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排列组合中的分组分配问题 1掌握平均分组问题解决方法 理解其实际应用2理解 的非均分组问题 学习目标 解决方法及其简单应用 一 非均匀分组所谓 非均匀分组 是指将所有元素分成元素个数彼此不相等的组 例1 七个人参加义务劳动 按下列方法分组有多少种不同的分法 1 分成三组 分别为1人 2人 4人 2 选出5个人再分成两组 一组2人 另一组3人 二 均匀分组所谓 均匀分组 是指将所有元素分成所有组元素个数相等或部分组元素个数相等的组 1 全部均匀分组例2 从7个参加义务劳动的人中 选出6个人 分成两组 每组都是3人 有多少种不同的分法 分析 记7个人为a b c d e f g写出一些组来考察表1 2 部分均匀分组例3 将十个不同的零件分成四堆 每堆分别有2个 2个 2个 4个 有多少种不同的分法 分析 记十个零件为a b c d e f g h i j写出一些组来考察 解 因为分成2个 2个 2个 4个元素的四个堆 分别为 种 由分步计数原理及每 中只能算一种不同的分组方法得 由此可见 不论全部均匀分组还是部分均匀分组 如果有m个组的元素是均匀的 都有 种顺序不同的排法只能算一种分法 三 编号分组1 非均匀编号分组例4 从7个参加义务劳动的人中选出2人一组 3人一组 轮流挖土 运土 有多少种分组方法 解 分组的方法有 注 由于分组后各组要担任不同的工作 这就将不编号的组变为编号的组 只需乘以组数的全排列即可 2 部分均匀编号分组例5 有5本不同的书全部分给3人 每人至少一本 有多少种不同的分法 分析 5本不同的书全部分给3人有两类情况 一类是一人得3本 另外两人各得1本 另一类是一人得1本 另外两人各得2本 解 1 将书分成3本 1本 1本三组 再分给三个人的方法有 2 将书分成2本 2本 1本三组 再分给三人共有 所以 总的分组方法有60 90 150 种 注 此类题型只要先分组再排列即可 四 综合归类练习 例6 将5个编号不同的小球放入3个盒 使每个盒子都不空的投法有多少种 解 先将5个小球分成3组 只有两种分法 即3个 1个 1个 2个 2个 1个 其分组种数分别为 再把它们分别在3个盒子全排即得 10 15 6 180 种 注 这两道题都属于部分均匀分组再排列问题 可见组合问题应用面广 题型多变 需结合前面所讲加深理解 例7 现有6本不同的书分给甲 乙 丙三人 1 甲得1本 乙得2本 丙得3本 共有多少种不同的分法 2 甲 乙 丙三人均得2本有多少种不同的分法 3 一人得1本 一人得2本 一人得3本 共有多少种不同的分法 4 三人中的一人得1本 另外两人各得1本 共有多少种不同的分法 60 种 属非均匀分组 种 属均匀编号分组 360 种 属非均匀编号分组 种 属部分均匀编号分组 课堂小结 一平均分组问题1平均分成的组 不管它们的顺序如何 都是一种情况 所以分组后要
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