高中数学 初高中衔接教程 第四讲 三角形的“五心”练习 新人教版 (2).doc_第1页
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第四讲三角形的“五心”一、知识归纳1、重心：三角形的三条中线交点，它到顶点的距离等于它到对边中点的距离的2倍，重心和三顶点的连线将abc的面积三等分，重心一定在三角形内部。2、外心：是三角形三边中垂线的交点，它到各顶点的距离相等，锐角三角形的外心在三角形内，直角三角形的外心是斜边的中点，钝角三角形的外心在三角形外。3、内心：是三角形的三内角平分线的交点，它到三边的距离相等，内心一定在三角形内。4、垂心：是三角形三条高的交点，垂心和三角形的三个顶点，三条高的垂足组成六组四点共圆，锐角三角形的垂心在三角形内，直角三角形的垂心为直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形外。5、旁心：是三角形任意两角的外角平分线和第三个角的内角平分线的交点，它到三角形的三边距离相等，一定位于三角形外部。二、例题解析例1：在锐角abc中，内角为a、b、c三边为a、b、c，则内心到三边的距离之比为，重心到三边的距离为，外心到三边的距离之比为，垂心到三边的距离之比为。afbdceh例2：如图，锐角abc的垂心为h，三条高的垂足分别为d、e、f，则h是def的；a、垂心b、重心c、内心d、外心例3：如图，d是abc的边bc上任一点，点e、abcegfmdnf分别是abd和acd的重心连结ef交ad于g点，则dg：ga；例4：设abc的重心为g，ga，则；例5：若h为abc的重心，ahbc，则bac的度数是；a、45b、30c、30或150d、45或135aebcdog例6：已知平行四边形abcd中，e是ab的中点，ab10，ac9，de12，求平行四边形abcd的面积。三、课堂练习1、已知三角形的三边长分别为5，12，13，则其垂心到外心的距离为，重心到垂心的距离为；2、已知三角形的三边长为5，12，13，则其内切圆的半径；3、在abc中，a是钝角，o是垂心，aobc，则cos（obc+ocb）= ; 4、设g为abc的重心，且ag6，bg8，cg10，则abc的面积为；5、若，那么以、为三边的abc的内切圆，外接圆的半径之和为；a、b、c、d、6、abc的重心为g，m在abc的平面内，求证：第四讲三角形的“五心”例题解析答案例1：解：答案依次为：1：1：1；例2：解：内心例3：解： 例4：解：例5：解：d例6：分析：设ac交de于g，可推出g为abd的重心，ega90，故可求出及sabcd。解：设ac、bd交于g，连bd交ac于o（如图）由abcd知bodo，oaoc而beae故g为abd的
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