2017_18学年高中数学第三章不等式3.2均值不等式名师讲义.docx

3.2均值不等式预习课本P6971，思考并完成以下问题 (1)均值不等式的形式是什么？需具备哪些条件？ (2)在利用均值不等式求最值时，应注意哪些方面？ (3)一般按照怎样的思路来求解实际问题中的最值问题？ 1均值定理如果a，bR，那么.当且仅当ab时，等号成立，以上结论通常称为均值不等式对任意两个正实数a，b，数称为a，b的算术平均值(平均数)，数称为a，b的几何平均值(平均数)均值定理可叙述为：两个正实数的算术平均值大于或等于它的几何平均值点睛(1)“ab”是的等号成立的条件若ab，则，即.(2)均值不等式与a2b22ab成立的条件不同，前者a0，b0，后者aR，bR.2利用均值不等式求最值(1)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值；(2)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值1判断下列命题是否正确(正确的打“”，错误的打“”)(1)对任意a，bR，a2b22ab，ab2均成立()(2)若a0，则a24()(3)若a0，b0，则ab2()解析：(1)错误任意a，bR，有a2b22ab成立，当a，b都为正数时，不等式ab2成立(2)错误只有当a0时，根据均值不等式，才有不等式a24成立(3)正确因为，所以ab2.答案：(1)(2)(3)2已知f(x)x2(x0)，则f(x)有()A最大值为0 B最小值为0C最小值为2 D最小值为2答案：B3对于任意实数a，b，下列不等式一定成立的是()Aab2 B.Ca2b22ab D.2答案：C4已知0x1，则函数yx(1x)的最大值是_答案：利用均值不等式比较大小典例(1)已知ma(a2)，n22b2(b0)，则m，n之间的大小关系是()Amn Bmb1，P，Q(lg alg b)，Rlg ，则P，Q，R的大小关系是_解析(1)因为a2，所以a20，又因为ma(a2)2，所以m224，由b0，得b20，所以2b22，n22b2n.(2)因为ab1，所以lg alg b0，所以Q(lg alg b)P；Q(lg alg b)lg lg lg lg R.所以PQR.答案(1)A(2)PQ0，b0.活学活用已知a，b，c都是非负实数，试比较与(abc)的大小解：因为a2b22ab，所以2(a2b2)(ab)2，所以 (ab)，同理 (bc), (ca)，所以 (ab)(bc)(ca)，即(abc)，当且仅当abc时，等号成立.利用均值不等式证明不等式典例设a，b，c都是正数，求证：ab(ab)bc(bc)ca(ca)6abc.证明因为a，b，c都是正数，所以ab(ab)bc(bc)ca(ca)a2bab2b2cbc2c2aca2(a2bbc2)(b2cca2)(c2aab2)2226abc，所以原不等式成立，当且仅当abc时，等号成立利用均值不等式证明不等式的策略与注意事项(1)策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”(2)注意事项：多次使用均值不等式时，要注意等号能否成立；累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；对不能直接使用均值不等式的证明可重新组合，形成均值不等式模型再使用 活学活用已知a，b，c为正实数， 且abc1，求证：8.证明：因为a，b，c为正实数，且abc1，所以1.同理，1，1.上述三个不等式两边均为正，相乘得8，当且仅当abc时，取等号.利用均值不等式求最值典例(1)已知lg alg b2，求ab的最小值(2)已知x0，y0，且2x3y6，求xy的最大值(3)已知x0，y0，1，求xy的最小值解(1)由lg alg b2可得lg ab2，即ab100，且a0，b0，因此由均值不等式可得ab22 20，当且仅当ab10时，ab取到最小值20.(2)x0，y0,2x3y6，xy(2x3y)22，当且仅当2x3y，即x，y1时，xy取到最大值.(3)1，xy(xy)1910，又x0，y0，1021016，当且仅当，即y3x时，等号成立由得即当x4，y12时，xy取得最小值16.(1)应用均值不等式需注意三个条件：即一正、二定、三相等在具体的题目中，“正数”条件往往易从题设中获得解决，“相等”条件也易验证确定，而要获得“定值”条件却常常被设计为一个难点，它需要一定的灵活性和变形技巧因此，“定值”条件决定着基本不等式应用的可行性，这是解题成败的关键(2)常用构造定值条件的技巧变换：加项变换；拆项变换；统一变元；平方后利用基本不等式(3)对于条件最值要注意“1”的代换技巧的运用活学活用1已知a0，b0，若不等式2ab9m恒成立，则m的最大值为()A8 B7C6 D5解析：选C由已知，可得61，2ab6(2ab)66(54)54，当且仅当时等号成立，9m54，即m6，故选C.2若x0，y0，且x4y1，则xy的最大值为_解析：1x4y24，xy，当且仅当x4y时等号成立答案：利用均值不等式解应用题典例某单位决定投资3 200元建一仓库(长方体状)，高度恒定，它的后墙利用旧墙不花钱，正面用铁栅，每米长造价40元，两侧墙砌砖，每米长造价45元，顶部每平方米造价20元，求：(1)仓库面积S的最大允许值是多少？(2)为使S达到最大，而实际投资又不超过预算，那么正面铁栅应设计为多长？解(1)设铁栅长为x米，一堵砖墙长为y米，而顶部面积为Sxy，依题意得，40x245y20xy3 200，由均值不等式得3 200220xy12020xy，12020S.所以S61600，即(10)(16)0，故10，从而S100，所以S的最大允许值是100平方米，(2)取得最大值的条件是40x90y且xy100，求得x15，即铁栅的长是15米求实际问题中最值的解题4步骤(1)先读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式(2)把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题(3)在定义域内，求函数的最大值或最小值时，一般先考虑均值不等式，当均值不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单调性(4)正确写出答案活学活用某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为yx218x25(xN)，求当每台机器运转多少年时，年平均利润最大，最大值是多少解：每台机器运转x年的年平均利润为18，而x0，故1828，当且仅当x5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元故当每台机器运转5年时，年平均利润最大，最大值为8万元层级一学业水平达标1下列结论正确的是()A当x0且x1时，lg x2B当x0时，2C当x2时，x的最小值为2D当0x2时，x无最大值解析：选BA中，当0x1时，lg x2xC.1 Dx2解析：选C对于A，当x0时，无意义，故A不恒成立；对于B，当x1时，x212x，故B不成立；对于D，当x0时，不成立对于C，x211，1成立故选C.3设a，b为正数，且ab4，则下列各式中正确的一个是()A.1 B.1C. B.2，故.5若x0，y0，且1，则xy有()A最大值64 B最小值C最小值 D最小值64解析：选D由题意xyxy2y8x28，8，即xy有最小值64，等号成立的条件是x4，y16.6若a0，b0，且，则a3b3的最小值为_解析：a0，b0，2，即ab2，当且仅当ab时取等号，a3b3224，当且仅当ab时取等号，则a3b3的最小值为4.答案：47已知0x0，a恒成立，则a的取值范围是_解析：因为x0，所以x2.当且仅当x1时取等号，所以有，即的最大值为，故a.答案：9(1)已知x3，求f(x)x的最大值；(2)已知x，y是正实数，且xy4，求的最小值解：(1)x3，x30，b0，c0，所以2，2，2，所以6，当且仅当，即abc时，等号成立所以6.层级二应试能力达标1a，bR，则a2b2与2|ab|的大小关系是()Aa2b22|ab| Ba2b22|ab|Ca2b22|ab| Da2b22|ab|解析：选Aa2b22|ab|(|a|b|)20，a2b22|ab|(当且仅当|a|b|时，等号成立)2已知实数a，b，c满足条件abc且abc0，abc0，则的值()A一定是正数 B一定是负数C可能是0 D正负不确定解析：选B因为abc且abc0，abc0，所以a0，b0，c0，且a(bc)，所以，因为b0，c0，所以bc2，所以，又2，所以20，y0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的最小值为()A0 B1C2 D4解析：选D由题意，知所以2224，当且仅当xy时，等号成立4设a，b是实数，且ab3，则2a2b的最小值是()A6 B4C2 D8解析：选Ba，b是实数，2a0,2b0，于是2a2b2 224，当且仅当ab时取得最小值4. 5当x1时，不等式xa恒成立，则实数a的最大值为_解析：xa恒成立mina，x1，即x10，xx11213，当且仅当x1，即x2时，等号成立a3，即a的最大值为3.答案：36若正数a，b满足ab1，则的最小值为_解析：由ab1，知，又ab2(当且仅当ab时等号成立)，9ab10，.答案：7某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经调查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销费用m(m0)(单位：万元)满足x3(k为常数)，如果不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金，不包括促销费用)(1)将2016年该产品的利润y(单位：万元)表示为年促销费用m的函数；(2)该厂家2016年的促销费用为多少万元时，厂家的利润最大？解：(1)由题意，可知当m0时，