2017_18学年高中数学第二章第一课时数列的概念与通项公式学案含解析.docx

2.1 数列的概念与简单表示法第一课时数列的概念与通项公式数列的概念提出问题观察下列示例，回答后面问题(1)正整数1,2,3,4,5,6的倒数依次是1，.(2)2的1次幂、2次幂、3次幂、4次幂依次是2,4，8,16.(3)人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔83年出现一次，那么从发现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为：1740,1823,1906,1989,2072，.(4)“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取其一半，永远也取不完如果将“一尺之棰”视为1份，那么每日剩下的部分依次为：，.问题：观察上面4个例子，它们都涉及了一些数，这些数的呈现有什么特点？提示：按照一定的顺序排列导入新知数列的概念(1)定义：按照一定顺序排列的一列数称为数列(2)项：数列中的每一个数叫做这个数列的项a1称为数列an的第1项(或称为首项)，a2称为第2项，an称为第n项(3)数列的表示：数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，an，简记为an化解疑难1数列的定义中要把握两个关键词：“一定顺序”与“一列数”也就是说构成数列的元素是“数”，并且这些数是按照“一定顺序”排列着的，即确定的数在确定的位置2项an与序号n是不同的，数列的项是这个数列中的一个确定的数，而序号是指项在数列中的位次3an与an是不同概念：an表示数列a1，a2，a3，an，；而an表示数列an中的第n项.数列的分类提出问题问题：观察“知识点一”中的4个例子中对应的数列，它们的项数分别是多少？这些数列中从第2项起每一项与它前一项的大小关系又是怎样的？提示：数列(1)中有6项，数列(2)中有4项，数列(3)(4)中有无穷多项；数列(1)中每一项都小于它的前一项，数列(2)中的项大小不确定，数列(3)中每一项都大于它的前一项，数列(4)中每一项都小于它的前一项导入新知数列的分类分类标准名称含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列化解疑难在写数列时，对于有穷数列，要把末项写出例如，数列1,2,3,4，100.表示有穷数列但是如果把数列写成1,2,3,4，100，就表示无穷数列数列的通项公式提出问题问题：仍然观察“知识点一”中的4个例子，你能否发现这些数列中，每一项与这一项的项数之间存在着某种关系？这种关系是否可以表示为一个公式？提示：每一项与这一项的项数间存在一定的关系，有些可用公式表示，有些不能用公式表示导入新知数列的通项公式如果数列an的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么就把这个公式叫做这个数列的通项公式化解疑难1数列的通项公式实际上是一个以正整数集N*或它的有限子集1,2,3，n为定义域的函数解析式2同所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式数列的概念及分类例1已知下列数列：(1)0,0,0,0,0,0；(2)0，1,2，3,4，5，；(3)0，；(4)1,0.2,0.22,0.23，；(5)0，1,0，cos，.其中，有穷数列是_，无穷数列是_，递增数列是_，递减数列是_，常数列是_，摆动数列是_(填序号)解析(1)是常数列且是有穷数列；(2)是无穷摆动数列；(3)是无穷递增数列；(4)是无穷递减数列；(5)是无穷摆动数列答案(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5)类题通法判断给出的数列是有穷数列还是无穷数列，只需观察数列是有限项还是无限项若数列含有限项，则是有穷数列，否则为无穷数列而判断数列的单调性，则需要从第2项起，观察每一项与它的前一项的大小关系，若满足anan1，则是递减数列；若满足anan1，则是常数列；若an与an1的大小不确定时，则是摆动数列活学活用给出下列数列：(1)20092016年某市普通高中生人数(单位：万人)构成数列82,93,105,119,129,130,132,135.(2)无穷多个构成数列，.(3)2的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，5次幂构成数列2,4，8,16，32，.(4)精确到1,0.1,0.01,0.001，的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.分别指出其中哪些是有穷数列、无穷数列、递增数列、递减数列、常数列、摆动数列解：有穷数列：82,93,105,119,129,130,132,135.无穷数列：，；2,4，8,16，32，；1,1.4,1.41,1.414，；2,1.5,1.42,1.415，.递增数列：82,93,105,119,129,130,132,135；1,1.4,1.41,1.414，.递减数列：2,1.5,1.42,1.415，.常数列：，.摆动数列有：2,4，8,16，32，.由数列的前几项求通项公式例2写出下列数列的一个通项公式：(1)，2，8，；(2)9,99,999,9 999，；(3)1，2，3，4，；(4)，.解(1)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：，所以它的一个通项公式为an(nN*)(2)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，此数列的通项公式为10n，可得原数列的通项公式为an10n1.(3)因为11，22，33，44，所以该数列的一个通项公式为ann.(4)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式是an(1)n.类题通法此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法这些方法的具体对象为：分式中分子、分母的特征；相邻项的变化特征；拆项后的特征；各项的符号特征和绝对值特征；化异为同对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系活学活用写出下列数列的一个通项公式：(1)0,3,8,15,24，；(2)1，3,5，7,9，；(3)0，；(4)1,11,111,1 111，.解：(1)观察数列中的数，可以看到011,341,891，15161,24251，所以它的一个通项公式是ann21.(2)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，是连续的正奇数，并且数列的奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an(1)n1(2n1)(3)因为5221,10321,17421，所以数列的一个通项公式为an(nN*)(4)原数列的各项可变为9，99，999，9 999，易知数列9,99,999,9 999，的一个通项公式为an10n1.所以原数列的一个通项公式为an(10n1).通项公式的简单应用例3已知数列an的通项公式是an.(1)写出该数列的第4项和第7项；(2)试判断和是否是该数列中的项，若是，求出它是第几项；若不是，说明理由解(1)由通项公式an可得a4，a7.(2)令，得n29，所以n3(n3舍去)，故是该数列中的项，并且是第3项；令，得n2，所以n，由于都不是正整数，因此不是数列中的项类题通法1数列的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系，只要用序号代替公式中的n，就可以求出数列的相应项2判断某数值是否为该数列的项，需先假定它是数列中的项，列方程求解若方程的解为正整数，则该数值是数列的项；若方程无解或解不是正整数，则该数值不是此数列的项活学活用已知数列an的通项公式为anqn，且a4a272.(1)求实数q的值；(2)判断81是否为此数列中的项解：(1)由题意知q4q272q29或q28(舍去)，q3.(2)当q3时，an3n，显然81不是此数列中的项；当q3时，an(3)n，令(3)n8134，也无解81不是此数列中的项.典例已知数列an的通项公式为ann25n4，求n为何值时，an有最小值？并求出最小值解ann25n42，可知对称轴为n2.5.又nN*，故n2或3时，an有最小值，其最小值为a2a3225242.易错防范1忽视了借助二次函数求最值，而认为当n1时取得最小值2由an2知n时取最小值，忽视nN*.3在用函数的有关知识解决数列问题时，要注意它的定义域是N*(或它的有限子集1,2,3，n)这一约束条件成功破障求数列2n29n3中的最大项解：已知2n29n322，由于n为正整数，故当n2时，取得最大值为13，所以数列2n29n3中的最大项为第2项，值为13.随堂即时演练1将正整数的前5个数排列如下：1,2,3,4,5；5,4,3,2,1；2,1,5,3,4；4,1,5,3,2.那么可以称为数列的有()ABC D解析：选D数列是按“一定顺序”排列的一列数因此选D.注意此题易错选B.2在数列1,0，中，0.08是它的()A第100项 B第12项C第10项 D第8项解析：选Can，令0.08，解得n10或n(舍去)3若数列an的通项公式是an32n，则a2n_，_.解析：根据通项公式我们可以求出这个数列的任意一项an32n，a2n322n34n，.答案：34n4若数列an的通项满足n2，那么15是这个数列的第_项解析：由n2可知，ann22n，令n22n15，得n5(n3舍去)答案：55已知an.(1)求a3；(2)若an，求n.解：(1)将n3代入an，得a3.(2)将an代入an，得，解得n8.课时达标检测一、选择题1下面有四个结论：数列的通项公式是唯一的；数列可以看做是一个定义在正整数集或其子集上的函数；数列若用图象表示，它是一群孤立的点；每个数列都有通项公式其中叙述正确的有()ABC D解析：选B数列的通项公式不唯一，有的数列没有通项公式，所以不正确2数列的通项公式为an则a2a3等于()A70 B28C20 D8解析：选C由an得a22，a310，所以a2a320.3数列1,3，7,15，的一个通项公式可以是()Aan(1)n(2n1)Ban(1)n(2n1)Can(1)n1(2n1)Dan(1)n1(2n1)解析：选A数列各项正、负交替，故可用(1)n来调节，又1211,3221,7231,15241，所以通项公式为an(1)n(2n1)4已知数列an的通项公式是an，那么这个数列是()A递增数列 B递减数列C常数列 D摆动数列解析：选Aan1，n越大，越小，则an越大，故该数列是递增数列5下列命题：已知数列an，an(nN*)，那么是这个数列的第10项，且最大项为第1项；数列，2，的一个通项公式是an；已知数列an，ankn5，且a811，则a1729；已知an1an3，则数列an是递增数列其中正确命题的个数为()A4 B3C2 D1解析：选A对于，令ann10，易知最大项为第1项正确对于，数列，2，变为，an.正确对于，ankn5，且a811k2an2n5a1729.正确对于，由an1an30，易知正确二、填空题6已知数列an的通项公式为an，那么是它的第_项解析：令，解得n4(n5舍去)，所以是第4项答案：47已知数列an的前4项为11,102,1 003,10 004，则它的一个通项公式为_解析：由于11101,1021022，1 0031033，10 0041044，所以该数列的一个通项公式是an10nn.答案：an10nn8已知数列an的通项公式是ann28n12，那么该数列中为负数的项一共有_项解析：令ann28n120，解得2n6，又因为nN*，所以n3,4,5，一共有3项答案：3三、解答题9求下列数列的一个可能的通项公式：(1)1，1,1，1，；(2)1,10,2,11,3,12，；(3)1，1，1，1，.解：(1)an(1)n1或an(2)an或an.(3)an1(1)n1.10数列an中，已知an(nN*)(1)写出a10，an1，a；(2)79是不是该数列中的项？若是，是第几项解：(1)a10，an1，an2.(2)假设79是该数列的第n项，则79，n2n2400.解之，得n15或n16(舍去)故79是该数列的第15项11在数列an中，a12，a1766，通项公式是关于n的一次函数(1)求数列an的通项公式；(2)求a2 015；(3)2 016是否为数列an