6 0 0A 又因 故 iii a 600 2 aaaa 5 分析 设事件表示 二次方程无实根 则A04 2 Xyy 1640 AXX 依题意 有4 1 4 2 P AP X 而 4 4 1 4 1 P XP X 即 4141 4 1 0 4 22 二 选择题 1 分析 这是讨论函数的连续性 可偏导性 可微性及偏导数的连续性之间的 f x y 关系 我们知道 的两个偏导数连续是可微的充分条件 若可微则必连续 故选 f x y f x y A 2 分析 由充分大时即时 且不妨 1 lim10 1 n n u n n N nN 1 0 n u 1 lim0 n n u 认为因而所考虑级数是交错级数 但不能保证的单调性 0 n n u 1 n u 按定义考察部分和 111 111 11 1111 1 1 1 nnn kkk n kkk kkkk S uuuu 1 1 11 111 1 11 1 1 1 kn nn l kl kln n uuuuu 原级数收敛 再考察取绝对值后的级数 注意 1 1 11 n nn uu 1 1 11 1 2 1 1 nn nn uunnn uun n 发散发散 因此选 C 1 1 n n 1 1 11 n nn uu 3 分析 证明 B 对 反证法 假设 则由拉格朗日中值定理 lim 0 x fxa 2 fxf xfxx 当时 因为 但这与x 2xx 矛盾 2 2 2fxf xfxf xM f xM 4 分析 因为 说明方程组有无穷多解 所以三个平面有公共交点且不 23r Ar A 唯一 因此应选 B A 表示方程组有唯一解 其充要条件是 3 r Ar A C 中三个平面没有公共交点 即方程组无解 又因三个平面中任两个都不行 故和 2r A 且中任两个平行向量都线性无关 3r A A 类似地 D 中有两个平面平行 故 且中有两个平行向量共线 2r A 3r A A 5 分析 首先可以否定选项 A 与 C 因 1212 12 21 1 121 f xfx dxf x dxfx dx FF 对于选项 B 若则对任何 12 1 21 1 01 0 0 xx f xfx 其他 其他 x 因此也应否定 C 综上分析 用排除法应选 D 12 0f x fx 12 01 f x fx dx 进一步分析可知 若令 而则的分布函数恰 12 max XXX 1 2 ii Xf x i X F x 是 12 F x F x 1212 max F xPXXxP Xx Xx 1212 P Xx P XxF x F x 三 解 用洛必达法则 由题设条件知 由于 故必有 0 lim 2 0 1 0 h af hbfhfabf 0 0 f 10 ab 又由洛必达法则 00 2 0 2 2 limlim 1 hh af hbfhfafhbfh h 2 0 0 ab f 及 则有 0 0 f 20ab 综上 得2 1 ab 四 解 由已知条件得 0 0 f 2 2 arctan arctan 00 2 0 0 1 1 x x t xxx e fedt x 故所求切线方程为 由导数定义及数列极限与函数极限的关系可得yx 0 2 0 2 0 lim 2lim2lim2 0 2 2 nnx ff f xf n nff nx n 五 分析与求解 是正方形区域如图 因在上被积函数分块表示DD 2 22 2 max xxy xyx yD yxy 于是要用分块积分法 用将分成两块 yx D 1212 DDD DDyxDDyx UII I 2222 12 max max xyxy DD edxdyedxdy 关于对称 222 121 2 xyx DDD e dxdye dxdye dxdy Dyx 选择积分顺序 21 00 2 x x dxe dy 221 1 0 0 21 xx xe dxee 六 分析与求解 1 易知原函数 PdxQdy 22 11 x PdxQdydxyf xy dxxf xy dydyydxxdyf xyydxxdy yyy 0 xy xx df xy d xydf t dt yy 在上原函数 即 0y PdxQdy 0 xy x u x yf t dt y 积分在与路径无关 I0y 2 因找到了原函数 立即可得 c d a b ca Iu x y db 七 证明 与书上解答略有不同 参见数三 2002 第七题 1 因为幂级数 3693 1 3 6 9 3 n xxxx y x n LL 的收敛域是 因而可在上逐项求导数 得 x x 25831 2 5 8 31 n xxxx y x n LL 4732 4 7 32 n xxx yxx n LL 所以 2 1 2 n x xx yyyxe n LL x 2 与相应的齐次微分方程为 x yyye 0yyy 其特征方程为 特征根为 2 10 1 2 13 22 i 因此齐次微分方程的通解为 2 12 33 cossin 22 x YeCxCx 设非齐次微分方程的特解为 将代入方程可得 x yAe y x yyye 即有 1 3 A 1 3 x ye 于是 方程通解为 2 12 331 cossin 223 x x yYyeCxCxe 当时 有0 x 1 12 12 1 0 1 23 0 3131 0 0 223 yC CC yCC 于是幂级数的和函数为 3 0 3 n n x n 2 231 cos 323 x x y xexe x 八 分析与求解 1 由梯度向量的重要性质 函数在点处沿该点的梯度方向 yxhM 0000 0000 2 2 xyxy hh h x yxyyx xy grad 方向导数取最大值即的模 00 xy h x ygrad 22 000000 2 2 g xyyxxy 2 按题意 即求求在条件下的最大值点 g x y 22 750 xyxy 22222 2 2 558gx yyxxyxyxy 在条件下的最大值点 22 750 xyxy 这是求解条件最值问题 用拉格朗日乘子法 令拉格朗日函数 2222 558 75 L x yxyxyxyxy 则有 22 108 2 0 108 2 0 750 L xyxy x L yxyx y L xyxy 解此方程组 将 式与 式相加得或 2 0 xyxy 2 若 则由 式得即若由 或 均得 代入yx 2 375x 5 5 xy m2 yx 式得即于是得可能的条件极值点 2 75x 5 3 5 3 xy 1234 5 5 5 5 5 3 5 3 5 3 5 3 MMMM 现比较在这些点的函数值 222 558f x ygx yxyxy 1234 450 150 f Mf Mf Mf M 因为实际问题存在最大值 而最大值又只可能在中取到 因此在 1234 M MMM 2 gx y 取到在的边界上的最大值 即可作为攀登的起点 12 M MD 12 M M 九 解 由线性无关及知 向量组的秩 即 432 321 2 1234 3r 矩阵的秩为因此的基础解系中只包含一个向量 那么由A3 0Ax 1234123 1 2 20 1 0 知 的基础解系是0Ax 1 2 1 0 T 再由知 是的一个 12341234 11 11 11 11 A 1 1 1 1 T Ax 特解 故的通解是其中为任意常数 Ax 11 21 11 01 k k 十 解 1 若相似 那么存在可逆矩阵 使故 A BP 1 P APB 111 EBEP APPEPP AP 11 PEA PPEA PEA 2 令那么 0100 0000 AB 2 EAEB 但不相似 否则 存在可逆矩阵 使 从而 矛盾 亦可从 A BP 1 0P APB 1 00AP P 而知与不相似 1 0r Ar B AB 3 由均为实对称矩阵知 均相似于对角阵 若的特征多项式相等 记特征多 A B A B A B 项式的根为则有 1 n L 相似于也相似于A 1 n OB 1 n O 即存在可逆矩阵 使 P Q 1 11 n P APQ BQ O 于是由为可逆矩阵知 与相似 111 PQA PQB 1 PQ AB 十一 解 由于依题意 服从二项分布 则有 3 11 cos 3222 x P Xdx Y 1 4 2 B 2222 111 4 4 5 222 EYDYEYnpqnp 十二 解 22 01 2 1 23 1 2 34 EX 1 3 4 EX 的矩估计量为根据给定的样本观察值计算 1 3 4 X 1 3 1 303 123 8 x 因此的矩估计值2 11 3 44 x 对于给定的样本值似然函数为 624 4 1 1 2 ln ln46ln2ln 1 4ln 1 2 LL 2 ln 62824286 11 2 1 1 2 dL d 令 得方程 解得 不合题意 ln 0 dL d 2 121430 713 12 7131 122 于是的最大似然估计值为 713 12 2003 年考研数学 一 真题评注年考研数学 一 真题评注 一 填空题填空题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 把答案填在题中横线上 1 1ln 1 0 2 coslim x x x 2 曲面与平面平行的切平面的方程是 22 yxz 042 zyx 3 设 则 cos 0 2 xnxax n n2 a 4 从的基到基的过渡矩阵为 2 R 1 1 0 1 21 2 1 1 1 21 5 设二维随机变量 X Y 的概率密度为 yxx yxf 其他 10 0 6 则 1 YXP 6 已知一批零件的长度 X 单位 cm 服从正态分布 从中随机地抽取 16 1 N 个零件 得到长度的平均值为 40 cm 则的置信度为 0 95 的置信区间是 注注 标准正态分布函数值 95 0 645 1 975 0 96 1 二 选择题二 选择题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 设函数 f x 在内连续 其导函数的图形如图所示 则 f x 有 A 一个极小值点和两个极大值点 B 两个极小值点和一个极大值点 C 两个极小值点和两个极大值点 D 三个极小值点和一个极大值点 y O x 2 设均为非负数列 且 则必 nnn cba0lim n n a1lim n n b n n clim 有 A 对任意 n 成立 B 对任意 n 成立 nn ba nn cb C 极限不存在 D 极限不存在 nn n ca lim nn n cb lim 3 已知函数 f x y 在点 0 0 的某个邻域内连续 且 则1 lim 222 0 0 yx xyyxf yx A 点 0 0 不是 f x y 的极值点 B 点 0 0 是 f x y 的极大值点 C 点 0 0 是 f x y 的极小值点 D 根据所给条件无法判断点 0 0 是否为 f x y 的极值点 4 设向量组 I 可由向量组 II 线性表示 则 r 21 s 21 A 当时 向量组 II 必线性相关 B 当时 向量组 II 必线性相关 sr sr C 当时 向量组 I 必线性相关 D 当时 向量组 I 必线性相关 sr sr 5 设有齐次线性方程组 Ax 0 和 Bx 0 其中 A B 均为矩阵 现有 4 个命题 nm 若 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解 则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则 Ax 0 的解均是 Bx 0 的解 若 Ax 0 与 Bx 0 同解 则秩 A 秩 B 若秩 A 秩 B 则 Ax 0 与 Bx 0 同解 以上命题中正确的是 A B C D 6 设随机变量 则 2 1 1 X YnntX A B 2 nY 1 2 nY C D 1 nFY 1 nFY 三三 本题满分 本题满分 10 分 分 过坐标原点作曲线 y lnx 的切线 该切线与曲线 y lnx 及 x 轴围成平面图形 D 1 求 D 的面积 A 2 求 D 绕直线 x e 旋转一周所得旋转体的体积 V 四四 本题满分 本题满分 12 分 分 将函数展开成 x 的幂级数 并求级数的和 x x xf 21 21 arctan 0 12 1 n n n 五五 本题满分 本题满分 10 分 分 已知平面区域 L 为 D 的正向边界 试证 0 0 yxyxD 1 dxyedyxedxyedyxe x L yx L ysinsinsinsin 2 2 2sinsin dxyedyxe x L y 六六 本题满分 本题满分 10 分 分 某建筑工程打地基时 需用汽锤将桩打进土层 汽锤每次击打 都将克服土层对桩的 阻力而作功 设土层对桩的阻力的大小与桩被打进地下的深度成正比 比例系数为 k k 0 汽 锤第一次击打将桩打进地下 a m 根据设计方案 要求汽锤每次击打桩时所作的功与前一次 击打时所作的功之比为常数 r 0 r0 时 2 tGtF 九九 本题满分 本题满分 10 分 分 设矩阵 求 B 2E 的特征值与特征 322 232 223 A 100 101 010 PPAPB 1 向量 其中为 A 的伴随矩阵 E 为 3 阶单位矩阵 A 十十 本题满分 本题满分 8 分 分 已知平面上三条不同直线的方程分别为 1 l032 cbyax 2 l032 acybx 3 l032 baycx 试证这三条直线交于一点的充分必要条件为 0 cba 十一十一 本题满分 本题满分 10 分 分 已知甲 乙两箱中装有同种产品 其中甲箱中装有 3 件合格品和 3 件次品 乙箱中仅 装有 3 件合格品 从甲箱中任取 3 件产品放入乙箱后 求 1 乙箱中次品件数的数学期望 2 从乙箱中任取一件产品是次品的概率 十二十二 本题满分 本题满分 8 分 分 设总体 X 的概率密度为 0 2 2 x xe xf x 其中是未知参数 从总体 X 中抽取简单随机样本 记0 n XXX 21 min 21n XXX 1 求总体 X 的分布函数 F x 2 求统计量的分布函数 xF 3 如果用作为的估计量 讨论它是否具有无偏性 注 1 数学复习指南 2003 版 理工类 世界图书出版公司 主编 陈文灯 黄先开 2 数学题型集粹与练习题集 2003 版 理工类 世界图书出版公司 主编 陈文灯 黄先开 3 文登数学全真模拟试卷 2003 版 理工类 世界图书出版公司 主编 陈文灯 黄先开 4 数学最后冲刺 2003 版 理工类 世界图书出版公司 主编 陈文灯 黄先开 5 考研数学大串讲 2002 版 理工类 世界图书出版公司 主编 黄先开 曹显 答案答案 1 分析分析 型未定式 化为指数函数或利用公式 进 1 lim xg xf 1 1 lim xgxf e 行计算求极限均可 详解详解 1 1ln 1 0 2 coslim x x x x x x e cosln 1ln 1 lim 2 0 而 2 1 2 cos sin lim cosln lim 1ln cosln lim 0 2 0 2 0 x x x x x x x xxx 故 原式 1 2 1 e e 详解详解 2 因为 2 1 2 1 lim 1ln 1 1 coslim 2 2 0 2 0 x x x x xx 所以 原式 1 2 1 e e 评注评注 本题属常规题型 完全类似例题见 数学复习指南 P 24 25 例例 1 30 31 2 分析分析 待求平面的法矢量为 因此只需确定切点坐标即可求出平面 1 4 2 n 方程 而切点坐标可根据曲面切平面的法矢量与平行确定 22 yxz 1 4 2 n 详解详解 令 则 22 yxzzyxF xFx2 yFy2 1 z F 设切点坐标为 则切平面的法矢量为 其与已知平面 000 zyx 1 2 2 00 yx 平行 因此有042 zyx 1 1 4 2 2 2 00 yx 可解得 相应地有 2 1 00 yx 5 2 0 2 00 yxz 故所求的切平面方程为 即 0 5 2 4 1 2 zyx542 zyx 评注评注 本题属基本题型 完全类似例题见 数学复习指南 P 279 例例 10 28 和 数学题型集粹和练习题集 P 112 例例 8 13 3 分析分析 将展开为余弦级数 2 xxxf 其系数计算公式为 cos 0 2 xnxax n n 0 cos 2 nxdxxfan 详解详解 根据余弦级数的定义 有 xdxxdxxa2sin 1 2cos 2 0 2 0 2 2 00 2 22sin2sin 1 xdxxxx 000 2cos2cos 1 2cos 1 xdxxxxxd 1 评注评注 本题属基本题型 主要考查傅里叶级数的展开公式 本质上转化为定积分 的计算 完全类似例题见 文登数学全真模拟试卷 数学一 P 62 第一大题第 6 小题和 数学复习指南 P 240 例例 8 37 4 分析分析 n 维向量空间中 从基到基的过渡矩阵 P 满 n 21 n 21 足 P 因此过渡矩阵 P 为 P n 21 n 21 1 21 n 21n 详解详解 根据定义 从的基到基的过渡 2 R 1 1 0 1 21 2 1 1 1 21 矩阵为 P 1 21 21 11 10 11 1 21 21 32 21 11 10 11 评注评注 本题属基本题型 完全类似例题见 数学复习指南 P 429 例例 3 35 5 分析分析 已知二维随机变量 X Y 的概率密度 f x y 求满足一定条件的概率 一般可转化为二重积分 进行计算 0 zYXgP 0 zYXgP 0 zyxg dxdyyxf 详解详解 由题设 有 1 YXP 1 2 1 0 1 6 yx x x xdydxdxdyyxf 4 1 126 2 1 0 2 dxxx y 1 D O 1 x 2 1 评注评注 本题属基本题型 但在计算二重积分时 应注意找出概率密度不为零与满足 不等式的公共部分 D 再在其上积分即可 完全类似例题见 文登数学全真模拟1 yx 试卷 数学一 P 14 第一大题第 5 小题 6 分析分析 已知方差 对正态总体的数学期望进行估计 可根据1 2 由确定临界值 进而确定相应的置信区间 1 0 1 N n X 1 1 2 u n X P 2 u 详解详解 由题设 可见 于是查标准正态分布表知95 0 1 05 0 本题 n 16 因此 根据 有 96 1 2 u40 x95 0 96 1 1 n X P 即 故的置信度为 0 95 的置95 0 96 1 16 1 40 P95 0 49 40 51 39 P 信区间是 49 40 51 39 评注评注 本题属基本题型 完全类似例题见 数学复习指南 P 608 例例 6 16 二 选择题二 选择题 本题共 6 小题 每小题 4 分 满分 24 分 每小题给出的四个选项中 只有一 项符合题目要求 把所选项前的字母填在题后的括号内 1 分析分析 答案与极值点个数有关 而可能的极值点应是导数为零或导数不存在的点 共 4 个 是极大值点还是极小值可进一步由取极值的第一或第二充分条件判定 详解详解 根据导函数的图形可知 一阶导数为零的点有 3 个 而 x 0 则是导数不 存在的点 三个一阶导数为零的点左右两侧导数符号不一致 必为极值点 且两个极小值 点 一个极大值点 在 x 0 左侧一阶导数为正 右侧一阶导数为负 可见 x 0 为极大值点 故 f x 共有两个极小值点和两个极大值点 应选 C 评注评注 本题属新题型 类似考题 2001 年数学一 二中曾出现过 当时考查的是已知 f x 的 图象去推导的图象 本题是其逆问题 完全类似例题在文登学校经济类串讲班上介 x f 绍过 2 分析分析 本题考查极限概念 极限值与数列前面有限项的大小无关 可立即排除 A B 而极限是型未定式 可能存在也可能不存在 举反例说明即可 nn n ca lim 0 极限属型 必为无穷大量 即不存在 nn n cb lim 1 详解详解 用举反例法 取 则可立即排除 A n an 2 1 n b 2 1 2 1 nncn B C 因此正确选项为 D 评注评注 对于不便直接证明的问题 经常可考虑用反例 通过排除法找到正确选项 完全类似方法见 数学最后冲刺 P 179 3 分析分析 由题设 容易推知 f 0 0 0 因此点 0 0 是否为 f x y 的极值 关键看在点 0 0 的充分小的邻域内 f x y 是恒大于零 恒小于零还是变号 详解详解 由知 分子的极限必为零 从而有 f 0 0 0 且1 lim 222 0 0 yx xyyxf yx 充分小时 于是 222 yxxyyxf yx 0 0 222 yxxyfyxf 可见当 y x 且充分小时 而当 y x 且充分小时 x04 0 0 42 xxfyxfx 故点 0 0 不是 f x y 的极值点 应选 A 04 0 0 42 xxfyxf 评注评注 本题综合考查了多元函数的极限 连续和多元函数的极值概念 题型比较新 有一定难度 将极限表示式转化为极限值加无穷小量 是有关极限分析过程中常用的思想 类似分析思想的例题见 数学复习指南 P 43 例例 1 71 4 分析分析 本题为一般教材上均有的比较两组向量个数的定理 若向量组 I 可由向量组 II 线性表示 则当时 向量组 I 必线性相 r 21 s 21 sr 关 或其逆否命题 若向量组 I 可由向量组 II 线性表示 且 r 21 s 21 向量组 I 线性无关 则必有 可见正确选项为 D 本题也可通过举反例用排除法找到sr 答案 详解详解 用排除法 如 则 但 1 0 0 1 0 0 211 211 00 线性无关 排除 A 则可由线性表示 21 0 1 0 1 0 0 121 21 1 但线性无关 排除 B 可由线性表示 但 1 1 0 0 1 0 1 211 1 21 线性无关 排除 C 故正确选项为 D 1 评注评注 本题将一已知定理改造成选择题 如果考生熟知此定理应该可直接找到答案 若记不清楚 也可通过构造适当的反例找到正确选项 此定理见 数学复习指南 P 409 定定 5 分析分析 本题也可找反例用排除法进行分析 但 两个命题的反例比较复杂一 些 关键是抓住 与 迅速排除不正确的选项 详解详解 若 Ax 0 与 Bx 0 同解 则 n 秩 A n 秩 B 即秩 A 秩 B 命题 成立 可排除 A C 但反过来 若秩 A 秩 B 则不能推出 Ax 0 与 Bx 0 同解 如 则秩 A 秩 B 1 但 Ax 0 与 Bx 0 不同解 可见命题 不 00 01 A 10 00 B 成立 排除 D 故正确选项为 B 评注评注 文登学校数学辅导班上曾介绍过这样一个例题 例例 齐次线性方程组 Ax 0 与 Bx 0 同解的充要条件 A r A r B B A B 为相似矩阵 C A B 的行向量组等价 D A B 的列向量组等价 C 有此例题为基础 相信考生能迅速找到答案 6 分析分析 先由 分布的定义知 其中 再将其t n V U X 1 0 2 nVNU 代入 然后利用 F 分布的定义即可 2 1 X Y 详解详解 由题设知 其中 于是 n V U X 1 0 2 nVNU 这里 根据 F 分布的定义知 2 1 X Y 1 22 U n V U n V 1 22 U 故应选 C 1 1 2 nF X Y 评注评注 本题综合考查了 t 分布 分布和 F 分布的概念 要求熟练掌握此三类常 2 用统计量分布的定义 见 文登数学全真模拟试卷 数学一 P 57 第二大题第 6 小题 事实上完全相当于原题 和 数学复习指南 P 592 的定义和 P 595 的 解题提示解题提示 三三 本题满分 本题满分 10 分 分 分析分析 先求出切点坐标及切线方程 再用定积分求面积 A 旋转体体积可用一大立 体 圆锥 体积减去一小立体体积进行计算 为了帮助理解 可画一草图 详解详解 1 设切点的横坐标为 则曲线 y lnx 在点处的切线方程是 0 x ln 00 xx 1 ln 0 0 0 xx x xy 由该切线过原点知 从而 所以该切线的方程为01ln 0 x 0 ex 1 x e y 平面图形 D 的面积 1 0 1 2 1 edyeyeA y 2 切线与 x 轴及直线 x e 所围成的三角形绕直线 x e 旋转所得的圆锥体x e y 1 积为 3 1 2 1 eV 曲线 y lnx 与 x 轴及直线 x e 所围成的图形绕直线 x e 旋转所得的旋转体体积为 dyeeV y2 1 0 2 因此所求旋转体的体积为 3125 6 3 1 2 1 0 22 21 eedyeeeVVV y y 1 D O 1 e x 评注评注 本题不是求绕坐标轴旋转的体积 因此不能直接套用现有公式 也可考虑用 微元法分析 完全类似例题见 数学复习指南 P 197 的 例例 7 34 和 P 201 的 例例 7 42 四四 本题满分 本题满分 12 分 分 分析分析 幂级数展开有直接法与间接法 一般考查间接法展开 即通过适当的恒等变 形 求导或积分等 转化为可利用已知幂级数展开的情形 本题可先求导 再利用函数 x 1 1 的幂级数展开即可 然后取 x 为某特殊值 得所求级数的 n xxx x 2 1 1 1 和 详解详解 因为 2 1 2 1 4 1 2 41 2 2 0 2 xx x xf nn n n 又 f 0 所以 4 dttdttffxf nn xx n n 4 1 2 4 0 2 00 0 2 1 2 1 12 4 1 2 4 12 0 xx n n n nn 因为级数收敛 函数 f x 在处连续 所以 0 12 1 n n n2 1 x 2 1 2 1 12 4 1 2 4 12 0 xx n xf n n nn 令 得 2 1 x 0 12 0 12 1 4 2 1 12 4 1 2 4 2 1 n n n n n nn f 再由 得0 2 1 f 4 2 1 412 1 0 f n n n 评注评注 完全类似例题见 数学复习指南 P 228 的 例例 8 25 五五 本题满分 本题满分 10 分 分 分析分析 本题边界曲线为折线段 可将曲线积分直接化为定积分证明 或曲线为封闭 正向曲线 自然可想到用格林公式 2 的证明应注意用 1 的结果 详解详解 方法一方法一 1 左边 dxedye xy 0 sin 0 sin 0 sinsin dxee xx 右边 0 0 sinsin dxedye xy 0 sinsin dxee xx 所以 dxyedyxedxyedyxe x L yx L ysinsinsinsin 2 由于 故由 1 得2 sinsin xx ee 2 2 0 sinsinsinsin dxeedxyedyxe xxx L y 方法二 方法二 1 根据格林公式 得 D xyx L y dxdyeedxyedyxe sinsinsinsin D xyx L y dxdyeedxyedyxe sinsinsinsin 因为 D 具有轮换对称性 所以 D xy dxdyee sinsin D xy dxdyee sinsin 故 dxyedyxedxyedyxe x L yx L ysinsinsinsin 2 由 1 知 D xyx L y dxdyeedxyedyxe sinsinsinsin dxdyedxdye DD xy sinsin 利用轮换对称性 dxdyedxdye DD xx sinsin 22 2sinsin dxdydxdyee DD xx 评注评注 本题方法一与方法二中的定积分与二重积分是很难直接计算出来的 因此期 望通过计算出结果去证明恒等式与不等式是困难的 另外 一个题由两部分构成时 求证 第二部分时应首先想到利用第一部分的结果 事实上 第一部分往往是起桥梁作用的 本题完全类似例题见 数学复习指南 P 325 的 例例 12 15 相当于此例题中取 也就是说 本题是 例例 12 15 的特殊情形 x ex sin 六六 本题满分 本题满分 10 分 分 分析分析 本题属变力做功问题 可用定积分进行计算 而击打次数不限 相当于求数 列的极限 详解详解 1 设第 n 次击打后 桩被打进地下 第 n 次击打时 汽锤所作的功为 n x 由题设 当桩被打进地下的深度为 x 时 土层对桩的阻力的大小为 3 2 1 nWnkx 所以 22 1 0 1 22 1 a k x k kxdxW x 2 2 22 2 2 1 2 22 2 1 ax k xx k kxdxW x x 由可得 12 rWW 222 2 raax 即 1 22 2 arx 1 2 2 22 3 2 2 2 33 3 2 arx k xx k kxdxW x x 由可得 1 2 23 WrrWW 2222 3 1 ararx 从而 arrx 2 3 1 即汽锤击打 3 次后 可将桩打进地下 amrr 2 1 2 由归纳法 设 则arrrx n n 12 1 2 22 11 1 nn x x n xx k kxdxW n n 1 2 212 1 arrx k n n 由于 故得 11 2 1 WrWrrWW n nnn 2212 1 1 ararrx nn n 从而 1 1 1 1 1 a r r arrx n n n 于是 a r xn n 1 1 lim 1 即若击打次数不限 汽锤至多能将桩打进地下 m a r 1 1 评注评注 本题巧妙地将变力作功与数列极限两个知识点综合起来了 有一定难度 但 用定积分求变力做功并不是什么新问题 何况本题的变力十分简单 变力更复杂的情形可 参见 数学复习指南 P 202 的 例例 7 44 45 七七 本题满分 本题满分 12 分 分 分析分析 将转化为比较简单 关键是应注意 dy dx dx dy dy dx y dx dy 11 2 2 dy dx dy d dy xd dy dx ydx d 1 32 1 y y yy y 然后再代入原方程化简即可 详解详解 1 由反函数的求导公式知 于是有 ydy dx 1 2 2 dy dx dy d dy xd dy dx ydx d 1 32 1 y y yy y 代入原微分方程得 sin xyy 2 方程 所对应的齐次方程的通解为0 yy 21 xx eCeCY 设方程 的特解为 xBxAysincos 代入方程 求得 故 从而的通解是 2 1 0 BAxysin 2 1 xyysin sin 2 1 21 xeCeCyYy xx 由 得 故所求初值问题的解为 2 3 0 0 0 yy1 1 21 CC sin 2 1 xeey xx 评注评注 本题的核心是第一步方程变换 完全类似例题见 数学复习指南 P 53 的 例例 2 8 八八 本题满分 本题满分 12 分 分 分析分析 1 先分别在球面坐标下计算分子的三重积分和在极坐标下计算分母的重积 分 再根据导函数的符号确定单调性 2 将待证的不等式作适当的恒等变形后 构 t F 造辅助函数 再用单调性进行证明即可 详解详解 1 因为 t t t t rdrrf drrrf rdrrfd drrrfdd tF 0 2 0 22 2 00 2 2 000 22 2 sin 2 0 2 0 22 2 rdrrf drrtrrfttf tF t t 所以在上 故 F t 在内单调增加 0 0 t F 0 2 因 t t drrf rdrrf tG 0 2 0 2 要证明 t 0 时 只需证明 t 0 时 即 2 tGtF 0 2 tGtF 0 00 2 0 2222 ttt rdrrfdrrfdrrrf 令 ttt rdrrfdrrfdrrrftg 00 2 0 2222 则 故 g t 在内单调增加 0 2 0 22 drrtrftftg t 0 因为 g t 在 t 0 处连续 所以当 t 0 时 有 g t g 0 又 g 0 0 故当 t 0 时 g t 0 因此 当 t 0 时 2 tGtF 评注评注 本题将定积分 二重积分和三重积分等多个知识点结合起来了 但难点是证 明 2 中的不等式 事实上 这里也可用柯西积分不等式证明 dxxgdxxfdxxgxf b a b a b a 222 在上式中取 f x 为 g x 为即可 rrf 2 2 rf 完全类似例题见 数学题型集粹与练习题集 P 129 例例 9 21 例例 9 24 和 数学 复习指南 P 305 的 例例 11 26 九九 本题满分 本题满分 10 分 分 分析分析 可先求出 进而确定及 B 2E 再按通常方法确定其 1 PAPAPB 1 特征值和特征向量 或先求出 A 的特征值与特征向量 再相应地确定 A 的特征值