江苏省徐州市2013届高三（上）期中数学试卷（理科）(含解析).doc

江苏省徐州市2013届高三（上）期中数学试卷（理科）(含解析)一、填空题：本大题共16小题，每小题5分，共计70分请把答案填写在答题卡相应位置上1（5分）A=1，0，1，B=0，1，2，3，AB=0，1考点：交集及其运算专题：计算题分析：根据交集的定义，由集合A、B，分析A、B的公共元素，并用集合表示即可得答案解答：解：根据题意，A=1，0，1，B=0，1，2，3，集合A、B的公共元素为0、1，则AB=0，1；故答案为0，1点评：本题考查交集的计算，关键是理解交集的定义2（5分）命题“x（1，2），x21”的否定是x（1，2），x21考点：全称命题；命题的否定专题：计算题分析：利用全称命题的否定是特称命题，直接写出命题的否定即可解答：解：因为全称命题的否定是特称命题，所以命题“x（1，2），x21”的否定是：x（1，2），x21故答案为：x（1，2），x21点评：本题考查命题的否定的应用全称命题与特称命题互为否定关系，考查基本知识的应用3（5分）设（i为虚数单位），则a+b=考点：复数代数形式的乘除运算专题：计算题分析：利用复数的分母实数化，然后通过复数的相等求出a，b即可求解a+b的值解答：解：因为=，所以a=，b=，a+b=故答案为：点评：本题考查复数的相等，复数代数形式的混合运算，考查计算能力4（5分）在等差数列an中，已知该数列前10项的和为S10=120，那么a5+a6=24考点：等差数列的前n项和；等差数列的性质专题：等差数列与等比数列分析：由等差数列的前n项和公式结合S10=120可得a1+a10=24，然后由等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10，可得答案解答：解：由题意可得：S10=5（a1+a10）=120，故a1+a10=24，而由等差数列的性质可得a5+a6=a1+a10，故a5+a6=24故答案为：24点评：本题考查等差数列的性质以及求和公式，正确运用性质和公式是解决问题的关键，属基础题5（5分）已知=（1，2m），=（2，m），则“m=1”是“”的充分不必要条件（填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：探究型分析：若“”可得“=0”可以求出m的值，再根据充分必要条件的定义进行求解；解答：解：已知=（1，2m），=（2，m），“”，=0，22m2=0解得m=1，“m=1”“”，“m=1”是“”的充分不必要条件，故答案为：充分不必要；点评：此题主要考查向量垂直的性质以及内积的运算法则，是一道基础题；6（5分）设直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线，则实数b的值是33ln3考点：利用导数研究曲线上某点切线方程专题：计算题；导数的概念及应用分析：先设出切点坐标P（x0，ex0），再利用导数的几何意义写出过P的切线方程，最后由直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线，求出实数b的值解答：解：y=ex，y=ex，设切点为P（x0，ex0），则过P的切线方程为yex0=ex0（xx0），整理，得y=x0+，直线是y=3x+b是曲线y=ex的一条切线，=3，x0=ln3，b=x0+=33ln3故答案为：33ln3点评：本题考察了导数的几何意义，解题时要注意发现隐含条件，辨别切线的类型，分别采用不同策略解决问题7（5分）在ABC中，a=14，b=7，B=60，则边c=7（1+）考点：正弦定理专题：计算题；解三角形分析：在ABC中，a=14，b=7，B=60，利用正弦定理可求得A，从而可求C，再利用正弦定理即可求得c解答：解：在ABC中，a=14，b=7，B=60，=，即=，sinA=，又ab，AB，故A=45C=75由正弦定理得：=14，c=14sin75=14sin（30+45）=14（+）=7（1+）故答案为：7（1+）点评：本题考查正弦定理，求得角A是关键，考查分析与运算能力，属于中档题8（5分）（理）已知函数f（x）=x25x，数列an的通项公式为当|f（an）14|取得最小值时，n的所有可能取值集合为1，6考点：数列的函数特性；元素与集合关系的判断专题：计算题分析：令g（n）=|f（an）14|对其进行配方，数列an的通项公式为利用均值不等式求出最小值，当|f（an）14|取得最小值时，说明f（an）越接近14，此时|f（an）14|取得最小值，从而求出n的所有可能取值集合；解答：解：令g（n）=|f（an）14|=|an25an14|=|（an）220.25|，可得，an=n+2，要使g（n）最小，（n+）2要尽量接近20.25，令（n+）2=20.25，n+=，an2，n+=2.5+=7，解得n=1或6，n的所有可能取值集合为1，6，故答案为1，6；点评：本题主要考查了数列与函数的综合应用，同时考查了基本不等式，是一道综合性较强的题目，属于难题9（文）动点P（a，b）在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，则的取值范围是7，3考点：简单线性规划的应用专题：计算题分析：本题是不等式中线性规划的延伸题，不再求线性目标函数的最值，转而求的取值范围，可看成是某两点的斜率问题，从而求解；解答：解：=1+在不等式组表示的平面区域内部及其边界上运动，作出可行域的图分析可得：P在可行域内，B解得B（3，3）；B解得A（3，7）；W1是点P（a，b）与点M（4，1）连成直线的斜率值的大小变化，W1的最大值为斜率kBM的值，kBM=2，W1的最小值为斜率kAM的值，kAM=8，wmax=2+1=3，wmin=8+1=7；7w3，故答案为：7，3；点评：此题主要考查简单的线性规划问题，解题过程中用到了转化的思想，将求w的最值问题，转化为直线的斜率问题，是一道中档题；10（5分）下列四个命题：函数f（x）=xsinx是偶函数；函数f（x）=sin4xcos4x的最小正周期是；把函数f（x）=3sin（2x+）的图象向右平移个单位长度可以得到f（x）=3sin2x的图象；函数f（x）=sin（x）在区间0，上是减函数其中是真命题的是（写出所有真命题的序号）考点：命题的真假判断与应用专题：探究型；函数的性质及应用分析：研究函数的奇偶性，可用偶函数的定义来证明之；先化简表达式，变成一个角的三角函数，再根据公式求出周期；函数f（x）=3sin（2x+）=3sin2（x+），由此结合函数图象平移的规律，即可得到结论；化简函数，利用余弦函数的单调性，可得结论解答：解：对于，由于f（x）=xsin（x）=xsinx=f（x），故函数f（x）是偶函数，正确；对于，f（x）=sin4xcos4x=（sin2x+cos2x）（sin2xcos2x）=sin2xcos2x=cos2x，f（x）的最小正周期是T=，故正确；对于，函数f（x）=3sin（2x+）=3sin2（x+），图象向右平移个单位长度可以得到f（x）=3sin2x的图象，故正确；对于，函数f（x）=sin（x）=cosx，在区间0，上是增函数，故不正确，综上，真命题为故答案为：点评：本题考查函数的奇偶性、周期性、单调性，图象的变换规律，涉及知识点多，综合性强11（5分）若函数在1，1上是单调增函数，则实数a的取值范围是考点：对数函数的单调性与特殊点专题：计算题；分类讨论分析：利用函数的单调性，确定对数的底数的范围，真数的范围以及单调性，利用分类讨论求出结果解答：解：因为函数在1，1上是单调增函数，所以当a231并且x=1时a+40，a0，函数是增函数，解得a（2，4）；当1a230时，ax+4是减函数，且a+40，a0，解得a，综上实数a的取值范围是故答案为：点评：本题考查对数函数的单调性的应用，分类讨论思想的应用，注意真数必须大于0，防晒霜的单调性的判断12（2008长宁区二模）函数y=loga（x+3）1（a0，a1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny+1=0上，其中mn0，则+的最小值为8考点：基本不等式专题：计算题；压轴题分析：由题意可得定点A（2，1），2m+n=1，把要求的式子化为 4+，利用基本不等式求得结果解答：解：由题意可得定点A（2，1），又点A在直线mx+ny+1=0上，2m+n=1，则+=+=4+4+2=8，当且仅当 时，等号成立，故答案为：8点评：本题考查基本不等式的应用，函数图象过定点问题，把要求的式子化为 4+，是解题的关键13（5分）已知数列an满足a1=1，a2=2，对于任意的正整数n都有anan+11，anan+1an+2=an+an+1+an+2，则S2012=4023考点：数列的应用；数列的求和专题：综合题；等差数列与等比数列分析：再写一式，两式相减可推断出an+3=an，进而可知数列an是以3为周期的数列，通过a1=1，a2=2，求得a3，而2012=3670+2，故可知S2012的答案解答：解：依题意可知，anan+1an+2=an+an+1+an+2，an1anan+1=an1+an+an+1，两式相减得anan+1（an+2an1）=an+2an1，anan+11，an+2an1=0，即an+3=an，数列an是以3为周期的数列，a1a2a3=a1+a2+a3，a3=3S2012=670（1+2+3）+1+2=4023故答案为：4023点评：本题考查数列的递推式和数列的求和问题，解题的关键是找出数列的周期性14（5分）已知ABC中，AB边上的中线CM=2，若动点P满足，则的最小值是2考点：平面向量数量积的运算专题：平面向量及应用分析：由向量式变形可推得点P在CM上，而而=，故=2，又夹角为，由数量积的定义结合基本不等式可得答案解答：解：由题意可得：，又sin2+cos2=1所以P、M、C三点共线，即点P在CM上，而=，故=2=2cos=2，由基本不等式可得：=1，故22故答案为：2点评：本题考查向量的数量积的运算和基本不等式的应用，由题意得出P、M、C三点共线是解决问题的关键，属中档题15（5分）若函数f（x）=x3ax（a0）的零点都在区间10，10上，则使得方程f（x）=1000有正整数解的实数a的取值的个数为3考点：函数的零点专题：函数的性质及应用分析：由题意根据函数f（x）=x3ax（a0）的零点都在区间10，10上可得a的范围，然后对f（x）进行求导，求出函数在区间10，10上的最大值，然后再进行判断解答：解：函数f（x）=x3ax（a0）的零点都在区间10，10上，又f（x）=x3ax=x（x2a）=0，令f（x）=0，x=0，或x=函数f（x）=x3ax（a0）的零点都在区间10，10上，10，a100f（x）=3x2a，令f（x）=0，解得 x=当x，或 x时，f（x）0，函数f（x）是增函数当x时，f（x）0，函数f（x）是减函数故当x=时，函数取得极大值为f（）=1000，f（10）=100010a1000，结合函数的单调性以及f（x）=x3ax（a0），知方程f（x）=1000有正整数解在区间10，+）上，此时令x3ax=1000，可得 x2a=此时有a=x2，由于x为大于10的整数，由上知 x2100，令x=11，12，13时，不等式成立，当x=14时，有142=19671100，故可得a的值有三个，故答案为 3点评：此题考查函数的零点与方程根的关系，解题的关键是求出f（x）在区间10，10上的值域，是一道好题，属于基础题16（5分）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）=a（b+sinx），g（x）=b+cosx，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=4考点：两角和与差的正弦函数专题：计算题；压轴题分析：利用f（m）=g（m），推出sin（m）=b（1a），利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，结合a，b均为大于1的自然数，讨论a，b的范围，求出a，b的值即可解答：解：由f（m）=g（m），即a（b+sinm）=b+cosmasinmcosm=babsin（m）=b（1a）注：sin=1sin（m）1b（1a）a，b均为大于1的自然数1a0 b（1a）0，b（1a），b（a1）b=a4时 ，b2a4当a=2时 b，b=2当a=3时 b 无解综上：a=2，b=2a+b=4故答案为：4点评：本题考查三角函数的有界性，基本不等式的应用，考查计算能力，转化思想二、解答题：本大题共8小题，共计90分请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤17（14分）（2010苏州一模）已知数列an满足：a1=1，a2=a（a0）数列bn满足bn=anan+1（nN*）（1）若an是等差数列，且b3=12，求a的值及an的通项公式；（2）若an是等比数列，求bn的前项和Sn考点：等比关系的确定；等差关系的确定专题：计算题分析：（1）先根据an是等差数列表示出通项公式，再根据b3=12求得a3a4的值从而可确定a的值，求得an的通项公式（2）先根据an是等比数列表示出通项公式，进而可表示出bn的表达式，根据=a2可确定数列bn是首项为a，公比为a2的等比数列，再对公比a等于1和不等于1进行讨论，即可得到最后答案解答：解：（1）an是等差数列，a1=1，a2=a（a0），an=1+（n1）（a1）又b3=12，a3a4=12，即（2a1）（3a2）=12，解得a=2或a=，a0，a=2从而an=n（2）an是等比数列，a1=1，a2=a（a0），an=an1，则bn=anan+1=a2n1=a2数列bn是首项为a，公比为a2的等比数列，当a=1时，Sn=n；当a1时，Sn=点评：本题主要考查数列的通项公式的求法和数列求和高考对数列的考查无外乎通项公式的求法和前n项和的求法，对经常用到的常用方法要熟练掌握18（14分）在锐角ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足（2ac）cosB=bcosC（1）求角B的大小；（2）设，试求的取值范围考点：正弦函数的定义域和值域；二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的运算；两角和与差的正弦函数专题：计算题分析：（1）因为（2ac）cosB=bcosC，所以（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，由sinA0，所以cosB=由此能求出B的大小（2）因为，所以=3sinA+cos2A=2（sinA）2+，由，得30A90，从而，由此能求出的取值范围解答：解：（1）因为（2ac）cosB=bcosC，所以（2sinAsinC）cosB=sinBcosC，（3分）即2sinAcosB=sinCcosB+sinBcosC=sin（C+B）=sinA而sinA0，所以cosB=（6分）故B=60（7分）（2）因为，所以=3sinA+cos2A（8分）=3sinA+12sin2A=2（sinA）2+（10分）由得，所以30A90，从而（12分）故的取值范围是（14分）点评：本题考查正弦函数的性质和应用，是基础题解题时要认真审题，仔细解答，注意三角函数恒等式的合理运用19（14分）在边长为a的正三角形铁皮的三个角切去三个全等的四边形，再把它的边沿虚线折起（如图），做成一个无盖的正三角形底铁皮箱，当箱底边长为多少时，箱子容积最大？最大容积是多少？考点：棱柱、棱锥、棱台的体积分析：设箱底边长为x，根据已知中箱子的制作方法，我们可求出容积V（x）的解析式，求出其导函数，分析其单调性，可得到函数的最值点，代入可得答案解答：解：设箱底边长为x，则箱高为h=（0xa），（2分）箱子的容积为V（x）=（0xa）， （6分）由V（x）=0解得x=0（舍），x=，（8分）且当x（0，）时，V（x）0；当x（，a）时，V（x）0，所以函数V（x）在x=处取得极大值，（10分）这个极大值就是函数V（x）的最大值：V（）=（12分）答：当箱子底边长为时，箱子容积最大，最大值为 （14分）点评：本题考查的知识点是棱柱的体积，导数法求最值，其中根据已知求出容积V（x）的解析式，是解答的关键20（16分）（理）设函数f（x）=x2+|2xa|（xR，a为常数）（1）当a=2时，讨论函数f（x）的单调性；（2）若a2，且函数f（x）的最小值为2，求a的值；（3）若a2，不等式f（x）ab2恒成立，求实数b的取值范围考点：函数最值的应用；函数单调性的判断与证明专题：综合题；函数的性质及应用分析：（1）利用绝对值的几何意义，将函数写出分段函数，即可得到函数f（x）的单调区间；（2）根据a2，分类讨论，确定函数的最小值，利用函数f（x）的最小值为2，可求a的值；（3）利用（2）的结论，问题等价于a1ab2（a2）恒成立，构造以a为参数的函数，即可求得结论解答：解：（1）a=2时，（2分）函数y=f（x）的单调增区间为1，+），减区间为（，1 （6分）（2），（8分）a2，当a2时，函数y=f（x）的最小值为f（1）=a1=2，解得a=3符合题意； （10分）当2a2时，函数y=f（x）的最小值为，无解；综上，a=3 （12分）（3）由（2）知，当a2时函数y=f（x）的最小值为f（1）=a1，所以a1ab2（a2）恒成立，令g（a）=a（b21）+1（a2），（14分）有：，故 （16分）点评：本题考查分段函数，考查函数的单调性与最值，考查恒成立问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题21已知二次函数f（x）=ax2bx+1（1）若f（x）0的解集是（，），求实数a，b的值；（2）若a为正整数，b=a+2，且函数f（x）在0，1上的最小值为1，求a的值考点：一元二次不等式的解法；二次函数在闭区间上的最值专题：计算题分析：（1）由一元二次不等式的解集与一元二次方程的根的关系可以得出，ax2bx+1=0的解是x1=，x2=，由根系关系即可求得实数a，b的值；（1）将已知中函数f（x）化为顶点式的形式，再结合函数f（x）的最小值为1，易得一个关于a的方程，解方程即可求出答案解答：解：（1）不等式ax2bx+10的解集是（，），故方程ax2bx+1=0的两根是x1=，x2=，所以=x1x2=，=x1+x2=，所以a=12，b=7（2）b=a+2，f（x）=ax2（a+2）x+1=a（x）2+1，对称轴x=+，当a2时，x=+（，1，f（x）min=f（）=1=1，a=2；当a=1时，x=+=，f（x）min=f（1）=1成立综上可得：a=1或a=2点评：本题考查的知识点是二次函数的性质，二次函数在闭区间上的最值，其中熟练掌握二次函数的性质是解答本题的关键22（16分）各项为正数的数列an 的前n项和为Sn，且满足：Sn=2+（nN*）（1）求an；（2）设函数f（n）=，cn=f（2n+4（nN*），求数列cn 的前n项和Tn；（3）设为实数，对满足m+n=3k且mn的任意正整数m、n、k，不等式Sm+SnSk恒成立，求实数的最大值考点：数列与不等式的综合；分段函数的解析式求法及其图象的作法；数列的函数特性专题：计算题；压轴题分析：（1）由已知可得Sn=2+（nN*）从而导出，（an+an1）（anan12）=0，而an为正数，所以anan1=2（n2），由此推出an的通项公式（2）先求出cn的通项公式，然后利用等比数列求和公式求解即可，注意讨论n；（3）根据不等式Sm+SnSk恒成立，将参数分离出来，研究不等式另一侧的最值，又m+n=3k且mn，利用基本不等式即可求出最值，从而求出实数的最大值解答：解：（1）由Sn=2+（nN*）得n2时，Sn1=2+（nN*）化简可得，（an+an1）（anan12）=0又an0，所以当n2时，anan1=2数列an 成等差数列，公差为2又则a1=1an=2n1（2）由f（n）=，可得c1=f（6）=f（3）=a3=5c2=f（8）=f（4）=f（2）=f（1）=a1=1当n3时cn=f（2n+4）=f（2n1+2）=f（2n2+1）=2（2n1+1）1=2n1+1故当n3时Tn=2n+n （3）Sm+SnSkm2d2+n2d2ck2d2m2+n2k2，恒成立又m+n=3k且mn，故，即的最大值为 点评：本题考查数列的性质和应用，以及最值的研究，解题时要认真审题，注意计算能力的培养，属于中档题23（16分）（理）已知函数f（x）=x2+aln（x+1）（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围；（2）证明：a=1时，对于任意的x1，x21，+），且x1x2，都有；（3）是否存在最小的正整数N，使得当nN时，不等式恒成立考点：函数在某点取得极值的条件；利用导数研究函数的单调性专题：导数的综合应用分析：（1）若函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，即函数f（x）在定义域内有两个不等的实根，根据二次方程根的个数与的关系可构造关于a的不等式组，解出实数a的取值范围；（2）将a=1代入可得函数f（x）解析式，构造函数，分析函数g（x）在1，+）上的单调性，进而根据单调性的定义可得结论；（3）构造函数h（x）=x3x2+ln（x+1），利用导法分析函数的单调性，进而得到使不等式恒成立的最小的正整数N解答：解：（1）函数f（x）在定义域内既有极大值又有极小值，在（1，+）有两个不等实根，即2x2+2x+a=0在（1，+）有两个不等实根，（2分）设F（x）=2x2+2x+a，则，解之得； （4分）证明：（2）a=1时，f（x）=x2+ln（x+1），令，（6分）则，当x1时，g（x）0，所以函数g（x）在1，+）上是增函数 （8分）由已知，不妨设1x1x2+，则g（x1）g（x2），所以，即； （10分）（3）令函数h（x）=x3x2+ln（x+1），（12分）则，当x0，+）时，h（x）0，函数h（x）在0，+）上单调递增 （14分）又h（0）=0，所以当x（0，+）时，恒有h（x）h（0）=0，即ln（x+1）x2x3恒成立取，则有恒成立，故存在最小的正整数N=1，使得当nN时，不等式恒成立（16分）