2017_18学年高中数学第一章1.7简单几何体的再认识学案.docx

第1课时柱、锥、台的侧面展开与面积核心必知1圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式几何体侧面展开图的形状侧面积公式圆柱矩形S圆柱侧2rl圆锥扇形S圆锥侧rl圆台扇环S圆台侧(r1r2)l其中r为底面半径，l为侧面母线长，r1，r2分别为圆台的上，下底面半径2直棱柱、正棱锥、正棱台的侧面积几何体侧面积公式直棱柱S直棱柱侧ch正棱锥S正棱锥侧ch正棱台S正棱台侧(cc)h其中c，c分别表示上，下底面周长，h表示高，h表示斜高问题思考1一个几何体的平面展开图一定相同吗？其表面积是否确定？提示：不同的展开方式，几何体的展开图不一定相同表面积是各个面的面积和，几何体的侧面展开方法可能不同，但其表面积唯一确定2柱体、锥体、台体之间有如下关系：那么台体、锥体、柱体的侧面积公式有什么联系？提示：根据以上关系，在台体的侧面积公式中，令cc，可以得到柱体的侧面积公式，令c0，可得到锥体的侧面积公式，其关系如下所示：S柱侧chcc,S台侧(cc)hS锥侧ch.3棱柱的侧面积一定等于底面周长与侧棱长的乘积吗？提示：不一定由棱柱的概念与性质可知棱柱的侧面展开图是一个平行四边形，此平行四边形的一边为棱柱的底面周长，另一边长为棱柱的侧棱长，但此平行四边形若不是矩形，则它的面积并不等于这两边长的乘积，所以棱柱的侧面积并不一定等于底面周长与侧棱长的乘积，只有直棱柱的侧面积才等于底面周长与侧棱长的乘积讲一讲1(1)圆柱的侧面展开图是边长为6和4的矩形，则圆柱的表面积为()A6(43)B8(31)C6(43)或8(31)D6(41)或8(32)(2)圆锥的中截面把圆锥侧面分成两部分，则这两部分侧面积的比为()A11 B12C13 D14尝试解答(1)选C圆柱的侧面积S侧64242.以边长为6的边为轴时，4为圆柱底面周长，则2r4，即r2，S底4，S全S侧2S底24288(31)以边长为4的边为轴时，6为圆柱底面周长，则2r6，即r3，S底9，S全S侧2S底242186(43)(2)选C如图所示，PB为圆锥的母线，O1，O2分别为截面与底面的圆心O1为PO2的中点，PAAB，O2B2O1A.S圆锥侧2O1APA，S圆台侧2(O1AO2B)AB，.1求柱、锥、台的表面积(或全面积)就是求它们的侧面积和(上、下)底面积之和2求几何体的表面积问题，通常将所给几何体分成基本的柱、锥、台，再通过这些基本柱、锥、台的表面积，进行求和或作差，从而获得几何体的表面积练一练1圆台的上、下底面半径分别是10 cm和20 cm，它的侧面展开图的扇环的圆心角是180，那么圆台的表面积是多少？解：如图所示，设圆台的上底面周长为c，因为扇环的圆心角是180，故cSA210，所以SA20(cm)，同理可得SB40(cm)，所以ABSBSA20(cm)，所以S表面积S侧S上S下(r1r2)ABrr(1020)201022021 100(cm2)故圆台的表面积为1 100 cm2.讲一讲2五棱台的上、下底面均是正五边形，边长分别是8 cm和18 cm，侧面是全等的等腰梯形，侧棱长是13 cm，求它的侧面积尝试解答如图是五棱台的其中一个侧面，它是一个上底、下底分别为8 cm和18 cm，腰长为13 cm的等腰梯形，由点A向BC作垂线，设垂足为E，由点D向BC作垂线，设垂足为F，易知BECF.BEEFFC2BFADBC，BF13.BEBFAD1385.又AB13，AE12.S四边形ABCD(ADBC)AE(188)12156(cm2)故其侧面积为1565780(cm2)要求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积，需根据题目中的已知条件寻求锥体、柱体、台体的侧面积及表面积公式所需条件，然后应用公式进行解答练一练2已知正三棱锥VABC的主视图，俯视图如图所示，其中VA4，AC2，求该三棱锥的表面积解：由主视图与俯视图可得正三棱锥的直观图如图，且VAVBVC4，ABBCAC2，取BC的中点D，连接VD，则VD，SVBCVDBC2，SABC(2)23，三棱锥VABC的表面积为3SVBCSABC333().讲一讲3已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其内部有一个高为x的内接圆柱(1)求圆柱的侧面积；(2)x为何值时，圆柱的侧面积最大？尝试解答如图是圆锥及内接圆柱的轴截面图(1)设所求圆柱的底面半径为r，则， rRx，S圆柱侧2rx2Rxx2.(2)S圆柱侧是关于x的二次函数，当x时，S圆柱侧有最大值，即当圆柱的高是圆锥的高的一半时，它的侧面积最大解决组合体的表面积问题，要充分考虑组合体各部分的量之间的关系，将其转化为简单多面体与旋转体的表面积问题进行求解练一练3已知底面半径为 cm，母线长为 cm的圆柱，挖去一个以圆柱上底面圆心为顶点，下底面为底面的圆锥，求所得几何体的表面积解：如图，由题意易知圆锥的母线长为3 cm.则SS底S柱侧S圆锥侧()223(363)(cm2)如图所示，圆柱OO的底面半径为2 cm，高为4 cm，点P为母线BB的中点，AOB，试求一蚂蚁从A点沿圆柱表面爬到P点的最短路程巧思将圆柱的侧面展开，将A、P两点转化到同一个平面上解决妙解将圆柱侧面沿母线AA剪开展平为平面图，如图，则易知最短路径为平面图中线段AP.在RtABP中，AB2(cm)，PB2(cm)，AP (cm)故蚂蚁爬的最短路程为 cm.1矩形的边长分别为1和2，分别以这两边为轴旋转，所形成的几何体的侧面积之比为()A12B11C14 D41解析：选B以边长为1的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S12214，以边长为2的边为轴旋转得到的圆柱的侧面积S22124，S1S24411.2一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是32，则母线长为()A2 B2C4 D8解析：选C设圆台的母线长为l，上、下底面半径分别为r，R，则l(rR)又32(rR)l2l2，l216，l4.3(北京高考)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是()A286 B306C5612 D6012解析：选B由题中的三视图知，该三棱锥的立体图形如图所示由题中所给条件，可求得SABD4510，SACDSBCD4510，ACBC，AB2，可求得ABC中AB边上的高为6，所以SABC626.综上可知，该三棱锥的表面积为SABDSACDSBCDSABC306.4圆锥的侧面展开图是半径为R的半圆，则圆锥的高是_解析：设底面半径是r，则2rR，r，圆锥的高hR.答案：R5若一个底面是正三角形的三棱柱的主视图如图所示，则其表面积等于_解析：根据题意可知，该棱柱的底面边长为2，高为1，侧棱和底面垂直，故其表面积S22221362.答案：626.一个几何体的三视图如图所示已知主视图是底边长为1的平行四边形，左视图是一个长为，宽为1的矩形，俯视图为两个边长为2的正方形拼成的矩形求该几何体的表面积S.解：由三视图可知，该平行六面体中，A1D平面ABCD，CD平面BCC1B1，所以AA12，侧面ABB1A1，CDD1C1均为矩形，所以S2(11112)62.一、选择题1圆台的母线长扩大为原来的n倍，两底面半径都缩小为原来的倍，那么它的侧面积变为原来的()A1倍 Bn倍Cn2倍 D.倍解析：选A由S侧(rr)l.当r，r缩小倍，l扩大n倍时，S侧不变2已知正四棱锥底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为()A12 B36 C24 D48解析：选D正四棱锥的斜高h4，S侧46448.3长方体的对角线长为2，长、宽、高的比为321，那么它的表面积为()A44 B88 C64 D48解析：选B设长，宽，高分别为3x,2x，x，则对角线长为x2，x2.表面积S2(6x23x22x2)88.4圆柱的一个底面积为S，侧面展开图是一个正方形，那么这个圆柱的侧面积是()A4S B2S CS D.S解析：选A设圆柱的底面半径为R，则SR2，R，则圆柱的母线长l2R2.S侧面积(2R)242R2424S.5(重庆高考)某几何体的三视图如下图所示，则该几何体的表面积为()A180 B200C220 D240解析：选D几何体为直四棱柱，其高为10，底面是上底为2，下底为8，高为4，腰为5的等腰梯形，故两个底面面积的和为(28)4240，四个侧面面积的和为(2852)10200，所以直四棱柱的表面积为S40200240，故选D.二、填空题6已知圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的侧面积为_解析：设上底面半径为r，则下底面半径为4r，高为4r，如图母线长为10，有102(4r)2(4rr)2，解得r2.S圆台侧(r4r)10100.答案：1007已知棱长为1，各面都是正三角形的四面体，则它的表面积是_解析：由条件可知，四面体的斜高为，所以其表面积为S表41.答案：8如图，直三棱柱的主视图面积为2a2，则左视图的面积为_解析：此直三棱柱的底面是边长为a的正三角形，该三角形的高为a.左视图是一矩形，一边为a，另一边为2a，故左视图的面积为a2aa2.答案：a2三、解答题9如图所示是一建筑物的三视图，现需将其外壁用油漆刷一遍，已知每平方米用漆0.2 kg，问需要多少油漆？(尺寸如图，单位：m，取3.14，结果精确到0.01 kg)解：由三视图知建筑物为一组合体，自上而下分别是圆锥和四棱柱，并且圆锥的底面半径为3 m，母线长为5 m，四棱柱的高为4 m，底面是边长为3 m的正方形圆锥的表面积为r2rl3.14323.143528.2647.175.36(m2)；四棱柱的一个底面积为329(m2)；四棱柱的侧面积为44348(m2)所以外壁面积75.36948114.36(m2)，需油漆114.360.222.87222.87(kg)，答：共需油漆约22.87 kg.10正四棱台两底面边长分别为a和b(ab)(1)若侧棱所在直线与上、下底面正方形中心的连线所成的角为45，求棱台的侧面积；(2)若棱台的侧面积等于两底面面积之和，求它的高解：(1)如图，设O1，O分别为上，下底面的中心，过C1作C1EAC于E，过E作EFBC于F，连接C1F，则C1F为正四棱台的斜高由题意知C1CO45，CECOEOCOC1O1(ba)在RtC1CE中，C1ECE(ba)，又EFCEsin 45(ba)，斜高C1F (ba)S侧(4a4b)(ba)(b2a2)(2)S上底S下底a2b2，(4a4b)h斜a2b2，h斜.又EF，h.第2课时柱、锥、台的体积核心必知柱、锥、台的体积公式几何体公式说明柱体V柱体ShS为柱体的底面积h为柱体的高锥体V锥体ShS为锥体的底面积h为锥体的高台体V台体(S上S下)hS上，S下分别为台体的上、下底面面积，h为台体的高问题思考仿照侧面积公式，你能用底面半径和高来表示圆柱、圆锥和圆台的体积公式吗？提示：(1)底面半径是r，高是h的圆柱的体积是：V圆柱r2h.(2)如果圆锥的底面半径是r，高是h，那么它的体积是：V圆锥r2h.(3)如果圆台上、下底面半径分别是r、r，高是h，那么它的体积是：V圆台h(r2rrr2)讲一讲1已知直三棱柱ABCA1B1C1中，点C到AB的距离为3 cm，侧面ABB1A1的面积为8 cm2，求直三棱柱的体积尝试解答法一：如图，设点C到AB的距离为d，侧面ABB1A1的面积为S1，则ABC的面积S|AB|d.直三棱柱的体积VShS|AA1|AB|d|AA1|AB|AA1|dS1 d12(cm3)法二：补上一个相同的直三棱柱可以得到一个直四棱柱ABCDA1B1C1D1.可以看成以A1ABB1为底面的四棱柱D1DCC1A1ABB1.则ABB1A1的面积就是底面积，C到AB的距离即为高四棱柱D1DCC1A1ABB1的体积V24(cm3)，则直三棱柱的体积为12(cm3) (1)直棱柱的侧面与对角面都是矩形，所以方法一利用侧面积与点到直线的距离的乘积求得体积(2)四棱柱的底面与侧面是相对而言的，即任何一组对面都可以作为底面所以方法二采用了“补形”求得四棱柱的体积(间接求解)练一练1一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比解：设正方体边长为a，圆柱高为h，底面半径为r，则有由得ra，由得rh2a2，V圆柱r2ha3，V正方体V圆柱a3(a3)12.讲一讲2.如图，已知四棱锥PABCD的底面为等腰梯形，ABCD，ACBD，垂足为H，PH是四棱锥的高若AB，APBADB60，求四棱锥PABCD的体积尝试解答因为ABCD为等腰梯形，ABCD，ACBD，AB，所以HAHB.因为APBADB60，所以PAPB，HDHCtan 301.可得PH，等腰梯形ABCD的面积为SACBD2.所以四棱锥的体积为V(2).求锥体的体积，要选择适当的底面和高，然后应用公式VSh进行计算即可，常用方法为割补法和等积变换法：(1)割补法：求一个几何体的体积可以将这个几何体分割成几个柱体、锥体，分别求出柱体和锥体的体积，从而得出几何体的体积(2)等积变换法：利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面求体积时，可选择容易计算的方式来计算；利用“等积性”可求“点到面的距离”练一练2已知三角形ABC的边长分别是AC3，BC4，AB5，以AB所在直线为轴，将此三角形旋转一周，求所得几何体的体积ABC为直角三角形，且AB为斜边，绕AB边旋转一周，所得几何体为两个同底的圆锥，且圆锥的底面半径r.V锥ABr252.讲一讲3圆台上底的面积为16 cm2，下底半径为6 cm，母线长为10 cm，那么，圆台的侧面积和体积各是多少？尝试解答首先，圆台的上底的半径为4 cm，于是S圆台侧(rr)l100(cm2)其次，如图，圆台的高hBC4(cm)，所以V圆台h(SS)4(1636)(cm3)求台体的体积关键是求出上、下底面的面积和台体的高，要注意充分运用棱台内的直角梯形和圆台的轴截面(等腰梯形)等求相关量之间的关系因为台体是由锥体用平行于底面的平面截得的几何体，所以它的体积也可以转化为两个锥体的体积之差练一练3正四棱台的上下底面边长分别为6 cm和12 cm，侧面积为180 cm2，求棱台的体积解：如图，分别过正四棱台的底面中心O1，O作O1E1B1C1，OEBC，垂足分别为E1，E，则E1E为正四棱台的斜高由于正四棱台的侧面积为180 cm2，所以4(612)|E1E|180，解得|E1E|5.在直角梯形O1OEE1中，O1E13，OE6，E1E5，解得O1O4.所以正四棱台的体积为Vh(SS)4(62612122)336(cm3)如图所示，在长方体ABCDABCD中，用截面截下一个棱锥CADD，求棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比解法一：设ABa，ADb，DDc，则长方体ABCDABCD的体积Vabc，又SADDbc，且三棱锥CADD的高为CDa，V三棱锥CADDSADDCDabc.则剩余部分的体积V剩abcabcabc.故V三棱锥CADDV剩abcabc15.尝试用另外一种方法解题法二：已知长方体可以看成侧棱垂直于底面的四棱柱ADDABCCB，设它的底面ADDA的面积为S，高为h，则它的体积为VSh.而棱锥CADD的底面面积为S，高是h，因此，棱锥CADD的体积VCADDShSh.故余下的体积是ShShSh.棱锥CADD的体积与剩余部分的体积之比为ShSh15.1正方体的表面积为96，则正方体的体积是()A48B64C16 D96解析：选B设正方体的棱长为a，则6a296，解得a4，则正方体的体积是a364.2(山东高考)一个四棱锥的侧棱长都相等，底面是正方形，其正(主)视图如右图所示，则该四棱锥侧面积和体积分别是()A4，8 B4，C4(1)， D8,8解析：选B由题意可知该四棱锥为正四棱锥，底面边长为2，高为2，侧面上的斜高为，所以S侧44，V222.3(重庆高考)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A. B.C.2 D.2解析：选A由三视图可知该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥组成的由图中数据可得三棱锥的体积V1211，半圆柱的体积V2122，V.4一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积为_解析：该空间几何体是一个底面为梯形的四棱柱，其底面积是23，高为1，故其体积等于3.答案：35圆台的上、下底面半径和高的比为144，母线长为10，则圆台的体积为_解析：设圆台的上底面半径为r，则(3r)2(4r)2100，解之得r2.S上r24，S下(4r)216r264，h4r8.V(46416)8224.答案：2246已知一个三棱台的两底面是边长分别为20 cm和30 cm的正三角形，侧面是全等的等腰梯形，且其侧面积等于两底面面积之和，求棱台的高和体积解：如图，在三棱台ABCABC中，O、O分别为上、下底面的中心，D、D分别是BC、BC的中点，则DD是梯形BCCB的高，所以S侧(2030)DD375DD.又AB20 cm，AB30 cm，则上、下底面面积之和为S上S下(202302)325(cm2)由S侧S上S下得，75DD325(cm2)，所以DD(cm)在直角梯形OODD中，OD5 cm，OD cm，OO 4(cm)，即棱台的高h4 cm.由棱台的体积公式，可得棱台的体积为V(SS)1 900(cm3)一、选择题1已知圆锥的母线长是8，底面周长为6，则它的体积是()A9B9C3 D3解析：选C设圆锥底面圆的半径为r，则2r6，r3.设圆锥的高为h，则h，V圆锥r2h3.2在棱长为1的正方体上，分别用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，则截去8个三棱锥后，剩下的凸多面体的体积是()A. B.C. D.解析：选D用过共顶点的三条棱中点的平面截该正方体，所得三棱锥的体积为4，故剩下的凸多面体的体积为18.3如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为()A6 B9C12 D18解析：选B由三视图可知该几何体为底面是斜边为6的等腰直角三角形，高为3的三棱锥，其体积为6339.4(浙江高考)已知某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，则该几何体的体积是()A108 cm3 B100 cm3C92 cm3 D84 cm3解析：选B根据几何体的三视图可知，所求几何体是一个长方体截去一个三棱锥，几何体的体积V663443100 cm3.5分别以一个锐角为30的直角三角形的最短直角边、较长直角边、斜边所在的直线为轴旋转一周，所形成的几何体的体积之比是()A1 B62C623 D326解析：选C设如图所示的RtABC中，BAC30，BC1，则AB2，AC，求得斜边上的高CD，旋转所得几何体的体积分别为V1()21，V212，V3()22.V1V2V31623.二、填空题6如图已知底面半径为r的圆柱被一个平面所截，剩下部分母线长的最大值为a，最小值为b，那么圆柱被截后剩下部分的体积是_解析：采取补体方法，相当于一个母线长为ab的圆柱截成了两个体积相等的部分，所以剩下部分的体积V.答案：7一个圆锥形容器和一个圆柱形容器的轴截面的尺寸如图所示，两容器盛有液体的体积正好相等，且液面高均为h，则h_.解析：锥体的底面半径和高都是h，圆柱体的底面半径是，高为h，依题意得h2h()2h，解得ha.答案：a8已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸(单位：cm)，可得这个几何体的体积是_解析：此几何体的直观图如图，ABCD为正方形，边长为20 cm，S在底面的射影为CD中点E，SE20 cm，VSABCDSABCDSEcm3.答案： cm3三、解答题9如图所示，是一个底面直径为20 cm的装有一部分水的圆柱形玻璃杯，水中放着一个底面直径为6 cm，高为20 cm的一个圆锥体铅锤，当铅锤从水中取出后，杯里的水将下降多少？(3.14)解：因为玻璃杯是圆柱形的，所以铅锤取出后，水面下降部分实际是一个小圆柱，这个圆柱的底面与玻璃的底面一样，是一直径为20 cm的圆柱，它的体积正好等于圆锥体铅锤的体积，这个小圆柱的高就是水面下降的高度因为圆锥形铅锤的体积为22060(cm3)，设水面下降的高度为x，则小圆柱的体积为(202)2x100x(cm3)，所以有方程60100x，解此方程得x0.6(cm)答：铅锤取出后，杯中水面下降了0.6 cm.10若E，F是三棱柱ABCA1B1C1侧棱BB1和CC1上的点，且B1ECF，三棱柱的体积为m，求四棱锥ABEFC的体积解：如图所示，连接AB1，AC1.B1ECF，梯形BEFC的面积等于梯形B1EFC1的面积又四棱锥ABEFC的高与四棱锥AB1EFC1的高相等，VABEFCVAB1EFC1VABB1C1C.又VAA1B1C1SA1B1C1h，VABCA1B1C1m，VAA1B1C1，VABB1C1CVABCA1B1C1VAA1B1C1m，VABEFCm，即四棱锥ABEFC的体积是.第3课时球核心必知1球的表面积公式：S球面4R2.2球的体积公式：V球R3.问题思考用一个平面去截球体，截面的形状是什么？该截面的几何量与球的半径之间有什么关系？提示：可以想象，用一个平面去截球体，截面是圆面，在球的轴截面图中，截面圆与球的轴截面的关系如图所示若球的半径为R，截面圆的半径为r，OOd.在RtOOC中，OC2OO2OC2，即R2r2d2.讲一讲1已知过球面上三点A、B、C的截面到球心的距离等于球半径的一半，且ACBC6，AB4，求球面面积与球的体积尝试解答如图所示，设球心为O，截面圆圆心O1，球半径为R，连接OO1，则OO1是球心到截面的距离由于OAOBOCR，则O1是ABC的外心设M是AB的中点，由于ACBC，则O1在CM上设O1Mx，易知O1MAB，则O1A，O1CCMO1Mx.又O1AO1C，x.解得x.则O1AO1BO1C.在RtOO1A中，O1O，OO1A90，OAR.由勾股定理，得22R2.解得R.故S球面4R254，V球R327.计算球的表面积和体积的关键是求出球的半径，这里就要充分利用球的截面的性质进行求解已知条件中的等量关系，往往是建立方程的依据，这种解题的思想值得重视练一练1过球的半径的中点，作一垂直于这条半径的截面，已知此截面的面积为48 cm2，试求此球的表面积和体积解：如图，设截面圆的圆心为O1，则OO1O1A，O1A为截面圆的半径，OA为球的半径48O1A2，O1A248.在RtAO1O中，OA2O1O2O1A2，即R2248，R8(cm)，S球4R2464256(cm2)，V球R3(cm3).讲一讲2轴截面是正三角形的圆锥内有一个内切球，若圆锥的底面半径为1 cm，求球的体积尝试解答如图所示，作出轴截面，O是球心，与边BC、AC相切于点D、E.连接AD，OE，ABC是正三角形，CDAC.CD1 cm，AC2 cm，AD cm，RtAOERtACD，.设OEr，则AO(r)，r cm，V球()3(cm3)，即球的体积等于 cm3.解决与球有关的接、切问题时，一般作一个适当的截面，将问题转化为平面问题解决，这类截面通常是指圆锥的轴截面、球的大圆、多面体的对角面等，在这个截面中应包括每个几何体的主要元素，且这个截面包含体和体之间的主要位置关系和数量关系练一练2如图，半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积解：作轴截面如图所示，CC，AC2，设球的半径为R，则R2OC2CC2()2()29，R3，S球4R236，V球R336.一个球内有相距9 cm的两个平行截面，面积分别为49 cm2和400 cm2，求球的表面积错解如图所示，设ODx，由题知CA249，CA7 cm.BD2400，BD20 cm.设球半径为R，则有(CDDO)2CA2R2OD2DB2，即(9x)272x2202，x15，R25.S球4R22 500 cm2.错因本题错解的原因在于考虑不周，由于球心可能在两个截面之间，也可能在两个截面的同一侧，因此解决此题要分类讨论正解(1)当球心在两个截面的同侧时，解法同错解(2)当球心在两个截面之间时，如图所示，设ODx，则OC9x，设球半径为R，可得x2202(9x)272R2，此方程无正数解，即此种情况不可能综上可知，球的表面积是2 500 cm2.1球的表面积扩大2倍，球的体积扩大()A2倍B. 倍C2 倍 D3 倍解析：选C球的表面积扩大2倍，半径扩大倍，从而体积扩大()32倍2两个球的半径之比为13，那么两个球的表面积之比为()A19 B127C13 D11解析：选A设两球的半径分别为R1，R2.R1R213，两个球的表面积之比为S1S24R4RRR19.3长方体的一个顶点上三条棱长分别是3,4,5，且它的8个顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是()A20 B25C50 D200解析：选C设球的半径为R，则2R5.S球4R2(2R)250.4(福州高一检测)已知正四棱锥OABCD的体积为，底面边长为，则以O为球心，OA为半径的球的表面积为_解析：过O作底面ABCD的垂线段OE，则E为正方形ABCD的中心由题意可知()2OE，所以OE，故球的半径ROA，则球的表面积S4R224.答案：245圆柱形容器内盛有高度为8 cm的水，若放入三个相同的球(球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球(如图所示)，则球的半径是_cm.解析：设球的半径为r cm，则有8r23r3r26r，由此解得r4.答案：46某个几何体的三视图如图所示(单位：m)：(1)求该几何体的表面积(结果保留)；(2)求该几何体的体积(结果保留)解：由三视图可知，该几何体是一个四棱柱和一个半球构成的组合体，且半球的直径为2，该四棱柱为棱长为2的正方体(1)该几何体的表面积为S2R2622R224 (m2)(2)该几何体的体积为VR3238 (m3)一、选择题1用与球心距离为1的平面去截球，所得截面面积为，则球的体积为()A.B.C8 D.解析：选D所得截面圆的半径为r1，因此球的半径R，球的体积为R3.2若三个球的表面积之比是123，则它们的体积之比是()A123 B1C123 D147解析：选C三个球的表面积之比是123，即rrr123.r1r2r31，V1V2V3123.3平面截球O的球面所得圆的半径为1，球心O到平面的距离为，则此球的体积为()A. B4C4 D6解析：选B设球的半径为R，由球的截面性质得R，所以球的体积VR34.4设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为()Aa2 B.a2C.a2 D5a2解析：选B正三棱柱内接于球，则球心在正三棱柱两底面中心连线的中点处，在直角三角形中可得Ra，S4R24a2.5(新课标全国卷)如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器，容器高8 cm，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6 cm，如果不计容器的厚度，则球的体积为()A. cm3 B. cm3C. cm3 D. cm3解析：选A解题时，先根据已知条件分析出正方体的上底面到球心的距离为(R2) cm(其中R为球半径)，再利用球半径、球心距、和截面圆半径构成的直角三角形求出球半径，进而计算出球的体积设球半径为R cm，根据已知条件知正方体的上底面与球相交所得截面圆的半径为4 cm，球心到截面的距离为(R2) cm，所以由42(R2)2R2，得R5，所以球的体积VR353 cm3，选择A.二、填空题6一个平面截一球得到直径为6 cm的圆面，球心到这个平面的距离为4 cm，则球的体积为_ cm3.解析：如图所示，由已知：O1A3，OO14，从而ROA5.V球53 (cm3)答案：7一个底面直径是32 cm的圆柱形水桶装入一些水，将一个球放入桶内完全淹没，水面上升了9 cm，则这个球的表面积是_解析：球的体积等于以16 cm为底面半径，高为9 cm的圆柱的体积，设球的半径为R，所以R31629，解得R12(cm)，所以S球4R2576 cm2.答案：576 cm28如图所示，正四棱锥SABCD的底面边长和各侧棱长都为，点S，A，B，C，D都在同一个球面上，则该球的体积为_解析：正四棱锥的底面边长和侧棱长都为，其高为1，由对称性可知，棱长为的正八面体也内接于此球，球的半径为1，体积为.答案：三、解答题9如图，ABCD是正方形，是以A为圆心的弧，将正方形ABCD以AB为轴旋转一周，求图中、三部分旋转所得旋转体的体积之比解：生成圆锥，生成的是半球去掉圆锥，生成的是圆柱去掉扇形ABD生成的半球设正方形的边长为a，、三部分旋转所得旋转体的体积分别为V、V和V，则Va3，Va32a3a3，Va3a32a3.三部分所得旋转体的体积之比为111.10如图，半径为R的半圆O的直径为直角梯形垂直于两底的腰，且半圆O分别切AB，BC，CD于点A、E、D.将半圆与梯形绕AD所在直线旋转一周，得到一个球和一个圆台，若球的表面积与圆台的侧面积的比为34，求圆台的体积解：设圆台的上、下底的半径分别为r1、r2，母线长为l.由题意知，圆台的高h2R，DCCEr1，ABBEr2，OER，BOC90.OEBC.在RtCOB中，CEBEOE2，BCCEBE，r1r2R2，lr1r2.又S球4R2，S圆台侧(r1r2)l且S球S圆台侧34，4R2l(r1r2)34.(r1r2)2R2，V台h(rrr1r2)2R(r1r2)2r1r22RR3.故圆台的体积为R3.1空间几何体的结构及其三视图和直观图空间几何体是研究空间线、面、体的几何载体，正确理解几何体的概念，掌握几何体的特征是解题成功的关键对三视图的考查，高考中不可能去画三视图或画几何体，但观察三视图，想象几何体是可能的，这类题目只要把握三视图和几何体之间的关系是不难解决的2平行关系(1)判定线线平行的方法：利用线线平行的定义证明共面而且无公共点(结合反证法)；利用平行公理4；利用线面平行性质定理；利用线面垂直的性质定理(若a，b，则ab)；利用面面平行的性质定理(若，a，b，则ab)；利用平行四边形的性质，三角形、梯形中位线，线段对应成比例等(2)判定线面平行的方法：线面平行的定义(无公共点)；利用线面平行的判定定理(a，b，aba)；面面平行的性质定理(，aa)；面面平行的性质(，a，a，aa)(3)判定面面平行的方法：平面平行的定义(无公共点)；面面平行的判定定理(若a，b，a、b，且abA)；面面平行的判定定理的推论(若aa，bb，a，b且abA，a，b，且abA，则)；线面垂直的性质定理(若a，a)；平面平行的性质(传递性：，)3平行关系相互转化的示意图4垂直关系(1)证明线面垂直的主要方法有：利用线面垂直的定义；利用判定定理：m，n，mnA，lm，lnl；利用面面平行的性质定理：，aa；利用面面垂直的性质定理：，l，a，ala；利用线面垂直判定定理的推论：ab，ab.(2)证明面面垂直的方法就是利用判定定理先转化为证明线面垂直(3)直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线和平面相交、平面和平面相交的特殊情况对这种情况的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的夹角为90来讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证无论是线面垂直还是面面垂直，都源于线线垂直，这种“降维”的思想方法很重要在处理实际问题时，可以从条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论“反探”所需的关系，从而架设已知和未知的桥梁如图是垂直相互转化的示意图5空间几何体的表面积和体积对于规则几何体的表面积和体积问题，可以直接利用公式进行求解在求解时首先判断几何体的形状及其结构特征，确定几何体的基本量，然后合理选择公式求解常考查的几何体有长方体、直四棱柱、正棱锥、圆柱、圆锥、球等，多与几何体的三视图相结合，需要利用三视图确定几何体的形状和基本量.典例1(辽宁高考)一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_解析由三视图可知该组合体的上方是一个高为1，底面直径为2的圆柱，下方是一个长宽高分别为4,3,1的长方体，它的体积V11243112.答案12借题发挥由三视图求几何体的表面积与体积的综合题，是新课标高考题的一个热点，解这类题往往由三视图想象原貌，考察其结构特征及其组合状况，再根据三视图中所标基本量，利用面积、体积公式计算结果对点训练1一个棱锥的三视图如图，求该棱锥的表面积(单位：cm2)解：如图所示三棱锥AO底面BCD，O点为BD的中点，BCCD6，BCCD，AO4，ABAD.SBCD6618，SABD6412.取BC中点为E.连接AE、OE.可得AOOE，AE5，SABCSACD6515，S表181215154812.典例2如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB2EF，EFAB，H为BC的中点求证：FH平面EDB.证明连接AC交BD于点G，则G为AC的中点连接EG，GH，H为BC的中点，GHAB.又EFAB，EFGH，四边形EFHG为平行四边形，EGFH，EG平面EDB，FH平面EDB，FH平面EDB.借题发挥在解决线面、面面平行问题时，一般遵循从“低维”到“高维”的转化，即从“线线平行”到“线面平行”，再到“面面平行”，而利用性质定理时，其顺序相反，且“高维”的性质定理就是“低维”的判定定理特别注意，转化的方法总是由具体题目的条件决定，不能过于呆板僵化，遵循规律而不受制于规律对点训练2如图所示，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面是正方形，E，F，G分别是棱B1B、D1D、DA的中点求证：平面AD1E平面BGF.证明：E，F分别是B1B和D1D的中点，D1FBE，BED1F是平行四边形，D1EBF，又D1E平面BGF，BF平面BGF，D1E平面BGF.FG是DAD1的中位线，FGAD1，又AD1平面BGF，FG平面BGF，AD1平面BGF.又