2017_18学年高中数学第二章2.2.3向量数乘运算及其几何意义学案含解析.docx

22.3向量数乘运算及其几何意义向量的数乘运算提出问题问题1：按照向量的加法法则，若a为非零向量，则aa的长度与|a|的关系怎样？提示：按三角形法则，|aa|2|a|.问题2：我们知道，xxx3x，那么aaa能否写成3a呢？提示：可以问题3：3a与a的方向有什么关系？3a与a的方向呢？提示：3a与a方向相同3a与a方向相反导入新知1向量数乘运算一般地，规定实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，其长度与方向规定如下：(1)|a|a|；(2)a(a0)的方向特别地，当0或a0时，0a0或00.2向量数乘的运算律设，为实数，则(1)( a)()a；(2)()aaa；(3)(ab)ab.特别地，()a(a)(a)，(ab)ab.化解疑难从两个角度看数乘向量(1)代数角度：是实数，a是向量，它们的积仍是向量；另外，a0的条件是0或a0.(2)几何角度：对于向量的长度而言，当|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(1)或反方向(1)上伸长到|a|的|倍；当0|1时，有|a|a|，这意味着表示向量a的有向线段在原方向(01)或反方向(10)上缩短到|a|的|倍.共线向量定理提出问题问题1：如果两个向量共线，则这两个向量具有哪几种情况？提示：方向相同或方向相反或其中一者为零向量问题2：根据向量的数乘运算，a与a(0，a0)的方向有何关系？提示：相同或相反问题3：向量a与a(为常数)共线吗？提示：共线导入新知1共线向量定理向量a(a0)与b共线，当且仅当有唯一一个实数，使ba.2向量的线性运算向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算对于任意向量a，b，以及任意实数，1，2，恒有(1a2b)1a2b.化解疑难共线向量定理中规定a0的原因(1)若将条件a0去掉，即当a0时，显然a与b共线；(2)若b0，则不存在实数，使ba；(3)若b0，则对任意实数，都有ba.向量的线性运算例1化简下列各式：(1)3(6ab)9；(2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.解(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.类题通法向量线性运算的方法向量的线性运算类似于代数多项式的运算，共线向量可以合并，即“合并同类项”“提取公因式”，这里的“同类项”“公因式”指的是向量活学活用化简下列各式：(1)2(3a2b)3(a5b)5(4ba)；(2).答案：(1)14a9b(2)2a4b在几何图形中用已知向量表示未知向量例2如图所示，D，E分别是ABC的边AB，AC的中点，M，N分别是DE，BC的中点，已知a，b，试用a，b分别表示，.解由三角形中位线定理，知DE綊BC，故，即a，abaab，abaab.类题通法用已知向量表示未知向量的方法用图形中的已知向量表示所求向量，应结合已知和所求，联想相关的法则和几何图形的有关定理，将所求向量反复分解，直到全部可以用已知向量表示即可，其实质是向量的线性运算的反复应用活学活用1.如图所示，下列结论正确的是()ab；ab；ab；ab.ABC D答案：C2如图所示，四边形OADB是以向量a，b为邻边的平行四边形又BMBC，CNCD，试用a，b表示，.答案：ab；(ab)；ab共线向量定理的应用例3(1)已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求证：A，B，D三点共线(2)已知A，B，P三点共线，O为直线外任意一点，若x y ，求xy的值解(1)证明：e13e2，2e1e2，e14e2.又2e18e22(e14e2)，2，.AB与BD有交点B，A，B，D三点共线(2)A，B，P三点共线，向量，在同一直线上，由向量共线定理可知，必定存在实数，使，即()，(1)，故x1，y，即xy1.类题通法用向量共线的条件证明两条直线平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行(2)若ba(a0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合例如，若向量，则，共线，又与有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证明三点共线的重要方法活学活用1已知e1，e2是两个不共线的向量，a2e1e2，bke1e2.若a与b是共线向量，则实数k的值为_答案：22如图所示，已知D，E分别为ABC的边AB，AC的中点，延长CD到M使DMCD，延长BE到N使BEEN，求证：M，A，N三点共线证明：D为MC的中点，且D为AB的中点，.同理可证明.，共线且有公共点A，M，A，N三点共线典例(12分)已知ABCD中，a，b，M为AB的中点，N为BD上靠近B的三等分点(1)用a，b表示向量，；(2)求证：M，N，C三点共线解题流程规范解答(1)四边形ABCD是平行四边形，a.(1分)M为AB的中点，b，(2分)ba.(4分)N为BD上靠近B的三等分点，(6分)() (ba)aab.(8分)(2)证明：由(1)知，(10分)又与有公共点C，M，N，C三点共线(12分)名师批注平行四边形的对边平行且相等，且其对边可表示两相等向量，这在线性运算中经常用到.先将用平行四边形中的有关有向线段表示，然后再用向量表示这是解决此类问题的通法要注意向量的始点和终点，此点也极易出错. 将向量转化为是解决此题的难点，很多同学因不会转化而无法解题. 在证出后，只有再说明与有公共点C，才能说明M，N，C三点共线此处极易被忽视而造成解题步骤不完整而失分 活学活用如图，已知OCB中，点A是BC的中点，点D是将OB分成21的一个内分点，DC和OA交于点E，设a，b.(1)用a，b表示向量，；(2)若，求的值答案：(1)2ab；2ab(2)随堂即时演练1设a是非零向量，是非零实数，则下列结论中正确的是()Aa与a的方向相同Ba与a的方向相反Ca与2a的方向相同D|a|a|答案：C2.等于()A2abB2baCba Dab答案：B3下列向量中a，b共线的有_(填序号)a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.答案：4已知向量a，b是两个不共线的向量，且向量ma3b与a(2m)b共线，则实数m的值为_答案：1或35.如图所示，已知ABCD的边BC，CD的中点分别为K，L，且e1，e2，试用e1，e2表示，.答案：e2e1；e1e2课时达标检测一、选择题1若abc，化简3(a2b)2(3bc)2(ab)()AaBbCc D以上都不对答案：A2已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定能使a，b共线的是()2a3b4e且a2b2e；存在相异实数，使ab0；xayb0(其中实数x，y满足xy0)；已知梯形ABCD，其中a，b.A BC D答案：A3.如图，向量，的终点在同一直线上，且3，设p，q，r，则下列等式中成立的是()Arpq Brp2qCrpq Drq2p答案：A4在ABC中，点P是AB上一点，且，又t，则t的值为()A. B.C. D.答案：A5如图，设D，E，F分别是ABC的三边BC，CA，AB上的点，且2，2，2，则与 ()A反向平行B同向平行C互相垂直D既不平行也不垂直答案：A二、填空题6.如图所示，在ABCD中，a，b，AN3NC，M为BC的中点，则_(用a，b表示)答案：(ba)7在ABC中，已知D是AB边上一点，若2，则等于_答案：8已知两个不共线向量e1，e2，且e1e2，3e14e2，2e17e2，若A，B，D三点共线，则的值为_答案：三、解答题9如图，四边形ABCD是一个等腰梯形，ABDC，M，N分别是DC，AB的中点，已知a，b，c，试用a，b，c表示，.解：abc.，2b(abc)a2bc.abc.2a2bc.10设O是ABC内部一点，且3，求AOB与AOC的面积之比解：如图，由平行四边