中山市华侨中学2014届高三上学期第四次模拟考试（理数）.doc

中山市华侨中学2014届高三第四次模拟考试数学（理科）本试卷共4页，20题，满分150分。考试用时120分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上。2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。4.考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将答题卡交回。 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，满分40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 设,则（ ） A. B. C. D. 2. 复数 （是虚数单位）的实部和虚部的和是（ ） A4 B6 C2 D3 3. 已知、满足，则的最大值为（ ）A B C D4. 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示，则该几何体的侧视图为（ ）5. 已知，,若,则的值为（ ）A B C D6. 甲乙等5个人站成一排，若甲乙两人之间恰有1个人，则不同站法有（ ） A18种 B24种 C36种 D48种7. 曲线与直线及所围成的封闭图形的面积为（）ABC D8.把已知正整数表示为若干个正整数（至少3个，且可以相等）之和的形式，若这几个正整数可以按一定顺序构成等差数列，则称这些数为的一个等差分拆将这些正整数的不同排列视为相同的分拆如：（1，4，7）与（7，1，4）为12的相同等差分拆正整数27的不同等差分拆有( )个. A. 9 B. 10 C. 11 D. 12二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，满分30分.9. 的展开式中的系数是 10. 等比数列中，且，则数列的前项和公式是 .EABCD11. 已知，则的值为 12.如图，正方形ABCD的边长为1，点E是CD的中点，则的值为 13.一个几何体的三视图如下图所示，则该几何体的体积为 14. 函数，的最小值为，则的值为 3 解答题。本大题共6小题，满分80分。解答需写出文字说明、证明过程和演算步骤。15.(本小题满分14分)如图，正方体的棱长为1.（1）求异面直线与所成角的大小；（2）求证:平面；（3）求三棱锥的表面积. ABCDA1B1C1D116.（本小题满分12分）函数(,)的最大值是5，周期为.(1)求和的值；（2）若,，求的值.17.（本小题满分14分）PABCDEF如图，在四棱锥中，底面，底面是直角梯形，,，,.(1)若,求证：平面;(2)若,求二面角的平面角的余弦值.18.(本小题满分12分)由于浓酸泄漏对河流形成了污染，现决定向河中投入固体碱。1个单位的固体碱在水中逐步溶化，水中的碱浓度（个浓度单位）与时间（个时间单位）的关系为。只有当河流中碱的浓度不低于1（个浓度单位）时，才能对污染产生有效的抑制作用。 （1）如果只投放1个单位的固体碱，则能够维持有效抑制作用的时间有多长？（2）当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，此后，每一时刻河中的碱浓度认为是两次投放的碱在该时刻相应的碱浓度的和，求河中碱浓度可能取得的最大值.19.（本题满分14分）数列的前项和为，对任意,.(1)求(2)求数列的通项公式；（3）求证： 20.(本小题满分14分)已知函数，其定义域为，（1）当时时，求函数的极大值；（2）求证：对于任意的，总存在，满足，并确定这样的的个数。参考答案题号12345678答案DCBBACDC二、填空题9. 10. 11. 12. 13. 14. 15.(1).解：面直线与所成角为-4分（2）-10分（3）-14分16.解：（1）,-2分 ,-4分(2) ,-6分,-8分-10分-12分PABCDEF17.(1)证明：且,-1分在中，,-2分平面,平面,OG平面-4分解：(2)取FC的中点G，连结EG，过G作GOBD于O,连结EO.在中，,在中，为FC的中点，,平面ABCD, ，平面ABCD 平面ABCD, 平面ABCD, BD,平面EGO, 平面EOG平面EOG, 平面EOG, 为二面角的平面角-9分在中，由得, -13分zxyPABCDEF二面角的平面角的余弦值为.-14分方法（二）建立如图所示的坐标系,-5分设,则点的坐标为-7分,-8分 设是平面EBD的法向量，取，则,-10分是平面BDC的法向量-11-分由得-13分因为二面角的平面角是锐角，所以，二面角的平面角的余弦值为-14分18.解： （1）-2分-4分综上，得-5分即若1个单位的固体碱只投放一次，则能够维持有效抑制作用的时间为-6分（2）当时， 单调递增-7分当时，单调递减-8分所以当河中的碱浓度开始下降时，即刻第二次投放1个单位的固体碱，即，由得，当时，第一、二次投放的固体碱的浓度均在下降（或降为0）.所以最大浓度发生的时间位于区间-9分当时-10分-11分故当且仅当时，有最大值.-12分 19. （方法一）解：（1）由得-2分（2）当时， 整理得-4分，所以对于任意正整数都有-5分-6分设，则当时，-7分-9分，而，所以数列的通项公式是.-10分(方法二) 解：（1）由得-2分，所以数列数列的通项公式是.-4分下面用数学归纳法证明该结论成立：(a)当结论显然成立 (b)假设当时结论成立，即-5分当时， 整理得 -7分 所以也就是说，当时结论也成立，-9分根据（a）（b）可知，对于任意-10分(3)当时，不等式成立，-11分当时， -12分 综上所述，.-14分20.解：-1-分 （1） 由得，或-2分当变化时，、的变化情况如下表极大值极小值的极大值为.-4分(