辽宁高二数学空间向量与立体几何全章课件3.2.3空间角的计算.ppt

3 2 3空间的角的计算 空间向量的引入为代数方法处理立体几何问题提供了一种重要的工具和方法 解题时 可用定量的计算代替定性的分析 从而避免了一些繁琐的推理论证 求空间角与距离是立体几何的一类重要的问题 也是高考的热点之一 我们主要研究怎么样用向量的办法解决空间角的问题 空间的角 空间的角常见的有 线线角 线面角 面面角 空间两条异面直线所成的角可转化为两条相交直线所成的锐角或直角 故我们研究线线角时 就主要求范围内的角 斜线与平面所成的角是指斜线与它在面内的射影所成锐角 再结合与面垂直 平行或在面内这些特殊情况 线面角的范围也是 两个平面所成的角是用二面角的平面角来度量 它的范围是 总之 空间的角最终都可以转化为两相交直线所成的角 因此我们可以考虑通过两个向量的夹角去求这些空间角 异面直线所成角的范围 思考 结论 一 线线角 所以与所成角的余弦值为 解 以点c为坐标原点建立空间直角坐标系 如图所示 设则 所以 例一 练习 在长方体中 简解 斜线与平面所成的角 平面的一条斜线 和它在这个平面内的射影 所成的锐角 二 线面角 当直线与平面垂直时 直线与平面所成的角是90 当直线在平面内或与平面平行时 直线与平面所成的角是0 斜线与平面所成的角 0 90 直线与平面所成的角 0 90 异面直线所成的角 0 90 若斜线段ab的长度是它在平面 内的射影长的2倍 则ab与 所成的角为 60 最小角原理 c 斜线与平面所成的角 是这条斜线和这个平面内的直线所成的一切角中最小的角 c 如图 直线oa与平面 所成的角为 1 平面内一条直线oc与oa的射影ob所成的角为 2 设 aoc为 求证 cos cos 1 cos 2 若直线l1与平面所成的角为60 则这条直线与平面内的直线所成的一切角中最小的角为 最大的角为 90 60 o l1 若直线l1与平面所成的角为30 直线l2与l1所成的角为60 求直线l2与平面所成的角的范围 l1 例题 如图 在正方体abcd a1b1c1d1中 求a1b与平面a1b1cd所成的角 o s a c b o f e 如图 acb 90 s为平面abc外一点 sca scb 60 求sc与平面acb所成的角 s a c b o f e 如图 sa sb sc是三条射线 bsc 60 sa上一点p到平面bsc的距离是3 p到sb sc的距离是5 求sa与平面bsc所成的角 p 例 x y z 直线与平面所成角的范围 思考 结论 二 线面角 例1 x y z 设正方体棱长为1 例2如图 在四棱锥s abcd中 底面abcd为平行四边形 侧面sbc底面abcd 已知ab 2 bc 2 sa sb 1 求证 2 求直线sd与平面sab所成角的正弦值 s a b c d c 证明 1 取bc中点o 连接oa os 2 求直线sd与平面sab所成角的正弦值 所以直线sd与平面sab所成角的正弦值为 例3 如图所示 在四棱锥p abcd中 底面abcd是正方形 侧棱pd底面abcd pd dc e是pc的中点 1 证明 pa 平面edb 2 求eb与底面abcd所成的角的正切值 a b c d p e 1 证明 设正方形边长为1 则pd dc da 1 连ac bd交于g点 2 求eb与底面abcd所成的角的正切值 所以eb与底面abcd所成的角的正弦值为 所以eb与底面abcd所成的角的正切值为 二面角 一个平面内的一条直线把这个平面分成两个部分 其中的每一部分都叫做半平面 一条直线上的一个点把这条直线分成两个部分 其中的每一部分都叫做射线 2 o b a a b 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角 这条直线叫做二面角的棱 这两个半平面叫做二面角的面 3 定义 二面角 ab 二面角 l 二面角c ab d 5 aob 表示方法 a b a1 b1 aob a1o1b1 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 平面角是直角的二面角叫做直二面角 9 二面角的大小用它的平面角来度量 度量 二面角的平面角必须满足 以二面角的棱上任意一点为端点 在两个面内分别作垂直于棱的两条射线 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 10 二面角的计算 1 找到或作出二面角的平面角 2 证明1中的角就是所求的角 3 计算出此角的大小 一 作 二 证 三 计算 16 如图 正方体abcd a1b1c1d1中 二面角c1 bd c的正切值是 练习 在二面角 l 的一个平面 内有一条直线ab 它与棱l所成的角为45 与平面 所成的角为30 则这个二面角的大小是 练习 3 在二面角 a 内 过a作一个半平面 使二面角 a 45 二面角 a 30 则 内的任意一点p到平面 与平面 的距离之比为 练习 2 垂线法 1 垂面法 3 射影法 垂面法 定义法 定义法 根据定义 找到二面角的棱垂面即可得平面角 解三角形求其大小 在正方体ac1中 求二面角d1 ac d的大小 abc中 ab bc sa 平面abc de垂直平分sc 又sa ab sb bc 求二面角e bd c的大小 垂线法 三垂线定理或逆定理 垂连求角 三垂线法 首先找其中一个半平面的垂线 找不到垂线找垂面 指其中一个半平面的垂面 找到垂面作垂线 构造三垂线定理或逆定理条件得平面角 三棱锥p abc中 pa 平面abc pa 3 ac 4 pb pc bc 1 求二面角a pc b的大小 cos 四棱锥p abcd的底面是边长为4的正方形 pd 面abcd pd 6 m n是pb ab的中点 求二面角m dn c的平面角的正切值 如图 三棱锥p abc中 面pbc 面abc pbc是边长为a的正三角形 acb 90 bac 30 bm mc a b c d 射影法 是不找平面角求二面角的一种方法 a b c a m 已知 如图 abc的顶点a在平面m上的射影为点a abc的面积是s a bc的面积是s 设二面角a bc a 为 求证 cos s s 在正方体ac1中 e f分别是中点 求截面a1ecf和底面abcd所成的锐二面角的大小 e f 在正方体ac1中 e f分别是中点 求截面a1ecf和底面abcd所成的锐二面角的大小 e f 过正方形abcd的顶点a引sa 底面abcd 并使平面sbc scd都与底面abcd成45度角 1 求二面角b sc d的大小 2 求面scd与面sab所成的二面角 一题多解 射影面积法 法向量法 三 面面角 二面角的范围 法向量法 注意法向量的方向 一进一出 二面角等于法向量夹角 同进同出 二面角等于法向量夹角的补角 设平面 将二面角转化为二面角的两个面的方向向量 在二面角的面内且垂直于二面角的棱 的夹角 如图 设二面角的大小为 其中 d c b a 三 面面角 方向向量法 二面角的范围 例 已知在一个二面角的棱上有两个点a b 线段ac bd分别在这个二面角的两个面内 并且都垂直于棱ab ab 4cm ac 6cm bd 8cm cd cm 求二面角的度数 例 正三棱柱中 d是ac的中点 当时 求二面角的余弦值 故 则可设 1 则b 0 1 0 作于e 于f 则 即为二面角的大小 在中 由于且 所以 在中 同理可求 即二面角的余弦值为 解法二 法向量 同法一 以c为原点建立空间直角坐标系c xyz 在坐标平面yoz中 设面的一个法向量为 同法一 可求b 0 1 0 由得 解得 所以 可取 二面角的大小等于 即二