2017_18学年高中数学第二章统计2.1.3分层抽样学案含解析.docx

21.3分层抽样提出问题某市为调查中小学生的近视情况，在全市范围内分别对小学生、初中生、高中生三个群体抽样，进而了解中小学生的总体情况和三个群体近视情况的差异大小问题1：上述问题中样本总体有什么特征？提示：此总体，小学生、初中生、高中生三个群体在年龄、体质等方面存在着明显的差异问题2：若采用抽签法或系统抽样法会出现什么结果？提示：抽取的样本可能集中于某一个群体，不具有代表性问题3：为使抽取的样本更合理，更有代表性，有更好的抽样方法解决该问题吗？提示：有可分不同群体抽取导入新知1分层抽样的概念在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是一种分层抽样2分层抽样的适用条件分层抽样尽量利用事先所掌握的各种信息，并充分考虑保持样本结构与总体结构的一致性，这对提高样本的代表性非常重要当总体是由差异明显的几个部分组成时，往往选用分层抽样的方法化解疑难简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的联系和区别类别简单随机抽样系统抽样分层抽样各自特点从总体中逐个抽取将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取将总体分成几层，分层进行抽取相互联系在起始部分采用简单随机抽样在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样适用范围总体中的个体数较少总体中的个体数较多总体由存在明显差异的几部分组成共同点 抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样分层抽样的概念例1(1)某政府机关在编人员共100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上级部门为了了解该机关对政府机构改革的意见，要从中抽取20人，用下列哪种方法最合适()A系统抽样法B简单随机抽样法C分层抽样法 D随机数法(2)分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类(层)，然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行()A每层等可能抽样B每层可以不等可能抽样C所有层按同一抽样比等可能抽样D所有层抽取的个体数量相同解析(1)总体由差异明显的三部分构成，应选用分层抽样法(2)保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取答案(1)C(2)C类题通法1使用分层抽样的前提分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小2使用分层抽样应遵循的原则(1)将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；(2)分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比活学活用下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是()A从10名同学中抽取3人参加座谈会B某社区有500个家庭，其中高收入的家庭125个，中等收入的家庭280个，低收入的家庭95个，为了了解生活购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本C从1 000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间D从生产流水线上，抽取样本检查产品质量解析：选BA中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.分层抽样的应用例2(1)将一个总体分为A，B，C三层，其个体数之比为532.若用分层抽样方法抽取容量为100的样本，则应从C中抽取_个个体(2)一个地区共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为32523，从3万人中抽取一个300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程解(1)A，B，C三层个体数之比为532，又有总体中每个个体被抽到的概率相等，分层抽样应从C中抽取10020(个)个体(2)因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用分层抽样的方法具体过程如下：第一步，将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层第二步，按照样本容量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人，40人，100人，40人，60人第三步，按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本第四步，将300人合到一起，即得到一个样本答案(1)20类题通法1分层抽样的步骤2确定每层抽取的个体数的方法(1)已知总体容量、样本容量及各层的个体数时，首先确定抽样比，其中N为总体容量，n为样本容量；然后确定每层抽取的个体的个数niNi，其中Ni为第i(i1,2，k)层的个体数，ni为第i层应抽取的样本数(2)已知各层个体数之比为m1m2mk，样本容量为n时，每层抽取的个体数为nin.活学活用(北京高考)某校老年、中年和青年教师的人数见下表，采用分层抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本中的老年教师人数为()类别人数老年教师900中年教师1 800青年教师1 600合计4 300A.90B100C180 D300解析：选C设该样本中的老年教师人数为x，由题意及分层抽样的特点得，故x180.三种抽样方法的综合应用例3某中学举行了为期3天的新世纪体育运动会，同时进行全校精神文明擂台赛为了了解这次活动在全校师生中产生的影响，分别在全校500名教职员工、3 000名初中生、4 000名高中生中做问卷调查，如果要在所有答卷中抽出120份用于评估(1)应如何抽取才能得到比较客观的评价结论？(2)要从3 000份初中生的答卷中抽取一个容量为48的样本，如果采用简单随机抽样，应如何操作？(3)为了从4 000份高中生的答卷中抽取一个容量为64的样本，如何使用系统抽样抽取到所需的样本？解(1)由于这次活动对教职员工、初中生和高中生产生的影响不相同，所以应当采取分层抽样的方法进行抽样因为样本容量120，总体个数5003 0004 0007 500，则抽样比为，所以有5008,3 00048，4 00064，所以在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.分层抽样的步骤是：分层：分为教职员工、初中生、高中生，共三层确定每层抽取个体的个数：在教职员工、初中生、高中生中抽取的个体数分别是8,48,64.各层分别按简单随机抽样或系统抽样的方法抽取样本综合每层抽样，组成样本这样便完成了整个抽样过程，就能得到比较客观的评价结论(2)由于简单随机抽样有两种方法：抽签法和随机数法如果用抽签法，要作3 000个号签，费时费力，因此采用随机数表法抽取样本，步骤是：编号：将3 000份答卷都编上号码：0 001，0 002，0 003，3 000.在随机数表上随机选取一个起始位置规定读数方向：向右连续取数字，以4个数为一组，如果读取的4位数大于3 000，则去掉，如果遇到相同号码则只取一个，这样一直到取满48个号码为止(3)由于4 0006462.5不是整数，则应先使用简单随机抽样从4 000名学生中随机剔除32个个体，再将剩余的3 968个个体进行编号：1,2，3 968，然后将整体分为64个部分，其中每个部分中含有62个个体，如第1部分个体的编号为1,2，62.从中随机抽取一个号码，如若抽取的是23，则从第23号开始，每隔62个抽取一个，这样得到容量为64的样本：23,85,147,209,271,333,395,457，3 929.类题通法选择抽样方法的步骤及注意事项(1)选择抽样方法的步骤：第一步，看总体是否由差异明显的几个层次组成若是，则选用分层抽样；否则，考虑用简单随机抽样或系统抽样第二步，看总体容量和样本容量的大小当总体容量较小时，采用抽签法；当总体容量较大、样本容量较小时，采用随机数表法；当总体容量较大、样本容量也较大时，采用系统抽样(2)注意事项：弄清三种抽样方法的使用范围和实际情况是灵活选用抽样方法的前提三种抽样都是等可能抽样简单随机抽样是系统抽样和分层抽样的基础，三种抽样方法经常交叉使用例如，在分层抽样中，各层抽样时可采用系统抽样或简单随机抽样；在系统抽样中，起始部分可采用简单随机抽样活学活用为了评估某学校的教学水平，将抽取这个学校高三年级的部分学生本学年的考试成绩进行考察为全面反映实际情况，采取以下三种方式进行抽查(已知该学校高三年级共有20个教学班，并且每个班内的学生按随机方式编好了学号，假定该校每班学生人数都相同)：从全年级20个班中任意抽取一个班，再从该班任意抽取20人，考察他们的学习成绩；每个班都抽取1人，共计20人，考察这20个学生的学习成绩；把学生按成绩分成优秀、良好、普通三个级别，从中共抽取100名学生进行考察(已知若按成绩分，该校高三学生中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人)根据上面的叙述，回答下列问题：(1)上面三种抽取方式中，其总体、个体、样本分别指什么？按每一种抽取方式抽取的样本中，其样本容量分别是多少？(2)上面三种抽取方式中，各自采用何种抽样方法？(3)试分别写出上面三种抽取方式各自抽取样本的步骤解：(1)三种抽取方式中，其总体都是高三全体学生本学年的考试成绩，个体都是指高三年级每个学生本学年的考试成绩其中第一种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第二种抽取方式中样本为所抽取的20名学生本学年的考试成绩，样本容量为20；第三种抽取方式中样本为所抽取的100名学生本学年的考试成绩，样本容量为100.(2)三种抽取方式中，第一种方式采用的是简单随机抽样法；第二种方式采用的是系统抽样法和简单随机抽样法；第三种方式采用的是分层抽样法和简单随机抽样法(3)第一种方式抽样的步骤如下：第一步，在这20个班中用抽签法任意抽取一个班；第二步，从这个班中按学号用随机数法或抽签法抽取20名学生，考察其考试成绩第二种方式抽样的步骤如下：第一步，在第一个班中，用简单随机抽样法任意抽取某一学生，记其学号为a；第二步，在其余的19个班中，选取学号为a的学生，共计20人第三种方式抽样的步骤如下：第一步，分层由于按成绩分，其中优秀生共150人，良好生共600人，普通生共250人，故在抽取样本时，应把全体学生分成三层第二步，确定各个层抽取的人数由于样本容量与总体的个体数的比为1001 000110，故在每层抽取的个体数依次为，即15,60,25.第三步，按层分别抽取在优秀生中用简单随机抽样法抽取15人；在良好生中用简单随机抽样法抽取60人；在普通生中用简单随机抽样法抽取25人典例某单位有工程师6人，技术员12人，技工18人，要从这些人中抽取一个容量为n的样本，如果采用系统抽样和分层抽样方法抽取，不用剔除个体；如果样本容量增加1个，则在采用系统抽样时，需要在总体中先剔除1个个体，求得样本容量为_解析总体容量N36.当样本容量为n时，系统抽样间隔为N*，所以n是36的约数；分层抽样的抽样比为，求得工程师、技术员、技工的抽样人数分别为、，所以n应是6的倍数，所以n6或12或18或36.当样本容量为n1时，总体中先剔除1人时还有35人，系统抽样间隔为N*，所以n只能是6.答案6易错防范1若没有考虑样本容量为n1时的变化情况，会得到n6或12或18或36的错误结论2样本容量增加1个个体，若总体没有剔除1人，没有考虑到系统抽样的间隔为N*，而是利用n1是36的约数，则易得n5，从而导致解题错误成功破障某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3 000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是_件解析：抽样比为1301 300110，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是(3 0001 300)100800(件)答案：800随堂即时演练1(四川高考)某学校为了了解三年级、六年级、九年级这三个年级之间的学生视力是否存在显著差异，拟从这三个年级中按人数比例抽取部分学生进行调查，则最合理的抽样方法是()A抽签法B系统抽样法C分层抽样法 D随机数法解析：选C根据年级不同产生差异及按人数比例抽取易知应为分层抽样法2某商场有四类食品，食品类别和种数见下表现从中抽取一个容量为20的样本进行食品安全检测若采用分层抽样的方法抽取样本，则抽取的植物油类与果蔬类食品种数之和是()类别粮食类植物油类动物性食品类果蔬类种数40103020A.7B6C5 D4解析：选B由已知可得抽样比为：，抽取植物油类与果蔬类食品种数之和为(1020)6.3已知某单位有职工120人，其中男职工90人，现采用分层抽样的方法(按男、女分层)抽取一个样本，若已知样本中有27名男职工，则样本容量为_解析：分层抽样中抽样比一定相同，设样本容量为n，由题意得，解得n36.答案：364一个单位共有职工200人，其中不超过45岁的有120人，超过45岁的有80人为了调查职工的健康状况，用分层抽样的方法从全体职工中抽取一个容量为25的样本，应抽取超过45岁的职工_人解析：单位共有职工200人，取一个容量为25的样本，依题意知抽取超过45岁的职工人数为8010(人)答案：105对某单位1 000名职工进行某项专门调查，调查的项目与职工任职年限有关，人事部门提供了如下资料：任职年限人数5年以下300510年50010年以上200试利用上述资料，设计一个抽样比为的抽样方法解：因为抽样比为，故只需从1 000人中抽取1 000100(人)故从任职5年以下的职工中抽取30030(人)从任职5年10年的职工中抽取50050(人)从任职10年以上的职工中抽取20020(人)课时达标检测一、选择题1在抽样过程中，每次抽取的个体不再放回总体的为不放回抽样，那么分层抽样、系统抽样、简单随机抽样三种抽样中，是不放回抽样的有()A0个B1个C2个D3个答案：D2当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户、270户、180户若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为()A40 B30 C20 D36答案：A3交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查假设四个社区驾驶员的总人数为N，其中甲社区有驾驶员96人若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为12,21,25,43，则这四个社区驾驶员的总人数N为()A101 B808 C1 212 D2 012答案：B4某学校高一、高二、高三三个年级共有学生3 500人，其中高三学生人数是高一学生人数的两倍，高二学生人数比高一学生人数多300人，现在按的抽样比用分层抽样的方法抽取样本，则应抽取的高一学生人数为()A8 B11 C16 D10答案：A5某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查，从810岁，1112岁，1314岁，1516岁四个年龄段回收的问卷依次为：120份，180份，240份，x份因调查需要，从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本，其中从1112岁学生问卷中抽取60份，则从1516岁学生中抽取的问卷份数为()A60 B80 C120 D180答案：C二、填空题6某学院的A，B，C三个专业共有1 200名学生，为了调查这些学生勤工俭学的情况，拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本已知该学院的A专业有380名学生，B专业有420名学生，则在该学院的C专业应抽取_名学生解析：C专业的学生有1 200380420400(名)，由分层抽样原理，应抽取12040(名)答案：407一支田径队有男、女运动员98人，其中男运动员有56人按男、女比例用分层抽样的方法，从全体运动员中抽出一个容量为28的样本，那么应抽取女运动员的人数是_解析：抽取女运动员的人数为2812.答案：128某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为334，现用分层抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取_名学生解析：高二年级学生人数占总数的，样本容量为50，则5015.答案：15三、解答题9某高级中学共有学生3 000名，各年级男、女生人数如下表：高一年级高二年级高三年级女生487xy男生513560z已知从全校学生中随机抽取1名学生，抽到高二年级女生的概率是0.18.(1)问高二年级有多少名女生？(2)现对各年级用分层抽样的方法从全校抽取300名学生，问应从高三年级抽取多少名学生？解：(1)由0