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球的体积和表面积 1 3 2 圆锥 圆柱 圆台 球体 旋转体 常见的球体 篮球 足球 地球我们可以近似看成一个球体 怎样求球的体积 实验 排液法测小球的体积 实验 排液法测小球的体积 实验 排液法测小球的体积 实验 排液法测小球的体积 实验 排液法测小球的体积 实验 排液法测小球的体积 实验 排液法测小球的体积 h 小球的体积等于它排开液体的体积 实验 排液法测小球的体积 曹冲称象 割圆术 早在公元三世纪 我国数学家刘徽为推导圆的面积公式而发明了 倍边法割圆术 他用加倍的方式不断增加圆内接正多边形的边数 使其面积与圆的面积之差更小 即所谓 割之弥细 所失弥小 这样重复下去 就达到了 割之又割 以至于不可再割 则与圆合体而无所失矣 这是世界上最早的 极限 思想 球体的分割 球体是有n个这样的形状组成 这样可以求出球体体积为 例1 钢球直径是5cm 求它的体积 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 变式1 一种空心钢球的质量是142g 外径是5cm 求它的内径 钢的密度是7 9g cm2 解 设空心钢球的内径为2xcm 则钢球的质量是 答 空心钢球的内径约为4 5cm 由计算器算得 1 球的直径伸长为原来的2倍 体积变为原来的几倍 课堂练习 8倍 球面 半圆以它的直径为旋转轴 旋转所成的曲面 球 即球体 球面所围成的几何体 它包括球面和球面所包围的空间 半径是r的球的体积 推导方法 分割 求近似和 化为准确和 球面不能展开成平面图形 所以求球的表面积无法用展开图求出 如何求球的表面积公式呢 回忆球的体积公式的推导方法 得到启发 可以借助极限思想方法来推导球的表面积公式 3 球的表面积 球的表面积 第一步 分割 球面被分割成n个网格 表面积分别为 则球的表面积 球的表面积 球的表面积是大圆面积的4倍 例1 如图 圆柱的底面直径与高都等于球的直径 求证 1 球的表面积等于圆柱的侧面积 2 球的表面积等于圆柱全面积的三分之二 o 证明 2 例2 如图 已知球o的半径为r 正方体abcd a1b1c1d1的棱长为a 它的各个顶点都在球o的球面上 求证 分析 正方体内接于球 则由球和正方体都是中心对称图形可知 它们中心重合 则正方体对角线与球的直径相等 略解 变题1 如果球o切于这个正方体的六个面 则有r 1 地球和火星都可以看作近似球体 地球半径约为6370km 火星的直径约为地球的一半 求地球的表面积和体积 火星的表面积约为地球表面积的几分之几 体积呢 课堂练习 解 1 2 小结 1 有关球和球面的概念 2 球的体积公式 球的表面积公式 3 用 分割 求近似和 化为准确和 的数学方法推出了球的体积和表面积公式 4 球的体积公式和表面积的一些运用 1 若球的表面积变为原来的2倍 则半径变为原来的 倍 2 若球的半径变为原来的2倍 则表面积变为
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