3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示.ppt

3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 例1在平面内的一条直线 如果和这个平面的一条斜线的射影垂直 那么它也和这条斜线垂直 已知 如图 po pa分别是平面 的垂线 斜线 ao是pa在平面 内的射影 a a 已知 如图 po pa分别是平面 的垂线 斜线 ao是pa在平面 内的射影 分析 同样可用向量 证明思路几乎一样 只不过其中的加法运算用减法运算来分析 例2如图 m n是平面 内的两条相交直线 如果l m l n 求证 l 3 1 4空间向量的正交分解及其坐标表示 共线向量定理 复习 共面向量定理 平面向量基本定理 平面向量的正交分解及坐标表示 问题 我们知道 平面内的任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示 平面向量基本定理 对于空间任意一个向量 有没有类似的结论呢 由此可知 如果是空间两两垂直的向量 那么 对空间任一向量 存在一个有序实数组 x y z 使得我们称为向量在上的分向量 探究 在空间中 如果用任意三个不共面向量代替两两垂直的向量 你能得出类似的结论吗 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 空间向量基本定理 如果三个向量不共面 那么对空间任一向量 存在一个唯一的有序实数组x y z 使 都叫做基向量 1 任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底 特别提示 对于基底 a b c 除了应知道a b c不共面 还应明确 2 由于可视为与任意一个非零向量共线 与任意两个非零向量共面 所以三个向量不共面 就隐含着它们都不是 3 一个基底是指一个向量组 一个基向量是指基底中的某一个向量 二者是相关连的不同概念 推论 设o a b c是不共线的四点 则对空间任一点p 都存在唯一的有序实数组 x y z 使当且仅当x y z 1时 p a b c四点共面 一 空间直角坐标系 给定一个空间坐标系和向量 且设e1 e2 e3为坐标向量 由空间向量基本定理 存在唯一的有序实数组 x y z 使p xe1 ye2 ze3有序数组 x y z 叫做p在空间直角坐标系o xyz中的坐标 记作 p x y z 二 空间向量的直角坐标系 x y z o e1 e2 e3 在空间直角坐标系o xyz中 对空间任一点 a 对应一个向量oa 于是存在唯一的有序实数组x y z 使oa xe1 ye2 ze3 在单位正交基底e1 e2 e3中与向量oa对应的有序实数组 x y z 叫做点a在此空间直角坐标系中的坐标 记作a x y z 其中x叫做点a的横坐标 y叫做点a的纵坐标 z叫做点a的竖坐标 x y z o a x y z e1 e2 e3 练习 1 在空间坐标系o xyz中 分别是与x轴 y轴 z轴的正方向相同的单位向量 则的坐标为 点b的坐标为 2 点m 2 3 4 在坐标平面xoy xoz yoz内的正投影的坐标分别为 关于原点的对称点为 关于轴的对称点为 例题 已知空间四边形oabc 其对角线为ob ac m n 分别是对边oa bc的中点 点p q是线段mn三等分点 用基向量oa ob