2017_18学年高中数学第二章能力深化提升含解析.docx

第二章 圆锥曲线与方程能力深化提升类型一圆锥曲线的定义及应用【典例1】(2017日照高二检测)如图所示,已知定圆F1:(x+5)2+y2=1,定圆F2:(x-5)2+y2=42,动圆M与定圆F1,F2都外切,求动圆圆心M的轨迹方程.【解析】圆F1:(x+5)2+y2=1,圆心F1(-5,0),半径r1=1;圆F2:(x-5)2+y2=42,圆心F2(5,0),半径r2=4.设动圆M的半径为R,则有|MF1|=R+1,|MF2|=R+4,所以|MF2|-|MF1|=30,b0)左支的交点,F1是左焦点,PF1垂直于x轴,则双曲线的离心率e=_.(2)(2017沈阳高二检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的左焦点为F,C与过原点的直线相交于A,B两点,连接AF,BF.若|AB|=10,|AF|=6,cosABF=45,则C的离心率e=_.【解析】(1)由PF1x轴知P,把P代入双曲线得:-=1,整理得e2=1,所以e2=,e=.答案:(2)在ABF中,由余弦定理得,cosABF=,所以|BF|2-16|BF|+64=0,所以|BF|=8.设右焦点为F1,因为直线过原点,所以|BF1|=|AF|=6,所以2a=|BF|+|BF1|=14,所以a=7,因为|AB|=10,|BF|=8,|AF|=6,所以ABF是以AFB为直角的直角三角形.因为O为RtABF斜边AB的中点,所以|OF|=|AB|=5,所以c=5,所以e=.答案:【方法总结】求离心率的两种常用方法(1)求得a,c的值,直接代入公式e=求得.(2)列出关于a,b,c的齐次方程(或不等式),然后根据a,b,c的关系消去b,转化成关于e的方程(或不等式)求解.【巩固训练】已知F1为椭圆的左焦点,A,B分别为椭圆的右顶点和上顶点,P为椭圆上的点,当PF1F1A,POAB(O为椭圆中心)时,求椭圆的离心率.【解析】由已知可设椭圆的方程为+=1(ab0),c2=a2-b2,F1(-c,0),因为PF1F1A,所以P,即P,因为ABPO,所以kAB=kOP,即-=-,所以b=c,所以a2=2c2,所以e=.类型三直线与圆锥曲线【典例3】已知双曲线C:2x2-y2=2与点P(1,2),求过点P(1,2)的直线l的斜率的取值范围,使l与C分别有一个公共点,两个公共点,没有公共点.【解析】(1)当l垂直于x轴时,直线与双曲线相切,有一个公共点.(2)当l不与x轴垂直时,设直线l为y-2=k(x-1),代入双曲线方程中,有(2-k2)x2+2(k2-2k)x-k2+4k-6=0.当k2=2时,即k=时,有一个解.当k22时,=4(k2-2k)2-4(2-k2)(-k2+4k-6)=48-32k.令=0可得k=.令0,即48-32k0,此时k.令0,即48-32k.所以当k=,或k=,或k不存在时,直线与双曲线只有一个公共点;当k-,或-k,或k时,直线l与双曲线没有公共点.【方法总结】直线与圆锥曲线的位置关系的关注点(1)直线与圆锥曲线的位置关系的研究可以转化为相应方程组的解的讨论,即联立得方程组通过消去y(也可以消去x)得到有关x的方程ax2+bx+c=0进行讨论.这时要注意考虑a=0和a0两种情况,对双曲线和抛物线而言,一个公共点的情况除a0,=0外,直线与双曲线的渐近线平行或直线与抛物线的对称轴平行或重合时,都只有一个公共点(此时直线与双曲线、抛物线属相交情况).(2)求圆锥曲线被直线所截弦长常用的方法是设而不求,结合根与系数的关系,利用弦长公式求弦长.(3)弦长公式|P1P2|=或|P1P2|=.【巩固训练】已知直线y=-12x+2和椭圆x2a2+y2b2=1(ab0)相交于A,B两点,M为AB的中点,若|AB|=25,直线OM的斜率为12(O为坐标原点),求椭圆的方程.【解析】由消去y,整理得(a2+4b2)x2-8a2x+16a2-4a2b2=0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则由根与系数的关系,得x1+x2=,x1x2=.又设AB的中点M(xM,yM),则xM=,yM=-xM+2=.因为直线OM的斜率kOM=,所以=,所以a2=4b2,从而x1+x2=4,x1x2=8-2b2.又因为|AB|=2,所以=2,即=2,解得b2=4,所以a2=4b2=16,故所求椭圆的方程为+=1.类型四圆锥曲线中的最值与范围问题【典例4】(2017马鞍山高二检测)已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(ab0)的离心率为63,短轴一个端点到右焦点的距离为3.(1)求椭圆C的方程.(2)设直线l与椭圆C交于A,B两点,坐标原点O到直线l的距离为32,求AOB面积的最大值.【解析】(1)设椭圆的半焦距为c,依题意有所以c=,b=1.所以所求椭圆方程为+y2=1.(2)设A(x1,y1),B(x2,y2).当ABx轴时,|AB|=.当AB与x轴不垂直时,设直线AB的方程为y=kx+m.由已知=,得m2=(k2+1).把y=kx+m代入椭圆方程,整理得(3k2+1)x2+6kmx+3m2-3=0,所以x1+x2=,x1x2=.所以|AB|2=(1+k2)(x2-x1)2=(1+k2)(x1+x2)2-4x1x2=(1+k2)=3+=3+129k2+1k2+6(k0)3+=4.所以|AB|2,故ABO的面积最大值为|AB|h=2=.【方法总结】解决圆锥曲线最值(范围)问题的思路(1)几何法:若题目条件与结论有明显的几何特征、几何意义,常结合图形的性质寻求解题思路.这种方法常常较为简捷.(2)代数法:题设条件和结论中存在函数关系,可以建立起目标函数,转化为函数求最值的问题.常用的方法有二次函数在闭区间上最值的求法、判别式法、函数的单调性、基本不等式等.解题时要注意自变量的取值范围对最值的影响.【巩固训练】(2017济南高二检测)设抛物线y2=2px(p0)上有两动点A,B(直线AB不垂直于x轴),F为焦点且|AF|+|BF|=8,又线段AB的垂直平分线恒过定点Q(6,0),求:(1)抛物线的方程.(2)AQB的面积的最大值.【解析】(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点为M(x0,y0),则|AF|=x1+,|BF|=x2+,所以|AF|+|BF|=x1+x2+p=8,即p+2x0=8.由y12=2px1,y22=2px2,得y12-y22=2p(x1-x2),所以=.因为MQ垂直平分AB,所以kMQ=-,又kMQ=,所以-=,所以p=6-x0.由得x0=2,p=4,故抛物线的方程为y2=8x.(2)由(1)知kAB=,M(2,y0),