2017_18学年高中数学第三章概率3.3.1几何概型学案含解析.docx

3.3.1几何概型提出问题每逢节假日，各大型商场竞相出招，吸引顾客，其中某商场设立了一个可以自由转动的转盘，规定顾客消费100元以上，就能获得一次转动转盘的机会如果转盘停止后，指针正好对准，或区域，顾客就可以分别获得100元、50元、20元的购物券(转盘被等分成20个扇形)，一位顾客消费了120元问题1：这位顾客获得100元购物券的概率与什么因素有关？提示：与标注的小扇形个数多少(面积大小)有关问题2：在该实例试验中，试验结果有多少个？其发生的概率相等吗？提示：试验结果有无穷多个，但每个试验结果发生的概率相等问题3：如何计算该顾客获得100元购物券的概率？提示：用标注的扇形面积除以圆的面积导入新知1几何概型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型2几何概型的特点(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个(2)每个基本事件出现的可能性相等3几何概型概率公式在几何概型中，事件A的概率的计算公式为：P(A).化解疑难理解几何概型应关注三点(1)几何概型中，每个基本事件在一个区域内均匀分布，所以随机事件概率的大小与随机事件所在区域的形状、位置无关，只与区域的大小有关；(2)如果随机事件所在区域是一个单点，由于单点的长度、面积、体积均为0，则它出现的概率为0，但不是不可能事件；(3)如果一个随机事件所在的区域是全部区域扣除一个单点，则它出现的概率为1，但不是必然事件与长度有关的几何概型例1(1)在区间1,2上随机取一个数x，则|x|1的概率为_(2)某汽车站每隔15 min有一辆汽车到达，乘客到达车站的时刻是任意的，求一位乘客到达车站后等车时间超过10 min的概率解析(1)区间1,2的长度为3，由|x|1得x1,1，而区间1,1的长度为2，x取每个值为随机的，在1,2上取一个数x，|x|1的概率P.(2)设上一辆车于时刻T1到达，而下一辆车于时刻T2到达，则线段T1T2的长度为15，设T是线段T1T2上的点，且T1T5，T2T10，如图所示记“等车时间超过10 min”为事件A，则当乘客到达车站的时刻t落在线段T1T上(不含端点)时，事件A发生P(A)，即该乘客等车时间超过10 min的概率是.答案(1)类题通法1几何概型概率问题的一般步骤(1)选择适当的观察角度(一定要注意观察角度的等可能性)；(2)把基本事件转化为与之对应的区域D；(3)把所求随机事件A转化为与之对应的区域I；(4)利用概率公式计算2与长度有关的几何概型问题的计算公式如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示，则其概率的计算公式为：P(A).活学活用1(重庆高考)在区间0,5上随机地选择一个数p，则方程x22px3p20有两个负根的概率为_解析：设方程x22px3p20的两个负根分别为x1，x2，解得p1或p2.故所求概率P.答案：2一个路口的红灯亮的时间为30秒，黄灯亮的时间为5秒，绿灯亮的时间为40秒当你到达路口时，看见下列三种情况的概率各是多少？(1)红灯亮；(2)黄灯亮；(3)不是红灯亮解：在75秒内，每一时刻到达路口亮灯的时间是等可能的，属于几何概型(1)P.(2)P.(3)P，或P1P(红灯亮)1.与面积有关的几何概型例2(1)有四个游戏盘，如果撒一粒黄豆落在阴影部分，则可中奖，小明希望中奖，他应当选择的游戏盘为()(2)四边形ABCD为长方形，AB2，BC1，O为AB的中点，在长方形ABCD内随机取一点，取到的点到O的距离大于1的概率为()A.B1C. D1解析(1)根据几何概型的面积比，选项A中的游戏盘中奖概率为，选项B中游戏盘的中奖概率为，选项C中游戏盘的中奖概率为，选项D中游戏盘的中奖概率为，故A游戏盘的中奖概率最大(2)如图所示，长方形面积为2，以O为圆心，1为半径作圆，在矩形内部的部分(半圆)面积为，因此取到的点到O的距离小于1的概率为2，取到的点到O的距离大于1的概率为1.答案(1)A(2)B类题通法1与面积有关的几何概型的概率公式如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用面积表示，则其概率的计算公式为：P(A).2解与面积相关的几何概型问题的三个关键点(1)根据题意确认是否是与面积有关的几何概型问题；(2)找出或构造出随机事件对应的几何图形，利用图形的几何特征计算相关面积；(3)套用公式，从而求得随机事件的概率活学活用1(福建高考改编)如图，矩形ABCD中，点A在x轴上，点B的坐标为(1,0)，且点C与点D在函数f(x)的图象上. 若在矩形ABCD内随机取一点，则此点取自阴影部分的概率等于_解析：因为f(x)B点坐标为(1,0)，所以C点坐标为(1,2)，D点坐标为(2,2)，A点坐标为(2,0)，故矩形ABCD的面积为236，阴影部分的面积为31，故P.答案：2在平面直角坐标系xOy中，设M是横坐标与纵坐标的绝对值均不大于2的点构成的区域，E是到原点的距离不大于1的点构成的区域，向M中随机投一点，则所投的点落入E中的概率是_解析：如图，区域M表示边长为4的正方形ABCD的内部(含边界)，区域E表示单位圆及其内部，因此P.答案：与角度有关的几何概率例3在等腰直角三角形ABC中，过直角顶点C在ACB内部任意作一条射线CM，与线段AB交于点M.求AMAC的概率解如图，在AB上取ACAC，连接CC，则ACC67.5.设D，则所有可能结果的区域角度为90，事件D的区域角度为67.5，P(D).类题通法与角度有关的几何概型概率的求法(1)如果试验的所有结果构成的区域的几何度量可用角度表示，则其概率的计算公式为P(A).(2)解决此类问题的关键是事件A在区域角度内是均匀的，进而判定事件的发生是等可能的活学活用在平面直角坐标系中，射线OT为60角的终边，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在xOT内的概率是()A.BC. D解析：选A如图，在任意角集合中任取一个角，则该角终边落在xOT内对应的角度为60度，而整个角集合对应的角度为圆周角，该角终边落在xOT内的概率P.与体积有关的几何概型例4(1)在一球内有一棱长为1的内接正方体，一点在球内运动，则此点落在正方体内部的概率为()A. BC. D(2)已知正方体ABCDA1B1C1D1内有一个内切球O，则在正方体ABCDA1B1C1D1内任取点M，点M在球O内的概率是_解析(1)由题意可得正方体的体积为V11.又球的直径是正方体的对角线，故球的半径R.球的体积V2R3.这是一个几何概型，则此点落在正方体内的概率为P.(2)设正方体的棱长为2.正方体ABCDA1B1C1D1的内切球O的半径是其棱长的一半，其体积为V113.则点M在球O内的概率是.答案(1)D(2)类题通法与体积有关的几何概型概率的求法如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用体积表示，则其概率的计算公式为P(A).活学活用有一个底面圆的半径为1、高为2的圆柱，点O为这个圆柱底面圆的圆心，在这个圆柱内随机取一点P，求点P到点O的距离大于1的概率解：圆柱的体积V圆柱1222是试验的全部结果构成的区域体积以O为球心，1为半径且在圆柱内部的半球的体积V半球13，则构成事件A“点P到点O的距离大于1”的区域体积为2，由几何概型的概率公式得P(A).典例设关于x的一元二次方程x22axb20，若a是从区间0,3上任取的一个数，b是从区间0,2上任取的一个数，求上述方程有实根的概率解题指导设事件A为“方程x22axb20”有实根则4a24b20，即a2b2.又a0，b0.ab.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3，0b2，而构成事件A的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，即如图所示的阴影部分所以P(A).多维探究几何概型与其他知识的交汇问题，以其新颖性、综合性而渐成为命题者的一个重要着眼点，本题是以方程的根为依托考查了与面积有关的几何概型的求法，另外，几何概型还常与集合、解析几何等问题相交汇命题，出现在试卷中角度一几何概型与集合的交汇问题已知集合M，N，若向区域M随机投一点，则点P落入区域N的概率为()A.BC. D解析：选D根据题设中集合的意义，在平面直角坐标系中分别画出区域M和N，可分别计算区域M和N的面积，进而求解将集合M和N所表示的区域在直角坐标系中画出，如图，则区域M的面积S8832，区域N的面积S626，所以点P落入区域N的概率为P.角度二几何概型与解析几何的交汇问题已知圆C：x2y212，直线l：4x3y25.(1)求圆C的圆心到直线l的距离；(2)求圆C上任意一点A到直线l的距离小于2的概率解：(1)由点到直线l的距离公式可得d5.(2)由(1)可知圆心到直线l的距离为5，要使圆上点到直线的距离小于2，设与圆相交且与直线l平行的直线为l1，其方程为4x3y15.则符合题意的点应在l1：4x3y15与圆相交所得劣弧上，由半径为2，圆心到直线l1的距离为3可知劣弧所对圆心角为.故所求概率为P.随堂即时演练1下列概率模型中，几何概型的个数为()从区间10,10内任取出一个数，求取到1的概率；从区间10,10内任取出一个数，求取到绝对值不大于1的数的概率；从区间10,10内任取出一个整数，求取到大于1而小于2的数的概率；向一个边长为4 cm的正方形ABCD内投一点P，求点P离中心不超过1 cm的概率A1 B2C3 D4解析：选B不是几何概型，虽然区间10,10有无限多个点，但取到“1”只是一个数字，不能构成区域长度；是几何概型，因为区间10,10和1,1上有无限多个数可取(满足无限性)，且在这两个区间内每个数被取到的机会是相等的(满足等可能性)；不是几何概型，因为区间10,10上的整数只有21个(是有限的)，不满足无限性特征；是几何概型，因为在边长为4 cm的正方形和半径为1 cm的圆内均有无数多个点，且这两个区域内的任何一个点都有相等可能被投到，故满足无限性和等可能性2.如图所示，在一个边长为a，b(ab0)的矩形内画一个梯形，梯形上、下底长分别为与，高为b.向该矩形内随机地投一点，则所投的点落在梯形内部的概率为()A. BC. D解析：选CS矩形ab，S梯形bab.故所投的点在梯形内部的概率为P.3方程x2xn0(n(0,1)有实根的概率为_解析：由于方程x2xn0(n(0,1)有实根，0，即14n0，n，又n(0,1)，有实根的概率为P.答案：4在400毫升自来水中有一个大肠杆菌，今从中随机取出2毫升水样放到显微镜下观察，则发现大肠杆菌的概率为_解析：大肠杆菌在400毫升自来水中的位置是任意的，且结果有无限个，属于几何概型设取出2毫升水样中有大肠杆菌为事件A，则事件A构成的区域体积是2毫升，全部试验结果构成的区域体积是400毫升，则P(A)0.005.答案：0.0055已知一只蚂蚁在边长为4的正三角形内爬行，求此蚂蚁到三角形三个顶点的距离均超过1的概率解：设正三角形ABC的边长为4，其面积为4.分别以A，B，C为圆心，1为半径在ABC中作扇形，除去三个扇形剩下的部分即表示蚂蚁距三角形三个顶点的距离均超过1的区域，其面积为43124，故所求概率P1.课时达标检测一、选择题1在长为12 cm的线段AB上任取一点M，并以线段AM为边长作正方形，这个正方形的面积介于36 cm2与81 cm2之间的概率为()A. BC. D答案：D2(全国甲卷)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为()A. B. C. D.解析：选B如图，若该行人在时间段AB的某一时刻来到该路口，则该行人至少等待15秒才出现绿灯AB长度为401525，由几何概型的概率公式知，至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为，故选B.3已知函数f(x)x2x2，x5,5，那么满足f(x0)0，x05,5的x0取值的概率为()A. BC. D答案：A4一只小蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，即称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()A. BC. D答案：B5如图，A是圆O上固定的一点，在圆上其他位置任取一点A，连接AA，它的长度小于或等于半径的概率为()A. BC. D答案：C二、填空题6设D是半径为R的圆周上的一定点，在圆周上随机取一点C，连接CD得一弦，若A表示“所得弦的长大于圆内接等边三角形的边长”，则P(A)_.解析：如图所示，DPQ为圆内接正三角形，当C点位于劣弧上时，弦DCPD，P(A).答案：7在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1内任取一点P，则点P到点A的距离小于等于a的概率为_解析：点P到点A的距离小于等于a可以看作是随机的，点P到点A的距离小于等于a可视作构成事件的区域，棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1可视作试验的所有结果构成的区域，可用“体积比”公式计算概率：P.答案：8已知正方形ABCD的边长为2，H是边DA的中点在正方形ABCD内部随机取一点P，则满足|PH|的概率为_解析：如图，设E，F分别为边AB，CD的中点，则满足|PH|的点P在AEH，扇形HEF及DFH内，由几何概型的概率计算公式知，所求概率为.答案：三、解答题9已知点M(