高中数学双曲线及其标准方程（课件）新课标人教A版学习选修1.ppt

双曲线及其标准方程 y o x f1 f2 y o f1 f2 mf1 mf2 2a 2a f1f2 a2 b2 c2 f c 0 f 0 c o f1 f2 o 如图 a mf1 mf2 2a 如图 b mf2 mf1 2a 上面两条合起来叫做双曲线 由 可得 mf1 mf2 2a 差的绝对值 请思考 1 平面内与两定点的距离的差等于常数2a 小于 f1f2 的轨迹是什么 2 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 等于 f1f2 的轨迹是什么 3 平面内与两定点的距离的差的绝对值等于常数 大于 f1f2 的轨迹是什么 双曲线的一支 是在直线f1f2上且以f1 f2为端点向外的两条射线 不存在 相关结论 1 当 mf1 mf2 2a f1f2 时 2 当 mf1 mf2 2a f1f2 时 3 当 mf1 mf2 2a f1f2 时 m点的轨迹不存在 4 当 mf1 mf2 2a 0时 p点轨迹是双曲线 其中当 mf1 mf2 2a时 m点轨迹是与f2对应的双曲线的一支 当 mf2 mf1 2a时 m点轨迹是与f1对应的双曲线的一支 m点轨迹是在直线f1f2上且以f1和f2为端点向外的两条射线 m点的轨迹是线段f1f2的垂直平分线 双曲线的定义 平面内与两定点f1 f2的距离的差的绝对值等于常数2a的点的轨迹叫做双曲线 f1 f2 焦点 mf1 mf2 2a f1f2 焦距 f2 f1 m y o x 注意 对于双曲线定义须抓住两点 一是平面内的动点到两定点的距离之差的绝对值是一个常数 二是这个常数要小于 f1f2 m x o 设m x y 双曲线的焦距为2c c 0 f1 c 0 f2 c 0 常数为2a f1 f2 m 以f1 f2所在的直线为x轴 线段f1f2的中点o为原点建立直角坐标系 1 建系 2 设点 3 列式 mf1 mf2 2a 4 化简 f1 f2 焦点在y轴上的双曲线的标准方程 想一想 f1 0 c f2 0 c 焦点在y轴上的双曲线的图象是什么 标准方程怎样求 x2与y2的系数符号 决定焦点所在的坐标轴 当x2 y2哪个系数为正 焦点就在哪个轴上 双曲线的焦点所在位置与分母的大小无关 注 例1 已知双曲线的焦点为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点到焦点的距离差的绝对值等于6 则 1 a c b 2 双曲线的标准方程为 3 双曲线上一点 pf1 10 则 pf2 3 5 4 4或16 6 例2已知双曲线两个焦点的坐标为f1 5 0 f2 5 0 双曲线上一点p到f1 f2的距离的差的绝对值等于6 求双曲线的标准方程 解 因为双曲线的焦点在x轴上 所以设它的 2a 62c 10 a 3c 5 b2 52 32 16 所求双曲线的标准方程为 标准方程为 例3 k 1 则关于x y的方程 1 k x2 y2 k2 1所表示的曲线是 解 原方程化为 a 焦点在x轴上的椭圆 c 焦点在y轴上的椭圆 b 焦点在y轴上的双曲线 d 焦点在x轴上的双曲线 k 1 k2 1 01 k 0 方程的曲线为焦点在y轴上的双曲线 故选 b 例4 如果方程表示双曲线 求m的取值范围 或 课堂练习 1 已知点f1 8 3 f2 2 3 动点p满足 pf1 pf2 10 则p点的轨迹是 2化简 使结果 不含根式 设 点的轨迹为双曲线的一支 又焦点在y轴上 所以 例5 相距2000m的两个哨所a b 听到远处传来的炮弹的爆炸声 已知当时的声速是330m s 在a哨所听到爆炸声的时间比在b哨所听到时迟4s 试判断爆炸点在什么样的曲线上 并求出曲线的方程 解 1 设爆炸点p 由已知可得 pa pb 3304 1320因为 ab 2000 1320 又 pa pb 所以点p在以a b为焦点的双曲线的靠近b处的那支上 2 如图2 17 建立直角坐标系xoy 使a b两点在x轴上 并且点o与线段ab的中点重合 设爆炸点p的坐标为 x y 则即2a 1320 a 660 2c 2000 c 1000b2 c2 a2 564400所求双曲线的方程为 1 方程mx2 my2 n中mn 0 则其表示焦点在轴上的 x 双曲线 2 若方程 k2 k 2 x2 k 1 y2 1的曲线是焦点在y轴上的双曲线 则k 1 1 3 双曲线的焦点坐标是 4 双曲线的焦距是6 则k 6 5 若方程表示双曲线 求实数k的取值范围 25 巩固练习 6 已知双曲线的焦点在y轴上 并且两点p1 3 p2 9 4 5 在双曲线上 求双曲线的标准方程 变题 若去掉焦点在y轴上的条件 如何 解 由题意可设双曲线方程为 把点p1 p2坐标代入得 所以所求双曲线的标准方程为 7 已知b 5 0 c 5 0 是 abc的两个顶点 且sinb sinc sina 求顶点a的轨迹方程 变题 已知动圆与定圆c1 x 5 2 y2 49 c2 x 5 2 y2 1都外切 求动圆圆心的轨迹方程 解 根据条件 由正弦定理得 ac ab 3 5 bc 6 所以点a的轨迹为以b c为焦点的双曲线的右支 2a 6 c 5 a 3