2018届高考数学一轮复习第八章平面解析几何第五节椭圆学案文.docx

1.掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单性质2了解圆锥曲线的简单应用3理解数形结合的思想知识点一椭圆的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于_的点的轨迹叫做椭圆这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点间的距离叫做椭圆的焦距答案常数(大于|F1F2|)1判断正误(1)平面内与两个定点F1，F2的距离之和等于常数的点的轨迹是椭圆()(2)动点P到两定点A(0，2)，B(0,2)的距离之和为4，则点P的轨迹是椭圆()答案：(1)(2)2已知椭圆1上一点P到椭圆一个焦点的距离为3，则P到另一个焦点的距离为_解析：|PF2|7.答案：7知识点二椭圆的标准方程和几何性质 标准方程1(ab0)1(ab0)图形性质范围axabybbxbaya对称性对称轴：坐标轴；对称中心：原点顶点A1(a,0)，A2(a,0)B1(0，b)，B2(0，b)A1(0，a)，A2(0，a)B1(b,0)，B2(b,0)轴长轴A1A2的长为_；短轴B1B2的长为_焦距|F1F2|_离心率e_a，b，c的关系c2_答案2a2b2c(0,1)a2b23(选修11P42第2(1)题改编)已知椭圆1的焦点在x轴上，焦距为4，则m等于()A8B7C6D5解析：因为椭圆1的焦点在x轴上所以解得6mb0)因为椭圆的一个焦点为F(1,0)，离心率e，所以解得故椭圆的标准方程为1.答案：15(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系xOy中，F是椭圆1(ab0)的右焦点，直线y与椭圆交于B，C两点，且BFC90，则该椭圆的离心率是_解析：由题意可得B(a，)，C(a，)，F(c,0)，则由BFC90得(ca，)(ca，)c2a2b20，化简得ca，则离心率e.答案：热点一椭圆的定义及标准方程 【例1】(1)过椭圆4x2y21的一个焦点F1的直线与椭圆交于A，B两点，则A与B和椭圆的另一个焦点F2构成的ABF2的周长为()A2B4C8D2(2)一个椭圆的中心在原点，焦点F1，F2在x轴上，P(2，)是椭圆上一点，且|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则椭圆的方程为()A.1 B1C.1 D1【解析】(1)因为椭圆方程为4x2y21，所以a1.根据椭圆的定义，知ABF2的周长为|AB|AF2|BF2|AF1|BF1|AF2|BF2|(|AF1|AF2|)(|BF1|BF2|)4a4.(2)设椭圆的标准方程为1(ab0)由点P(2，)在椭圆上知1.又|PF1|，|F1F2|，|PF2|成等差数列，则|PF1|PF2|2|F1F2|，即2a22c，又c2a2b2，联立得a28，b26，故椭圆方程为1.【答案】(1)B(2)A【总结反思】(1)椭圆定义的应用主要有两个方面：一是确认平面内与两定点有关的轨迹是否为椭圆；二是当P在椭圆上时，与椭圆的两焦点F1，F2组成的三角形通常称为“焦点三角形”，利用定义可求其周长；利用定义和余弦定理可求|PF1|PF2|；通过整体代入可求其面积等(2)求椭圆标准方程的基本方法是待定系数法，具体过程是先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后再根据条件建立关于a，b的方程组如果焦点位置不确定，可把椭圆方程设为mx2ny21(m0，n0，mn)的形式. (1)已知动圆M过定点A(3,0)并且与定圆B：(x3)2y264相切，则动圆圆心M的轨迹方程为()A.1 B.1C.1 D.1(2)已知F1，F2是椭圆C：1(ab0)的两个焦点，P为椭圆C上的一点，且.若PF1F2的面积为9，则b_.解析：(1)因为点A在圆B内，所以过点A的圆与圆B只能内切，因为B(3,0)，所以|AB|6.所以|BM|8|MA|，即|MB|MA|8|AB|，所以动点M的轨迹是以A，B为焦点的椭圆，设其方程为1，又a4，c3，b27，所以方程为1.故选A.(2)由题意知|PF1|PF2|2a，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|24c2，所以(|PF1|PF2|)22|PF1|PF2|4c2，所以2|PF1|PF2|4a24c24b2.所以|PF1|PF2|2b2，所以SPF1F2|PF1|PF2|2b2b29.所以b3.答案：(1)A(2)3热点二椭圆的几何性质 考向1求椭圆的离心率(或取值范围)【例2】(2016新课标全国卷)已知O为坐标原点，F是椭圆C：1(ab0)的左焦点，A，B分别为C的左，右顶点P为C上一点，且PFx轴过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为()A. B.C. D.【解析】设E(0，m)，则直线AE的方程为1，由题意可知M(c，m)，(0，)和B(a,0)三点共线，则，化简得a3c，则C的离心率e.【答案】A考向2根据椭圆的性质求值或范围【例3】(1)(2017安庆模拟)P为椭圆1上任意一点，EF为圆N：(x1)2y24的任意一条直径，则的取值范围是()A0,15B5,15C5,21D(5,21)(2)已知椭圆C：1的左、右焦点分别为F1，F2，椭圆C上的点A满足AF2F1F2，若点P是椭圆C上的动点，则的最大值为()A. B.C. D.【解析】(1)()()()()22|24，因为ac|ac，即3|5，所以的范围是5,21(2)由椭圆方程知c1，所以F1(1,0)，F2(1,0)因为椭圆C上点A满足AF2F1F2，则可设A(1，y0)，代入椭圆方程可得y，所以y0.设P(x1，y1)，则(x11，y1)，(0，y0)，所以y1y0.因为点P是椭圆C上的动点，所以y1，的最大值为.【答案】(1)C(2)B【总结反思】(1)椭圆的几何性质常涉及一些不等关系，例如对椭圆1(ab0)，有axa，byb,0eb0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x4y0交椭圆E于A，B两点若|AF|BF|4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是()A. B.C. D.(2)(2017安徽淮南一模)椭圆C：1的左、右顶点分别为A1、A2，点P在椭圆C上且直线PA2斜率的取值范围是2，1，那么直线PA1斜率的取值范围是()A. B.C. D.解析：(1)不妨设左焦点为F2，连接AF2，BF2，由椭圆的对称性可知四边形AFBF2的对角线互相平分，所以四边形AFBF2为平行四边形，所以|AF|BF|BF2|BF|2a4，所以a2，设M(0，b)，所以dbb1，所以e，又e(0,1)，所以e.(2)由题意，得A1(2,0)，A2(2,0)，设P(x0，y0)(x02)，则有1，整理，得.因为k，k，所以kk，又k2，1，所以k，故选C. 答案：(1)A(2)C热点三直线与椭圆的位置关系 【例4】(2016四川卷)已知椭圆E：1(ab0)的一个焦点与短轴的两个端点是正三角形的三个顶点，点P(，)在椭圆E上()求椭圆E的方程；()设不过原点O且斜率为的直线l与椭圆E交于不同的两点A，B，线段AB的中点为M，直线OM与椭圆E交于C，D，证明：|MA|MB|MC|MD|.【解】()由已知，a2b.又椭圆1(ab0)过点P(，)，故1，解得b21，所以椭圆E的方程是y21.()证明：设直线l的方程为yxm(m0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由方程组得x22mx2m220，方程的判别式为4(2m2)，由0，即2m20，解得mb0)的左、右焦点，M是C上一点且MF2与x轴垂直直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求椭圆C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|5|F1N|，求a，b.解：(1)根据a2b2c2及题设知M，得2b23ac.将b2a2c2代入2b23ac，解得，2(舍去)故椭圆C的离心率为.(2)设直线MN与y轴的交点为D，由题意，原点O为F1F2的中点，MF2y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故4，即b24a.由|MN|5|F1N|得|DF1|2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y10，则即代入C的方程，得1.将及a2b2c2代入得1.解得a7，b24a28，故a7，b2.1涉及椭圆定义的题目，要抓住“椭圆上任一点到两焦点距离之和等于2a”这个特征充分利用定义“回到定义中去”是一个很重要的思想方法2求椭圆方程的方法(1)直接法：根据所给条件判断焦点位置，并确定a，b的值，按标准方程写出方程，其中难点为确定a，b的值(2)待定系数法：先设出字母系数的方程，根据条件建立字母系数的方程并求解，然后代入所设方程而得方程，其中难点是建立字母系数的方程3离心率是椭圆的重要几何性质，是高考重点考查的一个知识点这类问题一般有两