高等数学武大社教案10第十章多元函数微分学.docx

第十章 多元函数微分学一、教学目标1.熟悉多元函数的概念、多元函数的极限、多元函数的连续性、偏导数的概念、全微分的概念；2.掌握偏导数的运算、多元复合函数的求导法则、隐函数的求导法则、偏导数的几何应用；3.了解多元函数的极值.二、课时分配本章节共6个小节，共安排12个学时.三、教学重点1.二元函数的极限；2.多元复合函数偏导数概念及计算；3.隐函数的偏导数；4.微分法在几何上的应用；5.多元函数的极值问题（必要、充分条件）.四、教学难点1.多元函数的连续性；2.偏导数概念及计算；3.全微分的计算；4.拉格朗日乘数法.五、教学内容第一节 多元函数的基本概念一、区域1.邻域设P0（x0,y0）是xOy平面上的一个点，是某一正数.与点P0距离小于的点P（x,y）的全体称为点P0的邻域，记为U（P0，）,即U(P0,)=P|PP0|.在几何上，U（P0，）就是xOy平面上以点P0为中心、(0)为半径的圆的内部的点P（x,y）的全体.如果不需要强调邻域半径，则用U（P0）表示点P0的邻域.点P0的去心邻域记作U.（P0）.2.区域设D为一平面点集，若有点P的某邻域U（P）D,则称点P为点集D的内点.若点集D的点都是内点，则称D为开集.例如，点集D=(x,y)|1x2+y24就是开集.设D为一开集,若对D中的任意两点,都可以用完全落在D内的折线连接起来,则称D具有连通性.连通的开集称为区域或开区域.如点集(x,y)|x+y0及（x,y）|1x2+y24都是区域.若点P的任一邻域内既有属于D的点也有不属于D的点（点P本身可以属于D，也可以不属于D），则称P为D的边界点.D的边界点的全体称为D的边界.开区域与其边界的并集称为闭区域.例如，点集(x,y)|1x2+y24是闭区域.对于点集D，若存在一个正实数M，使得D内任意两点的距离都不大于M，则称D为有界点集，否则，称D为无界点集.若D为闭区域而且有界，则称D为有界闭区域.例如，点集（x,y）|1x2+y24是有界闭区域，而点集(x,y)|x+y0就是无界区域.邻域、区域等概念可以很容易地推广到三维及以上空间.二、多元函数的概念在实际生活中，经常会遇到多个变量之间的依赖关系，如矩形面积S与它的长x、宽y之间具有关系S=xy.这里，当x,y在集合（x,y）|x0,y0内取定一对值（x,y）时，S的对应值就随之确定.又如圆柱体的体积V和它的底半径r、高h之间具有关系V=r2h.这里，当r,h在集合(r,h)|r0,h0内取定一对值（r,h）时，V的对应值就随之确定.定义1 设D是xOy平面上的一个点集，若对D中的每一点P（x,y）,变量z按照一定的法则总有确定的值与之对应，则称z为变量x,y的二元函数（或点P的函数），记为z=f(x,y)(或z=f(P).点集D称为该函数的定义域，x,y称为自变量，z称为因变量.数集M=z|z=f(x,y),(x,y)D称为该函数的值域.z是x,y的函数，有时也记为z=z(x,y).类似地，可定义三元函数u=f(x,y,z)及三元以上函数.二元及二元以上函数统称为多元函数.【例1】求下列函数的定义域:（1）z=R2-x2-y2(2) z=lnx2+y2-1+14-x2-y2【解】(1) 要使函数的解析式有意义，x,y必须满足R2-x2-y20,所以函数的定义域是D=x,yx2+y2R2即以原点为圆心、半径为R的圆内及圆周上一切点P（x,y）的集合，如图 (a)所示.(2) 要使函数的解析式有意义，x,y必须满足不等式组x2+y2-104-x2-y20所以函数的定义域是D=x,y1x2+y24即以原点为圆心、半径为1，2的两个同心圆之间的一切点P（x,y）的集合，如图（b）所示三、二元函数的极限定义2 设二元函数z=f(x,y)在点P0（x0,y0）的某邻域内有定义（点P0可以除外）.如果点P（x,y）在该邻域内以任意方式无限趋于点P0（x0,y0）时，对应的函数值f(x,y)无限接近于一个确定的常数A，则称A是二元函数f(x,y)当（x,y）(x0,y0)时的极限，记作lim(x,y)(x0,y0)fx,y=A或limxx0yy0fx,y=A与一元函数极限的定义相比较，形式上无多大区别，但二元函数的极限过程要比一元函数复杂得多，即点P（x,y）P0(x0,y0)的方式有无穷多种.二元函数极限定义要求点P（x,y）无论以什么方式趋于点P0（x0,y0），对应的函数值必须无限接近于同一个常数A，因此，如果点P（x,y）沿两个不同的途径趋于点P0（x0,y0）时，对应的函数值趋于两个不同的常数，则二元函数的极限不存在.【例2】证明极限limx0y0xyx2+y2不存在.【证明】当点（x,y）沿着x轴趋于原点（0，0），即y=0且x0时，有limx0y0xyx2+y2=limy=0x0xyx2+y2=limx00x2=0当点(x,y)沿直线y=x趋于原点(0,0)即y=x,x0时,有limx0y0xyx2+y2=limy=xx0xyx2+y2=limx0x22x2=12所以,极限limx0y0xyx2+y2不存在.四、二元函数的连续性定义3 设函数f(x,y)在区域(或闭区域)D内有定义,P0(x0,y0)是D的内点(或边界点)且P0D.若limxx0yy0fx,y=fx0,y0则称函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处连续.若函数f(x,y)在区域(或闭区域)D内的每一点都连续,则称f(x,y)在D内连续,或称f(x,y)是D内的连续函数.若函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处不连续,则称点P0为函数f(x,y)的间断点.以上关于二元函数的连续性概念,可相应地推广到多元函数上去.性质1(最值定理)在有界闭区域上的连续函数必有最大值与最小值.性质2(介值定理)在有界闭区域D上的连续函数,在D上必能取得介于其在D上的最大值与最小值之间的任何值至少一次.【例5】讨论函数f(x,y)=xyx2+y2,x2+y200,x2+y2=0在点(0,0)处的连续性.【解】由例2知, limx0y0f(x,y)的极限不存在,所以函数f(x,y)在点(0,0)处不连续,即f(x,y)在点(0,0)处间断.类似于一元函数,如果函数f(x,y)在点P0(x0,y0)处无定义,那么函数f(x,y)就在点P0处不连续,即P0(x0,y0)就为函数f(x,y)的间断点.二元函数的间断点可以形成一条曲线例如,函数f(x,y)=sin1x2+y2-1在圆周x2+y2=1上没有定义,所以该圆周上各点都是间断点.第二节 偏导数一、一阶偏导数1. 一阶偏导数的概念一定量的理想气体的体积V与压强p和绝对温度T之间,遵循波义耳-马略特定律,即这三者之间存在如下的函数关系:V=RT/p(比例系数R是常数).2. 一阶偏导数的几何意义函数z=f(x,y)在点P0(x0,y0)处的偏导数fx(x0,y0),在数学上反映了z关于自变量x的变化率；在几何上，则是方程为z=f(x,y)的曲面与平面y=y0的交线ly,在点P0处的切线P0T与x轴正向夹角的正切.同理，偏导数fy(x0,y0)在数学上反映了z关于自变量y的变化率；在几何上则是方程为z=f(x,y)的曲面与平面x=x0的交线lx，在点P0处的切线P0T1与y轴正向夹角的正切.3. 一阶偏导函数如果函数z=f(x,y)在区域D内每一点P（x,y）处对x或y的偏导数都存在，那么求偏导数的结果还是x,y的函数，称为函数z=f(x,y)对自变量x或y的偏导函数，记作zx,fx,zx,fxx,y或zy,fy,zy,fyx,y有了函数的偏导函数，那么在某点P0处的偏导数就是相应偏导函数在P0处的函数值.在不会引起混淆的地方，也把偏导函数简称为偏导数.4. 一阶偏导数的计算例：求z=2x2sin3y的偏导数.zx=4xsin3y,zy=6x2cos3y.【例2】求z=2x2sin3y的偏导数.【解】zx=4xsin3y,zy=6x2cos3y【例3】求函数u=x2+y2+z2对各自变量的一阶偏导数.【解】ux=2x2x2+y2+z2=xx2+y2+z2uy=yx2+y2+z2,uz=zx2+y2+z2二、高阶偏导数二元函数的二阶偏导数用下列记号来表示：xzx=2zx2=2fx2=fxxx,y=zxxx,yyzy=2zy2=2fy2=fyyx,y=zyyx,yyzx=2zxy=2fxy=fxyx,y=zxyx,yxzy=2zyx=2fyx=fyxx,y=zyxx,y同样地，如果函数z=f(x,y)的二阶偏导数还存在一阶偏导数，则继续求一阶偏导数的结果，就称为z=f(x,y)的三阶偏导数，其记号与二阶偏导数类似.x2zyx=3zyxx=fyxxx,y,y2zyx=3zyxy=fyxyx,y依此类推，函数z=f(x,y)的n-1阶偏导数的偏导数，就称为该函数的n阶偏导数.二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数.【例4】求函数z=x3y-3x2y3的二阶偏导数.【解】先求一阶偏导数zx=3x2y-6xy3,zy=x3-9x2y2再求二阶偏导数2zx2=xzx=x3x2y-6xy3=6xy-6y32zxy=yzx=y3x2y-6xy3=3x2-18xy22zyx=xzy=xx3-9x2y2=3x2-18xy22zy2=yzy=yx3-9x2y2=-18x2y定理 如果函数z=f(x,y)在区域D内存在连续的一阶偏导数fx(x,y),fy(x,y)和连续的二阶混合偏导数fxy(x,y),则在D上另一混合偏导数fyx(x,y)也存在，且fyx(x,y)fxy(x,y).第三节 全微分及其应用一、全微分的定义对一元函数y=f(x),我们讨论了函数的微分dy,它与函数的增量y有关系y=dy+o(x)=f(x)x+o(x).即函数的微分是函数增量的线性主部.定义 如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处的全增量z可表示为z=fx(x,y)x+fy(x,y)y+o().称z=f(x,y)在点(x,y)处可微,而将上式中x和y的线性项部分称为z=f(x,y)在点(x,y)处的全微分,记作dz,即dz=fx(x,y)x+fy(x,y)y.自变量的增量x,y又称为自变量的微分,分别记为dx,dy,则函数的全微分又可表示为dz=fxx,ydx+fyx,ydy或dz=zxdx+zydy由全微分的定义可见,若z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则函数在该点的偏导数存在.且由limx0y0z=zxlimx0y0x+zylimx0y0y+limx0y0o()=0知z=f(x,y)在点(x,y)处连续.定理 (全微分存在的必要条件)如果函数z=f(x,y)在点(x,y)处可微,则函数在该点处必定连续且偏导数fx(x,y),fy(x,y)存在.【例3】求函数u=ex2yz的全微分.【解】ux=2xyzex2yz,uy=x2zex2yz,uz=x2yex2yzdu=uxdx+uydy+uzdz=2xyzex2yzdx+x2zex2yzdy+x2yex2yzdz【例4】求函数z=x3e2y+y2x的全微分.【解】dz=dx3e2y+dy2x=e2ydx3+x3de2y+2xydy-y2dxx2=e2y3x2dx+2x3e2ydy+2yxdy-y2x2dx=3x2e2y-y2x2dx+2x3e2y+2yxdy二、全微分的应用利用全微分的概念，可进行函数的近似计算.设函数z=f(x,y)在点（x,y）处可微，则全增量可表示为z=fx(x,y)x+fy(x,y)y+o().略去高阶无穷小o(),当|x|,|y|充分小时，全增量近似用全微分表示为z=f(x+x,y+y)-f(x,y)fx(x,y)x+fy(x,y)y,即有近似计算公式f(x+x,y+y)f(x,y)+fx(x,y)x+fy(x,y)y.【例5】利用全微分求1.0012.99的近似值.【解】设z=f(x,y)=xy,x=1,x=0.001;y=3,y=-0.01,则有fxx,y=yxy-1,fyx,y=xylnx,fx1,3=3,fy1,3=0于是1.0012.99=f(1+0.001,3-0.01)f(1,3)+fx(1,3)0.001+fy(1,3)(-0.01)=1+30.001+0(-0.01)=1.003第四节 多元复合函数和隐函数的求导法则一、多元复合函数的求导法则定理 如果函数u=u(x,y),v=v(x,y)在点（x,y）处的偏导数都存在，函数z=f(u,v)在对应点（u,v）处偏导数存在且连续，则复合函数z=fu(x,y),v(x,y)在点（x,y）处的偏导数存在，并有如下求偏导数的公式：zx=zuux+zvvxzy=zuuy+zvvy【例3】设z=u2v，u=sinx，v=cosx，求dzdx【解】如图所示，可知dzdx=zududx+zvdvdx=2uvcosx+u2-sinx=2sinxcosxcosx-sin3x=2sinxcos2x-sin3x此题也可以将u=sinx，v=cosx代回z中，则z=sin2xcosx因此dzdx=2sinxcos2x+sin2x-sinx=2sinxcos2x-sin3x二、隐函数的求导法则设y=f(x)是由方程F(x,y)=0所确定的一元隐函数,在恒等式F(x,f(x)=0两边对x求全导数,得Fx(x,y)+Fy(x,y)dy/dx=0.当Fy(x,y)0时,解得Dy/dx=-Fx(x,y)/Fy(x,y)=-Fx/Fy.这样,我们用偏导数给出了一元隐函数的求导公式.同样,设方程F(x,y,z)可确定一个二元隐函数z=f(x,y),在恒等式F(x,y,f(x,y)=0两边分别对x和y求偏导数,得Fx+Fzzx=0, Fy+Fzzy=0当Fz0时,解得zx=-FxFz,zy=-FyFz上式可作为二元隐函数求一阶偏导数的公式.【例9】设z=f(x,y)是由方程x2+y2+z2-4z=0确定的隐函数,求2zx2,2zxy【解】方程两边对x求偏导,有2x+2z-4zx=0解得zx=x2-z,同理可求得zy=y2-z.再求二阶偏导数,其中z还是要看成x,y的函数,有2zx2=xx2-z=2-z-x-zx2-z2=2-z+xx2-z2-z2=2-z2+x22-z32zxy=yx2-z=-x-zy2-z2=xy2-z2-z2=xy2-z3第五节 偏导数在几何上的应用一、空间曲线的切线与法平面设空间曲线的参数方程为x=(t),y=(t),z=(t).假设(t),(t),(t)都可导,且其导数不全为零.当t=t0时,对应于曲线上的定点M0(x0,y0,z0),且(t0),(t0),(t0)不全为零.在t0处有增量t,当t=t0+t时,对应于曲线上另一点M(x0+x,y0+y,z0+z),则割线M0M的方程为x-x0/x=y-y0/y=z-z0/z.用t去除上式各分母,得x-x0/x/t=y-y0/y/t=z-z0/z/t.仍表示割线M0M的方程.让点M沿曲线无限趋于点M0(即t0),割线开始绕点M0转动,若割线有极限位置M0T,则称M0T为曲线在点M0处的切线,这时limt0xt=t0,limt0yt=t0,limt0zt=t0于是,切线方程为x-x0t0=y-y0t0=z-z0t0其中,切线的方向向量记作T,则T=(t0),(t0),(t0)称T为曲线在点M0处的切向量.过点M0且与切线垂直的平面称为曲线在点M0处的法平面.这时,曲线的切向量T是曲线的法平面的法向量,则法平面方程为(t0)(x-x0)+(t0)(y-y0)+(t0)(z-z0)=0.【例1】求螺旋线x=cost,y=sint,z=3t在对应于t=3的点P处的切线及法平面方程.【解】当t=3时, x=12,y=32,z=,得点P12,32,.又dxdt=-sint,dydt=cost,dzdt=3代入t=3,得T=-32,12,3,所以切线方程为x-12-32=y-3212=z-3法平面方程为-32x-12+12y-32+3z-=0即-3x+y+6z=6二、曲面的切平面与法线设曲面的方程为F(x,y,z)=0,点M0(x0,y0,z0)为曲面上的一点,函数F(x,y,z)在点M0处具有连续的偏导数,且不同时为零.可以证明,在曲面上作过点M0的任何曲线,如果它们在M0处有切线,则这些切线都在同一平面上,称该平面为曲面在点M0处的切平面.这时,切平面的法向量n=Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0).称n为曲面在点M0处的法向量.所以,曲面在点M0(x0,y0,z0)处的切平面方程为Fx(x0,y0,z0) (x-x0)+Fy(x0,y0,z0) (y-y0)+Fz(x0,y0,z0) (z-z0)=0.过点M0且垂直于切平面的直线,称为曲面在点M0处的法线.这时,曲面在点M0处的法向量n可作为法线的方向向量,所以法线的方程为x-x0/Fx(x0,y0,z0)=y-y0/Fy(x0,y0,z0)=z-z0/Fz(x0,y0,z0).特别地,若曲面的方程由显函数z=f(x,y)给出,函数f(x,y)在点(x0,y0)处具有连续偏导数,这时曲面由三元方程f(x,y)-z=0所确定,其中F(x,y,z)=f(x,y)-z.曲面在点M0处的法向量为n=fx(x0,y0),fy(x0,y0),-1.所以,曲面在点M0处的切平面方程为fx(x0,y0) (x-x0)+fy(x0,y0) (y-y0)-(z-z0)=0.法线方程为x-x0/fx(x0,y0)=y-y0/fy(x0,y0)=z-z0/-1.【例4】在曲面z=xy上求一点,使该点处的法线垂直于平面2x+y-z+2=0,并求在该点处曲面的法线和切平面方程.【解】设所求的点为M0(x0,y0,z0),由于zx=y,zy=x,所以可得曲面在M0处的法向量为n=y0,x0,-1因为法线垂直于已知平面,从而法线的方向向量n平行于已知平面法向量n1=2,1,-1,又由向量平行的充分必要条件,有y02=x01=-1-1即x0=1,y0=2.代入曲面方程z=xy中,得z0=2.于是,所求的点为M0(1,2,2),这时,曲面在点M0处的法向量为n=2,1,-1由式(10-5),得所求的法线方程为x-12=y-21=z-2-1由式(10-4),得所求的切平面方程为2(x-1)+(y-2)-(z-2)=0即2x+y-z-2=0第六节 多元函数的极值一、多元函数的极值定义 设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某个邻域内有定义,如果对于该邻域内的任意点(x,y),有f(x,y)f(x0,y0) (或f(x,y)f(x0,y0).则称f(x0,y0)为函数f(x,y)的极大值(或极小值),而称点(x0,y0)为函数的极大值点(或极小值点).函数的极大值与极小值统称极值,极大值点与极小值点统称极值点.定理 (极值存在的必要条件)设二元函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有一阶偏导数且取得极值,则必有fx(x0,y0)=fy(x0,y0)=0.定理 (极值存在的充分条件)若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某邻域有连续二阶偏导数，且点(x0,y0)是它的驻点，记A=fxx(x0,y0),B=fxy(x0,y0),C=fyy(x0,y0),则(1)当B2-AC0时，f(x0,y0)是极值，且当A0时为极大值，A0时为极小值；(2)当B2-AC0时，f(x0,y0)不是极值；(3)当B2-AC=0时，f(x0,y0)可能是极值，也可能不是极值.【例1】求函数f(x,y)=x3+y3-3xy的极值.【解】先求函数的驻点和使偏导数不存在的点，由方程组fxx,y=3x2-3y=0fxx,y=3y2-3x=0解得两个驻点（0，0）和（1，1），且没有使偏导数不存在的点.再由二阶偏导数值判定：由fxxx,y=6x, fxyx,y=-3,fyyx,y=6y,在点（0，0）处，A=0，B=-3，C=0，由于=B2-AC=90,所以驻点（0，0）不是极值点，即函数在点（0，0）处无极值.在点（1，1）处，由于A=60，B=-3，C=6，=B2-AC=-270,所以驻点（1，1）为函数的极小值点，且极小值