2、导数的背景 曲线在某点处的切线、瞬时速度.ppt

引入 一 切线问题 1 对于简单的曲线 如圆和圆锥曲线 它们的切线是如何定义的 2 与曲线只有一个交点的直线是否一定是曲线的切线 3 曲线的切线与直线是否只有一个交点 二 最值问题 求函数y x3 2x 1 x 1 1 的最大值和最小值 第三章导数 3 1 1曲线的切线 一 曲线的切线 如图 曲线c是函数y f x 的图象 p x0 y0 是曲线c上的任意一点 q x0 x y0 y 为p邻近一点 pq为c的割线 pm x轴 qm y轴 为pq的倾斜角 p q 割线 切线 t 请看当点q沿着曲线逐渐向点p接近时 割线pq绕着点p逐渐转动的情况 我们发现 当点q沿着曲线无限接近点p 即 x 0时 若割线pq有一个极限位置pt 则我们把直线pt称为曲线在点p处的切线 设切线的倾斜角为 那么当 x 0时 割线pq的斜率 称为曲线在点p处的切线的斜率 即 这个概念 提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法 切线斜率的本质 函数平均变化率的极限 注 1 切线是割线的极限位置 切线的斜率是一个极限 2 若割线在p点有极限位置 则在此点有切线 且切线是唯一的 如不存在 则在此点处无切线 3 曲线的切线 并不一定与曲线只有一个交点 可以有多个 甚至可以无穷多个 3 曲线的切线与曲线是否只有一个交点吗 例1 求曲线y f x x2 1在点p 1 2 处的切线的斜率 切线方程 求曲线上一点的切线的斜率一般可以分为三步 1 求 y 求曲线在某点处的切线方程 先利用切线的斜率 然后利用点斜式求切线方程 练习 如图 已知曲线 求 1 点p处的切线的斜率 2 点p处的切线方程 即点p处的切线的斜率等于4 2 在点p处的切线方程是y 8 3 4 x 2 即12x 3y 16 0 一般地 设物体的运动规律是s s t 则物体在t到t t这段时间内的平均速度为 二 瞬时速度 平均速度反映了物体运动时的快慢程度 但要精确地描述非匀速直线运动 就要知道物体在每一时刻运动的快慢程度 也既需要通过瞬时速度来反映 物体在时刻t的瞬时速度 就是物体在t到t t这段时间内 当 t 0时的平均速度的极限 例3 物体作自由落体运动 运动方程为 g 10m s2 位移单位是m 时间单位是s 求 1 物体在时间区间 2 2 1 上的平均速度 2 物体在时间区间 2 2 01 上的平均速度 3 物体在t 2 s 时的瞬时速度 解 1 将 t 0 1代入上式 得 2 将 t 0 01代入上式 得 即物体在时刻t0 2 s 的瞬时速度等于20 m s 当时间间隔 t逐渐变小时 平均速度就越接近t0 2 s 时的瞬时速度v 20 m s 练习 某质点沿直线运动 运动规律是s 5t2 6 求t 1时刻的瞬时速度 求瞬时速度一般可以分为三步 1 求 s 1 能从极限的角度理解曲线在点p处切线的定义 小结 能求曲线在点p处切线的斜率及方程 2 能从极限的角度理解某时刻的瞬时速度 能求某时刻的瞬时速度 备用 已知曲线上一点p 1 2 用斜率的定义求过点p的切线的倾斜角