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第六章万有引力与航天 第4节 万有引力理论的成就 知识回顾 1 万有引力定律的内容是什么 自然界中任何两个物体都是相互吸引的 引力的大小跟物体质量的乘积成正比 跟它们的距离的二次方成反比 2 万有引力定律的适用条件是什么 公式适用于两质点之间 r 是指两质点中心之间的距离 当质点是两均质球体时 r是指两球体球心之间的距离 一 称量地球的质量 已知 地球的半径r 地球表面重力加速度g以及卡文迪许自己已测出的引力常量g 那么卡文迪许该如何 称量地球的质量 呢 不考虑地球自转的影响 物体在地球的表面 r 为地球的半径 g 地球表面的重力加速度 黄金代换 gm gr2 二 计算天体的质量 解 万有引力充当向心力f引 fn 已知 某行星绕转太阳的公转周期为t 轨道半径为r 能不能由此求出太阳的质量m f引 fn 若已知月球绕地球的公转周期t和轨道半径r 也可求出中心天体地球的质量 5 98 1024kg 计算中心天体的密度 若是近地卫星 r re 三 发现未知天体 背景 1781年由英国物理学家威廉 赫歇尔发现了天王星 但人们观测到的天王星的运行轨迹与万有引力定律推测的结果有一些误差 2 1930年3月14日人们发现了从被称为太阳系第9个行星 冥王星3 1978年人们又发现了冥王星的卫星 卡戎 1 1845年英国人亚当斯和法国天文学家勒维耶各自独立用万有引力定律计算发现了 海王星 第8个行星 四 卫星的公转速度 半径越大 环绕速度越小 问题 质量为m的人造卫星 绕质量为m的地球作半径为r的匀速圆周运动 卫星的线速度有v多大 你能得出什么结论 解 f引 fn 小 大 小 小 小 题2 2 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径r增大到原来的2倍 仍做圆周运动 则a 根据公式f mv2 r 可知卫星所需的向心力将减小到原来的1 2b 根据公式f m 2r 可知卫星所需的向心力将增大到原来的2倍c 根据公式f gmm r2 可知地球提供的向心力将减小到原来的1 4d 以上说法都不正确 半径r变 导致 v变 变 2 两颗人造地球卫星质量之比m1 m2 1 2 轨道半径之比r1 r2 1 2 下列有关数据之比正确的是 a 周期之比t1 t2 3 1b 线速度之比v1 v2 2 1c 向心力之比f1 f2 1 1d 向心加速度之比a1 a2 4 1 例题分析 1 人造地球卫星的轨道半径越大 则 a 速度越小 周期越小b 速度越小 加速度越小c 加速度越小 周期越大d 角速度越小 加速度越大 bc d 根据观察 在土星外层有一个环 为了判断环是土星的连续物还是小卫星群 可测出环中各层的线速度v与该层到土星中心的距离r之间的关系 下列判断正确的是 a 若v与r成正比 则环为连续物 b 若v2与r成正比 则环为小卫星群 c 若v与r成反比 则环为连续物 d 若v2与r成反比 则环为小卫星群 例题分析 ad 例2 用宇宙飞船把宇航员送到月球上 如果他已知月球的半径 那么他用一个弹簧秤和一个已知质量的砝码 能否测出月球的质量 应该怎样测定 已知引力常量为g 在月球上 砝码的重力近似等于月球对它的万有引力 解得 例 在天体运动中 把两颗相距很近的恒星称为双星 这两颗星必须各自以一定的速率绕某一中心转动才不至于由于万有引力而吸在一起 已知两恒星的质量分别为m1和m2两恒星距离为l 求 1 两恒星转动中心的位置 2 转动的角速度 分析 如图所示 两颗恒星分别以转动中心o作匀速圆周运动 角速度 相同 设m1的转动半径为r1 m2的转动半径为r2 l r1 它们之间的万有引力是各自的向心力 1 对m1 有 对m2 有 故m1 2r1 m2 2 l r1 2 将r1值代入式 1 对m1 有 对m2 有 2006年广东卷17 9 16分 宇宙中存在一些离其它恒星较远的 由质量相等的三颗星组成的三星系统 通常可忽略其它星体对它们的引力作用 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式 一种是三颗星位于同一直线上 两颗星围绕中央星在同一半径为r的圆轨道上运行 另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行 设每个星体的质量均为m 1 试求第一种形式下 星体运动的线速度和周期 2 假设两种形式星体的运动周期相同 第二种形式下星体之间的距离应为多少 17解 1 对于第一种运动情况 以某个星体为研究对象 根据牛顿定律和万有引力定律有 运动星体的线速度 周期为t 则有 题