导数综合练习答案.doc

导数综合练习1【改编】（本小题满分14分）已知函数已知函数（，）（1）当时，求函数在区间上的最值；（2）若在区间上单调递增，试求的取值范围【答案】（1）极大值为1，极小值为；（2）【解析】试题分析：（1）当时， 1分令得：， 2分当变化时，的变化情况如下表+单调递增极大值单调递减极小值单调递增函数在区间上的极大值是，极小值是 5分，函数在区间上的最大值是，最小值是 6分（2）若在区间上是单调递增函数，则在区间内恒大于或等于零 7分若，这不可能 8分若，则符合条件 10分若，则由二次函数的性质知，即，这也不可能 13分所以的取值范围是 14分考点：1、利用导数研究函数的最值；2、利用导数研究函数的单调性；3、二次函数的性质；4、不等式恒成立2【原创】（本小题满分14分）设函数（）设，当时，求的极值；（）若在上单调递增，求的取值范围；（）当时，求的单调区间【答案】（），没有极大值；（）；（）当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为【解析】试题分析：（）求可导函数的极值求函数解析式的步骤一、求导数；二、求方程的根；三、检查与方程的根左右值的符号，如果左正右负，那么在这个根处取得极大值，如果左负右正，那么在这个根处取得极小值， （）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到 （3）函数的单调性与导数之间的关系且不恒为0时单调递增，且不恒为0时单调递减，如果有字母系数，要注意分类讨论试题解析：（）函数的定义域为 1分当时， 2分由得 随变化如下表：0+减函数极小值增函数故，没有极大值 4分（）由题意，在上单调递增，在上恒成立，设在上恒成立， 5分当时，恒成立，符合题意 6分当时，在上单调递增，的最小值为，得，所以， 8分当时，在上单调递减，不合题意，所以 （也可以用分离变量的方法）10分（）由题意，令得，10分若，由得；由得 11分若，当时，或时，；时，；当时，；当时，或，;， 13分综上，当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为；当时，函数的单调递减区间为单调递增区间为 14分考点：函数的极值，单调性与导数及分类讨论思想3（本小题满分16分）设，函数（1）若为奇函数，求的值；（2）若对任意的，恒成立，求的取值范围；（3）当时，求函数零点的个数【答案】（1）0；（2）或；（3）详见解析；【解析】试题分析：（1）奇函数条件的转化可以使用奇函数的定义，用方程恒成立求参数的值；也可以使用特殊值求出参数的值再检验；（2）不等式恒成立问题一般可以转化成函数的最值问题，本题不等式中含有绝对值，一般去绝对值，分类讨论求最值；本题也可以运用参数分离而后再求最值；（3）复合函数的零点问题可以通过换元分解为两个函数研究，先研究外函数的零点，再研究内函数相应的方程的根的情况，研究的过程中应注意数形结合；试题解析：（1）若为奇函数，则，令得，即，所以，此时为奇函数（2）因为对任意的，恒成立，所以当时，对任意的，恒成立，所以；当时，易得在上是单调增函数，在上是单调减函数，在上是单调增函数，当时，解得，所以；当时，解得，所以a不存在；当时，解得，所以；综上得，或（3）设，令，则，第一步，令，所以，当时，判别式，解得，；当时，由得，即，解得；第二步，易得，且，若，其中， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有2个不同的实根；当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根，从而方程有3个不同的实根； 若，其中，由知，方程有3个不同的实根； 若， 当时，记，因为对称轴， ，且，所以方程有1个实根；当时，记，因为对称轴，且，记，则，故为上增函数，且， 所以有唯一解，不妨记为，且，若，即，方程有0个实根；若，即，方程有1个实根；若，即，方程有2个实根，所以，当时，方程有1个实根；当时，方程有2个实根；当时，方程有3个实根综上，当时，函数的零点个数为7；当时，函数的零点个数为8；当时，函数的零点个数为9 考点：1.函数的奇偶性；2.分类讨论的数学思想；3.函数与方程；4.用导数研究函数的单调性；4已知函数，其中为常数.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若，求证：有且仅有两个零点；（3）若为整数，且当时，恒成立，求的最大值.【答案】（1）xy0；（2）详见解析；（3）4；【解析】试题分析：（1）求出f （1），即切线的斜率，可由点斜式得直线方程；（2）用导数研究函数的单调性，再由零点存在性定理说明零点的个数；（3）不等式恒成立问题一般可以先参数分离，再求函数的最值，这样可以避免讨论求最值，本题在求最值时需要二次求导和估值来确定函数的最值；试题解析：（1）当k0时，f（x）1lnx因为f （x），从而f （1）1又f （1）1，所以曲线yf（x）在点 （1，f（1）处的切线方程y1x1，即xy0 （2）当k5时，f（x）lnx4因为f （x），从而当x（0，10），f （x）0，f（x）单调递减；当x（10，）时，f （x）0，f（x）单调递增所以当x10时，f（x）有极小值 因f（10）ln1030，f（1）60，所以f（x）在（1，10）之间有一个零点因为f（e4）440，所以f（x）在（10，e4）之间有一个零点从而f（x）有两个不同的零点 （3）方法一：由题意知，1+lnx0对x（2，）恒成立，即k对x（2，）恒成立令h（x），则h（x）设v（x）x2lnx4，则v（x）当x（2，）时，v（x）0，所以v（x）在（2，）为增函数因为v（8）82ln8442ln80，v（9）52ln90，所以存在x0（8，9），v（x0）0，即x02lnx040 当x（2，x0）时，h（x）0，h（x）单调递减，当x（x0，）时，h（x）0，h（x）单调递增所以当xx0时，h（x）的最小值h（x0）因为lnx0，所以h（x0）（4，4.5） 故所求的整数k的最大值为4 方法二：由题意知，1+lnx0对x（2，）恒成立f（x）1+lnx，f （x） 当2k2，即k1时，f（x）0对x（2，）恒成立，所以f（x）在（2，）上单调递增而f（2）1ln20成立，所以满足要求当2k2，即k1时，当x（2，2k）时，f （x）0， f（x）单调递减，当x（2k，），f （x）0，f（x）单调递增所以当x2k时，f（x）有最小值f（2k）2ln2kk从而f（x）0在x（2，）恒成立，等价于2ln2kk0令g（k）2ln2kk，则g（k）0，从而g（k） 在（1，）为减函数因为g（4）ln820，g（5）ln1030 ，所以使2ln2kk0成立的最大正整数k4综合，知所求的整数k的最大值为4 考点：1.导数的几何意义；2.函数与方程；3.用导数研究函数的性质；5（本小题满分12分）已知函数f（x）bxlnx（a，bR）（）若ab1，求f（x）点（1，f（1）处的切线方程；（）设a0，求f（x）的单调区间；（）设a0，且对任意的x0，f（x）f（2），试比较ln（a）与2b的大小【答案】（）;（）单调递增区间是，单调递减区间是;（）.【解析】试题分析：（）时，对函数求导，由导数的几何意义，可得切线的斜率，由点斜式可得切线方程；（）对函数求导，当时，得，由，得显然，当时，函数单调递增;当时，函数单调递减，可得其单调区间；（）要比较ln（a）与2b的大小可用作差法，由（）知，是的唯一的极大值点，由f（x）f（2），知函数在处取得最大值，可得，即 ， 构造函数，求导可得令，得，当时， 单调递增；当时， 单调递减，是的最大值，即，进而得，即证 试题解析：（）时， 1分， 2分故点处的切线方程是 3分（）由，得 4分当时，得，由，得 显然，当时，函数单调递增;当时，函数单调递减，的单调递增区间是，单调递减区间是 8分（）由题意知函数在处取得最大值由（）知，是的唯一的极大值点，故，整理得 . 9分于是令，则令，得，当时，单调递增；当时，单调递减 10分因此对任意，又，故，即，即， 12分考点：1、导数的几何意义；2、导数的正负与函数单调性的关系；2、函数的综合应用.6（本题满分16分）已知函数处取得极值2.（1）求函数的表达式；（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围；（3）若直线与的图像相切，求直线的斜率的取值范围.【答案】（1），（2），（3）【解析】试题分析：（1）利用函数极值定义，可列等量关系，因为 而函数在处取得极值2，所以， 即 解得所（2）由题意得：先求函数单调增区间，再利用定义区间与单调区间包含关系进行求解：因为，所以的单调增区间是-1，1，从而（3）由导数几何意义知，本题实质求导函数的值域：过的图象上一点P的切线的斜率为： ，结合二次函数性质可得直线的斜率的取值范围是试题解析：（1）因为 2分 而函数在处取得极值2， 所以， 即 解得 所以即为所求。 4分（2）由（1）知令得：则的增减性如下表：（-，-1）（-1，1）（1，+）负正负递减递增递减可知，的单调增区间是-1，1， 6分所以所以当时，函数在区间上单调递增。 10分 （3）由条件知，过的图象上一点P的切线的斜率为： 12分令，则，此时，的图象性质知：当时，；当时，所以，直线的斜率的取值范围是 16分考点：函数极值，利用导数求单调区间，导数几何意义7（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，求实数的取值范围【答案】（1）函数的单调递增区间，函数的单调递减区间；（2）【解析】试题分析：（1）函数在某个区间内可导，则若，则在这个区间内单调递增，若，则在这个区间内单调递减；（2）若可导函数在指定的区间上单调递增（减），求参数问题，可转化为恒成立，从而构建不等式，要注意“=”是否可以取到.（3）利用导数方法证明不等式在区间上恒成立的基本方法是构造函数，然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数，其中一个重要的技巧就是找到函数在什么地方可以等于零，这往往就是解决问题的一个突破口，观察式子的特点，找到特点证明不等式.试题解析：解：（1），令当单调递增，单调递减，函数的单调递增区间，函数的单调递减区间，（2）令，即恒成立，而，令在上单调递增，当时，在上单调递增，符合题意；当时，在上单调递减，与题意不合；当时，为一个单调递增的函数，而，由零点存在性定理，必存在一个零点，使得，当时，从而在上单调递减，从而，与题意不合，综上所述：的取值范围为.考点：1、利用导数求函数的单调区间；2、恒成立的问题.8（14分）已知函数（1）若，求的值域；（2）若存在实数t，当，恒成立，求实数m的取值范围 【答案】（1）;（2）.【解析】试题分析：（1）函数的对称轴为，研究函数的值域可分三种情况讨论对称轴的位置：对称轴在的左侧，内部，右侧；（2）将在恒成立，转化为恒成立，即在上的最大值恒成立，由恒成立知，化简得,令，则原题可转化为：存在，使得。即当时，再讨论的对称轴为，在的左侧，在内讨论m的取值范围.试题解析：（1）由题意得当时，此时的值域为。当时，此时的值域为。当时，此时的值域为。（2）由恒成立得恒成立。令，因为抛物线的开口向上，所以。由恒成立知，化简得令，则原题可转化为：存在，使得。即当时，。，的对称轴为。当，即时，解得当，即时，解得综上，的取值范围为.考点：1、函数的值域；2、不等式恒成立.9（本小题满分12分）已知函数，其中。（1）讨论函数的单调性；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围。【答案】（1）详见解析；（2） .【解析】试题分析：（1）先求函数的导数，再利用其导数的符号判断函数的单调性，必要时对参数的取值进行分类计论.（2）因为对任意恒成立，所以，问题转化为求函数的最大值问题.试题解析：解：（1）定义域为， 2分当时，在定义域上单调递增； 4分当时，当时，单调递增；当时，单调递减。函数的单调递增区间：，单调递减区间： 7分（2）对任意恒成立令，所以 10分在上单调递增，在上单调递减， 12分考点：1、导数在研究函数性质中的应用；2、等价转化的思想.3、分类讨论的思想.10（本小题共14分）已知定义在上的函数（1）求证：存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）若，且对任意的1恒成立，求的最大值.【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）求导，由导数可知函数在区间上单调递增，又，由零点存在定理可知，存在唯一的零点，且零点属于（3，4）；（2）由不等式恒成立分离参数得，构造函数，求函数的最小值即可.试题解析：解：（1）由，可得，故在上单调递增，而，所以存在唯一的零点.（7分）（2）由（1）存在唯一的零点显然满足：，且当时，；当时，.当时，等价于.设，则，故与同号，因此当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，故.由题意有，又，而，故的最大值是3.（14分）考点：函数与导数，函数与方程，不等式恒成立.11（本小题共13分）设，已知函数.（1）当时，