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高二数学 2 4 1抛物线及其标准方程 1 2 3 1a抛物线及其标准方程 gsp 椭圆 双曲线的第二定义 m m 与一个定点的距离和一条定直线的距离的比是常数的点m的轨迹 当时 点m的轨迹是椭圆 当 时 点m的轨迹是双曲线 0 e 1 e 1 当 时 点m的轨迹是抛物线 e 1 l 解 以过f且垂直于l的直线为x轴 垂足为k 以f k的中点o为坐标原点建立直角坐标系xoy 两边平方 整理得 m x y f 依题意得 这就是所求的轨迹方程 标准方程 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点在x轴正半轴上 且p的几何意义是 焦点坐标是 准线方程为 焦点到准线的距离 若抛物线顶点在原点 焦点在坐标轴上 其开口方向有哪几种可能 向左 向上 向下 把方程y2 2px p 0 叫做抛物线的标准方程 其中p为正常数 表示焦点在x轴正半轴上 且p的几何意义是 焦点坐标是 准线方程为 想一想 坐标系的建立还有没有其它方案也会使抛物线方程的形式简单 方案 1 方案 2 方案 3 方案 4 焦点到准线的距离 y2 2px p 0 x2 2py p 0 y2 2px p 0 x2 2py p 0 p的意义 抛物线的焦点到准线的距离 方程的特点 1 左边是二次式 2 右边是一次式 决定了焦点的位置 3 焦点坐标中横 纵 坐标的值是一次项系数的1 4 准线方程中的数值是一次项系数的 1 4 四种抛物线的对比 数形共同点 1 原点在抛物线上 2 对称轴为坐标轴 3 焦点到准线的距离均为p 4 焦点与准线和坐标轴的交点关于原点对称 口诀 对称轴要看一次项 符号确定开口方向 看x的一次项系数 正时向右 负向左 看y的一次项系数 正时向上 负向下 求p 例1已知抛物线的标准方程是y2 6x 求它的焦点坐标和准线方程 焦点为准线方程为 例2已知抛物线的焦点坐标是f 0 2 求它的标准方程 解 因为焦点在y轴的负半轴上 并且 2 p 4 所以所求抛物线的标准方程是x2 8y 例3已知抛物线的准线方程为x 1 求抛物线的标准方程 解 因为准线方程是x 1 所以p 2 且焦点在x轴的负半轴上 所以所求抛物线的标准方程是y2 4x 例4求满足下列条件的抛物线的标准方程 1 过点 3 2 2 焦点在直线x 2y 4 0上 1 2 例5点m到点f 4 0 的距离比它到直线l x 5 0的距离小1 求点m的轨迹方程 mf 1 x 5 解 直接法 设m x y 则由已知 得 另解 定义法 由已知 得点m到点
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