2018届高考数学一轮复习第二章函数第八节函数与方程学案文.docx

1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解知识点一 函数的零点 1定义对于函数yf(x)(xD)，把使_成立的实数x叫做函数yf(x)(xD)的零点2函数的零点与相应方程的根、函数的图象与x轴交点间的关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a，b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有_，那么函数yf(x)在区间_内有零点，即存在c(a，b)，使得_，这个c也就是方程f(x)0的根答案1f(x)02.x轴零点3f(a)f(b)0(a，b)f(c)01(必修P92习题3.1A组第2题改编)已知函数f(x)的图象是连续不断的，且有如下对应值表：x12345f(x)42147在下列区间中，函数f(x)必有零点的区间为()A(1,2) B(2,3)C(3,4) D(4,5)解析：由所给的函数值的表格可以看出，x2与x3这两个数字对应的函数值的符号不同，即f(2)f(3)0，所以函数的零点在(2,3)内，故选B.答案：B2(必修P88例1改编)函数f(x)xx的零点个数为()A0 B1 C2 D3解析：函数f(x)xx的零点个数是方程xx0的解的个数，即方程xx的解的个数，也就是函数yx与yx的图象的交点个数在同一坐标系中作出两个函数的图象，可得交点个数为1.答案：B3已知函数f(x)x2xa在区间(0,1)上有零点，则实数a的取值范围是_解析：函数f(x)x2xa在(0,1)上有零点f(0)f(1)0.即a(a2)0，解得2a0.答案：(2,0)知识点二 二分法 1二分法的定义对于在区间a，b上连续不断且_的函数yf(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_，使区间的两个端点逐步逼近_，进而得到零点近似值的方法叫做二分法2用二分法求函数f(x)零点近似值的步骤第一步，确定区间a，b，验证_，给定精确度；第二步，求区间(a，b)的中点x1；第三步，计算f(x1)：若_，则x1就是函数的零点；若_，则令bx1(此时零点x0(a，x1)；若_，则令ax1(此时零点x0(x1，b)；第四步，判断是否达到精确度：即若|ab|，则得到零点近似值a(或b)；否则重复第二、三、四步温馨提示：用二分法求一个方程的近似解时，选择的区间可大可小，在同一精确度下，最好在满足|ab|的同时，再保证区间(a，b)的两个端点a，b在精确度下的近似值相同这样所选的区间不同，但所得结果相同答案1f(a)f(b)0一分为二零点2f(a)f(b)0f(x1)0f(a)f(x1)0f(x1)f(b)04下列函数图象与x轴均有交点，其中不能用二分法求图中函数零点的是()答案：A5用二分法求函数f(x)3xx4的一个零点，其参考数据如下：f(1.600 0)0.200f(1.587 5)0.133f(1.575 0)0.067f(1.562 5)0.003f(1.556 2)0.029f(1.550 0)0.060据此数据，可得f(x)3xx4的一个零点的近似值(保留三位有效数字)为_解析：由题意知，函数零点在区间(1.556 2，1.562 5)内，又零点近似值保留三位有效数字，故零点近似值为1.56.答案：1.56热点一零点所在区间的判断 【例1】(1)(2017吉林长春监测)函数f(x)lnxx2的零点所在的区间是()A. B(1,2)C(2，e) D(e,3)(2)设f(x)lnxx2，则函数f(x)的零点所在的区间为()A(0,1) B(1,2)C(2,3) D(3,4)【解析】(1)因为fe20，f(1)20，f(2)ln20，所以f(2)f(e)0，所以函数f(x)lnxx2的零点所在的区间是(2，e)，故选C.(2)函数f(x)的零点所在的区间转化为函数g(x)lnx，h(x)x2图象交点的横坐标所在的范围，如图，可知f(x)的零点所在的区间为(1,2)故选B.【答案】(1)C(2)B【总结反思】判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值的正负图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象(1)函数f(x)ln(x1)的零点所在的大致区间是()A(0,1) B(1,2)C(2，e) D(3,4)(2)(2017永州模拟)若x0是函数f(x)2xx3的零点，则x0(表示不超过x0的最大整数)的值为_解析：(1)因为f(x)在(0，)上为单调增函数，且f(1)ln220，所以函数的零点所在的大致区间是(1,2)，故选B.(2)函数f(x)2xx3的零点即函数y2x与yx3的交点的横坐标如图，因为f(3)f(2)(1)0，f(2)f(3)(1)220时，f(x)20恒成立，所以f(x)在(0，)上是增函数又因为f(2)2ln20，所以f(x)在(0，)上有一个零点，综上，函数f(x)的零点个数为2.(2)由f(x)0得cosxlog8x，设ycosx，ylog8x，作出函数ycosx，ylog8x的图象，由图象可知，函数f(x)的零点个数为3.【答案】(1)2(2)3【总结反思】判断函数yf(x)零点个数的常用方法(1)直接法令f(x)0，则方程实根的个数就是函数零点的个数(2)零点存在的判定方法判断函数在区间a，b上是连续不断的曲线，且f(a)f(b)0时，f(x)exx3，则f(x)的零点个数为()A1 B2C3 D4解析：因为函数f(x)是定义域为R的奇函数，所以f(0)0，所以0是函数f(x)的一个零点当x0时，令f(x)exx30.则exx3.分别画出函数yex和yx3的图象，如图所示，有一个交点，所以函数f(x)在(0，)上有一个零点又根据对称性知，当x0时函数f(x)也有一个零点综上所述，f(x)的零点个数为3.故选C.答案：C热点三 函数零点的应用 考向1二次函数的零点问题【例3】已知函数f(x)x2ax2，aR.(1)若不等式f(x)0的解集为1,2，求不等式f(x)1x2的解集；(2)若函数g(x)f(x)x21在区间(1,2)上有两个不同的零点，求实数a的取值范围【解】(1)因为不等式f(x)0的解集为1,2，所以a3，于是f(x)x23x2.由f(x)1x2得，1x2x23x2，解得x或x1，所以不等式f(x)1x2的解集为x|x或x1(2)函数g(x)2x2ax3在区间(1,2)上有两个不同的零点，则即解得5a2.所以实数a的取值范围是(5，2).【总结反思】解决二次函数的零点问题：(1)可利用一元二次方程的求根公式；(2)可用一元二次方程的判别式及根与系数之间的关系；(3)利用二次函数的图象列不等式组.已知f(x)x2(a21)x(a2)的一个零点比1大，一个零点比1小，求实数a的取值范围解：设方程x2(a21)x(a2)0的两根分别为x1，x2(x1x2)，则(x11)(x21)0，即x1x2(x1x2)10，由根与系数的关系，得(a2)(a21)10，即a2a20，2a0，且a1)在R上单调递减，且关于x的方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，则a的取值范围是()A.B.C.D.【解析】要使函数f(x)在R上单调递减，只需解之得a，因为方程|f(x)|2x恰有两个不相等的实数解，所以直线y2x与函数y|f(x)|的图象有两个交点如图所示易知y|f(x)|的图象与x轴的交点的横坐标为1，又12，故由图可知，直线y2x与y|f(x)|的图象在x0时有一个交点；当直线y2x与yx2(4a3)x3a(xx1，得x0，此时f(x)(x1)2(2x1)(x1)x2x，所以f(x)作出函数f(x)的图象如图所示，要使方程f(x)a恰有三个互不相等的实数根x1，x2，x3，不妨设x1x2x3，则x10,0x2x31，且x2，x3关于x对称，所以x2x31，当2x时，解得x，x10，x1x2x31.答案：1函数零点存在性定理是零点存在的一个