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大连民族学院最优化方法结课论文金融分析中的优化问题院系：理学院班级：信息 102作者：邬小筱 学号：2010052223 在金融领域中，我们经常遇到优化问题的求解。比如：利用极大似然估计方法（MLE）估计参数时，就面临最大化似然函数的优化问题；还比如：利用广义矩估计方法（GMM）估计参数时也面临最大化目标函数的优化问题。这里我们讨论利用MATLAB进行静态优化问题的求解，对于动态优化问题，我们不作讨论。下面我们结合实例主要讨论金融领域中经常碰到的优化问题：线性规划问题；二次规划问题；无约束非线性函数最优化问题；约束非线性函数最优化问题。一、线性规划问题利率风险的控制对大多数机构投资者都很重要。久期是衡量利率变动对债券收益影响程度的指标，久期越长表示债券对利率变化的敏感程度越高，债券的风险也越高。因此，将债券组合的久期与投资者的投资期限相互匹配，是许多机构投资者的目标之一。假定某机构投资者想构造一个久期为的债券组合，它可以在市场上合适的备选债券中构造某个组合权重 ,使得该组合的久期为，由于满足这一条件的组合权重可能有很多，为简化起见，我们可以进一步假定投资者选择那些期望收益最高的债券组合。用数学形式描述如下（限制卖空）： 上述优化问题就是一个线性规划问题。求解线性规划问题可以借助MATLAB本身提供的函数linprog来解决。该函数解决如下形式的线性规划问题： （1）其中：均为列向量；为矩阵。调用该函数的格式如下：这里函数的输入项中的分别对应于线性规划问题（1）中的 是给定的初始值向量。输出项中的为最优解；为目标函数的最小值。例1 假定市场上有3种备选债券：债券1、债券2、债券3。其期望收益率分别为5%，15%，10%；久期分别为1年、2年和3年。投资者若想构造久期为2.5年的债券组合，并使得组合的期望收益最大则该投资者该如何行动? 在MATLAB主窗口输入：A=1,2,3;1,1,1;B=2.5;1;W=linprog(-0.05,0.15,0.1,A,B,zeros(1,3)得到：W=（0.0000，0.5000，0.5000）因此，该投资者应该将一半的资金购买债券2，另一半的资金购买债券3。对投资者而言，如面对同样久期的债券，还可以选择凸性最大的债券。凸性是指在某一到期收益率下,到期收益率发生变动而引起的价格变动幅度的变动程度。凸性是对债券价格曲线弯曲程度的一种度量，凸性是债券价格对收益率的二阶导数，是对债券久期利率敏感性的测量。沿用例1，如果债券1、债券2、债券3的凸性分别为15、12、20，则投资者选择实际上面临以下规划问题： 类似地，我们可以在MATLAB的命令窗口输入以下命令：A=1,2,3;1,1,1;B=2.5;1;W=linprog(-15,12,20,A,B,zeros(1,3)得到：W=（0.2500，0.0000，0.7500）因此，如果该投资者选择凸性最大的组合，则应该将四分之一的资金购买债券1，四分之三的资金购买债券3。二、二次规划问题二次规划问题的数学形式可以描述如下： （2）其中：均为列向量；为矩阵。MATLAB提供了函数quadprog来求解上述二次规划问题，其调用格式如下：在投资组合管理中，马柯维茨的均值方差模型是一个重要的理论基础。其数学描述如下： （3）优化问题（3）就是一个二次规划问题。这里，表示组合的权重列向量；组合的风险由组合收益率的方差表示，表示股票收益率的协方差矩阵；为股票的期望收益率列向量；为预期要达到的收益率。因此，马柯维茨的均值方差模型可以直接调用MATLAB函数quadprog进行求解。下面选择我国深圳股票市场代号为000016到000020（1992年10月12日到2003年10月12日）的5只股票为例，考虑如何在这五只股票中选择一个最优的权重使得组合的收益达到2%的月收益，同时使得组合的风险在所有满足2%的月收益的可能组合中风险最小。将上述思想表述为数学形式为： 其中：为这5只股票收益率的协方差矩阵；为这5只股票期望收益率向量。事先将股票数据保存在MATLA搜索路径下的Excel文档中，数据格式如图所示。股票的价格为收盘价。 我们在MATLAB主窗口下输入：cleara=xlsread(test1001);%input data from 000016-000020 in Shenzhen stock marketa=a(1:22:end,2:end);%monthly datac=price2ret(a,periodic);%monthly returnsv=cov(c);% covariance among chosen stocksER=mean(c);% expected returns of stocksAe=ER;ones(1,length(v);Be=0.02;1;W,fval=quadprog(v,Ae,Be);%find optimal weightsvar=2*fval;%get minimum variance, given the desired return得到最优的权重W和最小的方差var分别为：W = 1.6365 -1.3989 -0.2749 0.8465 0.1907var = 0.0533如果市场不允许卖空，则马柯维茨的均值方差模型表述如下： 收益相同风险最小或风险相同收益最大的组合,所有有效组合的集合就称作有效前沿。继续应用上面的数据，我们比较允许卖空和不允许卖空条件下的前沿组合。在MATLAB主窗口下输入：cleara=xlsread(test1001);%input data from 000016-000020 in Shenzhen stock marketa=a(1:22:end,2:end);%monthly datac=price2ret(a,periodic);%monthly returnsv=cov(c);% covariance among chosen stocksER=mean(c);% expected returns of stocksn=length(v);Ae=ER;ones(1,n);re=min(ER):0.0002:max(ER);%change disired returnfor i=1:length(re)%no short saleW1(:,i),fv1(i)=quadprog(v,zeros(n,1),-eye(n),zeros(n,1),Ae,re(i);1);%permit short saleW2(:,i),fv2(i)=quadprog(v,zeros(n,1),Ae,re(i);1);endstdp1=sqrt(2*fv1);stdp2=sqrt(2*fv2);h=figure;set(h,color,w)plot(stdp1,re,b-*);hold on;plot(stdp2,re,r-o)plot(std(c),ER,kpentagram)legend(不允许卖空,允许卖空,单个股票的风险和收益,3)xlabel(standard deviation)ylabel(return) 进一步，我们还可以比较前沿组合和非前沿组合的情况。在MATLAB主窗口下输入：%draw return-risk relationship graph for available and frontier portfolioscleara=xlsread(test1001);%input data from 000016-000020 in Shenzhen stock marketa=a(1:22:end,2:end);%monthly datac=price2ret(a,periodic);%monthly returnsv=cov(c);% covariance among chosen stocksER=mean(c);% expected returns of stocksn=3000;nn=0.2;m=1;%generate random weights with percentage of one of 5 stocks over 50%w1=0.5+m*rand(n,1),randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn;w1=w1,1-sum(w1,2);w2=randn(n,1)*nn,0.5+m*rand(n,1),randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn;w2=w2,1-sum(w2,2);w3=randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn,0.5+m*rand(n,1),randn(n,1)*nn;w3=w3,1-sum(w3,2);w4=randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn,0.5+m*rand(n,1);w4=w4,1-sum(w4,2);w5=randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn,randn(n,1)*nn,0.5+m*rand(n,1);w5=1-sum(w5,2),w5;for i=1:nsig1(i)=sqrt(w1(i,:)*v*w1(i,:);sig2(i)=sqrt(w2(i,:)*v*w2(i,:);sig3(i)=sqrt(w3(i,:)*v*w3(i,:);sig4(i)=sqrt(w4(i,:)*v*w4(i,:);sig5(i)=sqrt(w5(i,:)*v*w5(i,:);er1(i)=w1(i,:)*ER;er2(i)=w2(i,:)*ER;er3(i)=w3(i,:)*ER;er4(i)=w4(i,: