数学-2014--32.doc

1已知数列an是等差数列，bn是等比数列，且满足a1a2a39，b1b2b327. （1）若a4b3，b4b3m. 当m18时，求数列an和bn的通项公式； 若数列bn是唯一的，求m的值； （2）若a1b1，a2b2，a3b3均为正整数，且成等比数列，求数列an的公差d的最 大值.解析：（1）由数列an是等差数列及a1a2a39，得a23，由数列bn是等比数列及b1b2b327，得b23 设数列an的公差为d，数列bn的公比为q，若m18，则有解得或 所以，an和bn的通项公式为或 由题设b4b3m，得3q23qm，即3q23qm0（*）因为数列bn是唯一的，所以若q=0，则m=0，检验知，当m=0时，q=1或0（舍去），满足题意；若q0，则(3)212 m0，解得m，代入（*）式，解得q，又b23，所以bn是唯一的等比数列，符合题意 所以，m=0或 （2）依题意，36(a1b1) (a3b3)， 设bn公比为q，则有36(3d)(3d3q)， （*） 记m3d，n3d3q，则mn=36将（*）中的q消去，整理得： d2(mn)d3(mn)360 d的大根为 而m，nN*，所以 (m，n)的可能取值为： (1，36)，(2，18)，(3，12)，(4，9)，(6，6)，(9，4)，(12，3)，(18，2)，(36，1) 所以，当m1，n36时，d的最大值为 2已知二次函数g（x）对任意实数x都满足，且令（1）求 g(x)的表达式；（2）若函数在上的最小值为0，求的值；（3）记函数，若函数有5个不同的零点，求实数的取值范围解：（1）设，于是所以 又，则所以 4分 （2）则令，得（舍）， 当1时，1-0+当时, 令，得7分当时，0在上恒成立，在上为增函数，当 时, 令，得（舍） 综上所述，所求为9分（3）记，则据题意有有3个不同的实根， 有2个不同的实根，且这5个实根两两不相等（）有2个不同的实根，只需满足；（）有3个不同的实根，因，令，得或，当即时，在处取得极大值，而，不符合题意，舍；当即时，不符合题意，舍；当即时，在处取得极大值，；所以；因为（）（）要同时满足，故12分下证：这5个实根两两不相等，即证：不存在使得和同时成立；若存在使得，由，即，得，当时，不符合，舍去；当时，既有 ；又由，即 ；联立式，可得；而当时，没有5个不同的零点，故舍去，所以这5个实根两两不相等综上，当时，函数有5个不同的零点16分3.已知函数，.（1）若函数有三个极值点，求的取值范围；（2）若依次在处取到极值，且，求的零点；（3）若存在实数，使对任意的，不等式恒成立，试求正整数的最大值.解（1）有3个极值点，有3个不同的根， 令，则，从而函数在，上递增，在上递减.有3个零点，. （2）是的三个极值点-6分，或（舍）， 所以，的零点分别为，1，. （3）不等式，等价于，即.转化为存在实数，使对任意的，不等式恒成立.即不等式在上恒成立.即不等式在上恒成立. 设，则. 设，则.因为，有. 所以在区间上是减函数.又，故存在，