高中数学第一1.1.4基本不等式2课堂导学案新人教选修.docx

1.1.4 基本不等式（2）课堂导学三点剖析一、利用基本不等式求最值【例1】若关于x的不等式(1+k2)xk4+4的解集是M,则对任意实常数k,总有( )A.2M,0M B.2M,0MC.2M,0M D.2M,0M解析:M=x|x,=k2-1+=(k2+1)+-2-22,2M,0M.答案:A温馨提示 本题主要考查一元不等式及基本不等式求最值.在本例中表达式经过变形化为“x+(a0)”型的式子,然后利用基本不等式求得最小值.在求最值时,形如“x+(a0)”的最值问题是一种非常典型的用基本不等式来求的类型,有很多最值问题可转化为该类型,因此,在解题时应给予高度重视.各个击破类题演练1已知点M(-2,0),N(2,0),动点P满足条件|PM|-|PN|=,记动点P的轨迹为W.(1)求W的方程;(2)若A,B是W上的不同两点,O是坐标原点,求的最小值.解析:(1)由|PM|-|PN|=知动点P的轨迹是以M,N为焦点的双曲线的右支,实半轴长a=.又半焦距c=2,故b=.所以W的方程为=1(x).(2)设A(x1,y1),B(x2,y2),则xi2-yi2=(xi+yi)(xi-yi)=2(i=1,2).令si=xi+yi,ti=xi-yi,则siti=2,且si0,ti0(i=1,2),所以=x1x2+y1y2=(s1+t1)(s2+t2)+(s1-t1)(s2-t2)=s1s2+t1t2=2.当且仅当s1s2=t1t2,即时“=”成立,所以的最小值是2.变式提升1若对任意正数x,y,都有a,则实数a的最大值是( )A. B.2 C. D.解析:由=,故选A.答案:A二、利用基本不等式求条件等式的最值【例2】 已知x0,y0,且+=1,求x+y的最小值.解法一:x0,y0,+=1,x+y=(x+y)(+)=10+10+6=16,当且仅当.又+=1,x=4,y=12时，上式等号成立.故当x=4,y=12时，x+y取最小值16.解法二:+=1,x0,y0,y=且x1.故x+y=x+=x+9=(x-1)+106+10=16.当且仅当x-1=，x1,x=4时上式等号成立.解法三:+=1,y+9x=xy,得(x-1)(y-9)=9.又由条件知x1,y9,x+y=(x-1)+(y-9)+10+10=16.当且仅当x-1=y-9=3,即x=4,y=12时，x+y取最小值16.温馨提示 解法一、解法三的技巧性较强,解法二是把目标函数化为一元函数,一元函数再变形,“求积造定和或求和造定积”,难度明显降低,思路也自然些,这是解此类问题的通法.类题演练2若a,b,c0且a(a+b+c)+bc=4-,则2a+b+c的最小值为( )A.-1 B.+1C.+2 D.-2解析:由a(a+b+c)+bc=4-a(a+b)+(a+b)c=(a+b)(a+c)=4-.而2a+b+c=(a+b)+(a+c)=-2.当且仅当a+b=a+c,即b=c时等号成立.答案:D变式提升2已知x,yR+,且x+y=1,求+的最小值.解法一:0x1.记f(x)=+=+.令t=2-x,x(0,1),-x(-1,0),t(1,2).则f(x)=,t(1,2),t+.-(t+),03-(t+)3.f(x)=3+.f(x)max=3+.此时t=t=2-x=x=2-.解法二:由得0x0,k为比例系数，依题意，即所求的a,b的值，使y最小.依题设，有4b+2ab+2a=60(a0,b0),得b=(0a0,要求y的最小值,必须求解ab的最大值.依题设4b+2ab+2a=60,即ab+2b+a=30(a0,b0).a+2b(当且仅当a=2b时取“=”),ab+30,可解得0ab18.由a=2b,及ab+a+2b=30,可得a=6,b=3,即a=6,b=3时,ab取最大值,从而y值最小.类题演练3甲,乙两个同学同时到同一个商店分别买了两次糖,甲同学每次买一元钱的,乙同学每次买一斤,如果两次糖的价格不同,问甲,乙两同学谁买的更便宜?解析:甲同学乙同学设糖的价格第一次1元1斤a元/斤第二次1元1斤b元/斤共花钱2元(a+b)元共买糖(+)斤2斤平均价格 甲的平均价格-乙的平均价格=-=0.(ab)答:甲同学买的糖比乙同学便宜.变式提升3某游泳馆出售冬季学生游泳卡，每张240元.使用规定，不记名，每卡每次只限1人，每天只限1次.某班有48名同学，老师打算组织同学们集体去游泳，除需购买若干张游泳卡外，每次游泳还要包一辆汽车，无论乘坐多少名学生，每次的包车费均为40元，若使每个同学游8次，每人最少得交多少钱?解析:设分n批去游泳，活动总开支为y元，则包车费为40n元，