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3 1函数与方程 3 1 1方程的根与函数的零点 1 思考 一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 的根与二次函数y ax2 bx c a 0 的图象有什么关系 先来观察几个具体的一元二次方程及其相应的二次函数 如 x2 2x 3 0与y x2 2x 3x2 2x 1 0与y x2 2x 1x2 2x 3 0与y x2 2x 3 函数y x2 2x 3的图象 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 容易知道 方程x2 2x 3 0有两个实数根x1 1 x2 3 函数y x2 2x 3的图象与x轴有两个交点 1 0 3 0 这样方程x2 2x 3 0的两个实数根就是函数y x2 2x 3的图象与x轴交点的横坐标 函数y x2 2x 1的图象 方程x2 2x 1 0与函数y x2 2x 1 容易知道 方程x2 2x 1 0有两个相等的实数根x1 x2 1 函数y x2 2x 1的图象与x轴有唯一的交点 1 0 这样方程x2 2x 1 0的实数根就是函数y x2 2x 1的图象与x轴交点的横坐标 函数y x2 2x 3的图象 方程x2 2x 3 0与函数y x2 2x 3 容易知道 方程x2 2x 3 0无实数根 函数y x2 2x 3的图象与x轴没有交点 上述关系对一般的一元二次方程ax2 bx c 0 a 0 及其相应的二次函数y ax2 bx c a 0 也成立 设判别式 b2 4ac 我们有 1 当 0时 一元二次方程有两个不等的实数根x1 x2 相应的二次函数的图象与x轴有两个交点 x1 0 x2 0 2 当 0时 一元二次方程有两个相等的实数根x1 x2 相应的二次函数的图象与x轴有唯一的交点 x1 0 1 当 0时 一元二次方程没有实数根 相应的二次函数的图象与x轴没有交点 函数的零点 二次函数的图象与x轴的交点和相应的一元二次方程根的关系可以推广到一般情形 为此 先给出函数零点的概念 对于函数y f x 我们把使f x 0的x叫做函数y f x 的零点 方程的根与函数的零点的关系 这样 函数y f x 的零点就是方程f x 0的实数根 也就是函数y f x 的图象与x轴的交点的横坐标 所以 方程f x 0有实数根 函数y f x 的图象与x轴有交点 函数y f x 有零点 小结 由此可知 求方程f x 0的实数根 就是确定函数y f x 的零点 一般地 对于不能用公式法求根的方程f x 0来说 我们可以将它与函数y f x 联系起来 利用函数y f x 的性质找出零点 从而求出方程f x 0的根 练习1 利用函数图象判断下列方程有没有根 有几个根 1 x2 3x 5 0 2 2x x 2 3 3 x2 4x 4 4 5x2 2x 3x2 5 练习1 1 x2
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