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文档简介

1 5定积分的概念 1 5 1曲边梯形的面积 问题提出 1 任何一个平面图形都有面积 其中矩形 正方形 三角形 平行四边形 梯形等平面多边形的面积 可以利用相关公式进行计算 2 如果函数y f x 在某个区间i上的图象是一条连续不断的曲线 则称函数f x 为区间i上的连续函数 3 如图所示的平面图形 是由直线x a x b a b y 0和曲线y f x 所围成的 称之为曲边梯形 如何计算这个曲边梯形的面积是一个需要探讨的课题 曲边梯形的面积 探究 一 三角形面积的算法 思考1 设 abc的底边ab a ab边上的高cd h 将cd分成n等分 过每个分点按如图所示作n 1个矩形 则从下到上各矩形的长分别为多少 宽为多少 第i个矩形的长为 每个矩形的宽为 思考2 这n 1个矩形的面积之和sn 1等于多少 思考3 随着n的增大 sn 1与 abc的面积愈接近 当n趋向于无穷大时 sn 1的极限为多少 由此可得什么结论 结论 三角形的面积等于各矩形面积之和的极限 探究 二 曲边梯形面积的算法 思考1 由抛物线y x2与直线x 1 y 0所围成的平面图形是什么 它与我们熟悉的平面多边形的主要区别是什么 直线x 0 x 1 y 0和曲线y x2所围成的曲边梯形 多边形的每条边都是直线段 上图中有一边是曲线段 思考2 设想用极限逼近思想求上面图形的面积 在该曲边梯形内作若干个小矩形 具体如何操作 将区间 0 1 分成n等分 按如图所示作n 1个矩形 思考3 上述n 1个矩形 从左到右各矩形的高分别为多少 宽为多少 第i个矩形的高为 每个矩形的宽为 思考4 利用公式计算 这n 1个小矩形的面积之和sn 1等于多少 思考5 如何利用各小矩形的面积之和求曲边梯形的面积s 所得的结果是什么 思考6 上述用极限逼近思想求曲边梯形面积的过程有哪几个基本步骤 分割 近似代替 求和 取极限 思考7 若按如图所示作小矩形 那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗 思考8 若分别以区间内任意一点对应的函数值为高作矩形 那么这些小矩形的面积之和的极限等于曲边梯形的面积吗 相等 理论迁移 例求直线x 0 x 3 y 0和曲线y x2 2x 3所围成的曲边梯形的面积 小结作业 2 求曲边梯形的面积的基本思路是 把曲边梯形分割成n个小曲边梯形 用小矩形近似替代小曲边梯形 求各小矩形的面积之和 求各小矩形面积之和的极限 1 用极限逼近原理求曲边梯形的面积 是一种 以直代曲 的思想 它体现了对立统一 量变与质变的辨证关系 3 上述求曲边梯
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