高中数学：第三章数列课件(共15套)新课标人教A版必修1数列求和专题讲座.ppt

数 列 求 和 s a b c d e f g h 数 列 求 和 介绍求一个数列的前n项和的几种方法 1 运用公式法 2 错位相减法 3 裂项相消法 4 通项分析法 数 列 求 和 一 运用公式法 运用公式法主要是使用已经证明 并承认其在解决其他问题时可以使用的公式来进行数列求和 如 等差数列的求和公式 等比数列的求和公式 还有一些常用公式 请看下面例子 数 例1求数列的前n项和 分析 由这个数列的前五项可看出该数列是由一个首项为1 公差为2的等差数列与一个首项为 公比为的等比数列的和数列 所以它的前n项和可看作一个等差数列的前n项和与一个等比数列的前n项和的和 解 归纳出 奇数列的前n项和 列 求 和 1 这类题的方法可用 分组求和法 二 错位相减法 错位相减法在等比数列求前n项和时用过 它主要用于由一个等差数列与一个等比数列的积数列 求法步骤如下 1 在的两边同时乘于公比q 2 两式相减 左边为 右边q的同次式相减 3 右边去掉最后一项 有时还得去掉第一项 剩下的各项组成等比数列 可用公式求和 看以下例子 数 列 求 和 例2求数列的前n项和 分析 该数列可看作等差数列等比数列的积数列 这里等比数列的公比q 解 两式相减 所以 运算整理得 数 列 求 和 2 例3设求数列的前n项和 分析 这个数列的每一项都含有a 而a等于1或不等于1 对数列求和有本质上的不同 所以解题时需讨论进行 解 两边同乘a 两式相减 所以 运算并整理得 数 列 求 和 2 三 裂项相消法 顾名思义 裂项相消法 就是把数列的项拆成几项 然后 前后交叉相消为0达到求和目的的一种求和方法 求法步骤 1 先分析数列的项的结构 把通项式 裂 成几项 注意 裂开后的通项式当n k和n k d时有相消为0的情况出现才行 2 解题时 对裂开后的通项式令n取1 2 3 n 然后相加得 3 把和式中每一对相消为0的式子除去 整理剩下的式子即为和式 请看下面例子 数 列 求 和 例4求数列的前n项和 分析 该数列的特征是 分子都是1 分母是一个以1为首项 以3为公差的等差数列的相邻两项的乘积 只要分子变为公差3 就可以裂项了 解 数 列 求 和 3 例5求数列的前n项和 分析 该数列的分子是偶数的平方 分母是奇数列相邻两项的乘积 从例4的经验看 该数列求和使用 裂项相消法 的可能性较大 那就看分子能否化为常数 注意到该数列的通项公式的特征 分子 分母同次且没有一次项 所以使用处理分式函数的常用手段 分离常数法 即可把分子化为常数 变化如下 数 列 求 和 3 解 共n项 数 列 求 和 3 例6已知求s 分析 由阶乘的性质可知 所以 于是该和式求值可用 裂项相消法 解 数 列 求 和 3 四 通项分析法 通项分析法就是根据前面学过的运用公式法 错位相减法 裂项相消法为基础 对数列的通项公式进行分析 从而决定使用那种方法求和 求法步骤 1 确定所求和数列的通项公式 必要时 注意使用由已知数列的前几项 求这数列的一个通项公式的方法 2 分析通项公式时 在确定首项 末项 及项数的同时还要分析清楚是那些数列的和 差 积 商数列 请看下面例子 数 列 求 和 例7求数列的前n项和 分析 由数列的结构来分析 该数列的第k项应该是 通过分析可知 该数列是以为首项 以为末项 共有n项的数列 从通项公式的结构来分析 该数列是一个以2为首项 以2为公比的等比数列与一个常数列的差数列 所以它的前n项和是一个等比数列的前n项和与一个常数为1的常数列的前n项和的差 通过这样分析 确定解题方向就方便了 解 数 列 求 和 4 例8求和 分析 这个数列是数列1 2 3 n与它的倒序数列的积数列 共有n项 在这里把n看成常数来分析它的通项就容易了 k取从1到n的自然数 所以 该数列可以看作通项为的三个数列的差 和数列 解 数 列 求 和 4 例9求数列前n项和 分析 由所求数列的每一项都是一个等比数列的和 其第k项 通项公式理解清楚后 现在可以就以上三种情况考虑求和了 该数列是自然数列 求和容易 n为偶数时 n为奇数时 此时的和式 转化为求数列 的通项公式 解 数 列 求 和 4 分析 所以 每一项由三个连续自然数的积组成 前后两项有两个因子相同 很自然联想使用裂项相消求和 对例10的两种解法进行归纳可以清楚看到平时练习时有意识的经验积累 在关键时产生联想是很有帮助的 数 列 求 和 4 例11设等差数列的前n项为 且 若 求数列的前n项和 分析 由已知该数列是等差数列且已知 所以必能求出通项和前n项