30、三角形中的三角函数29三角形中的三角函数 (2).ppt

三角形中的三角函数 三角形中的有关公式 1 内角和定理 三角形三内角之和为 即a b c 注任意两角和与第三个角总互补 任意两半角和与第三个角的半角总互余 锐角三角形 三内角都是锐角 任两角和都是钝角 设 abc中 角a b c的对边为a b c 任意两边的平方和大于第三边的平方 三内角的余弦值为正值 注正弦定理的一些变式 1 a b c sina sinb sinc 3 a 2rsina b 2rsinb c 2rsinc 已知三角形两边一对角运用正弦定理求解时 务必注意可能有两解 4 射影定理 a bcosc ccosb 应用一 解三角形 例1设 abc的三内角a b c成等差数列 三边长a b c的倒数也成等差数列 求三内角 例3在 abc中 若面积为s 且2s a b 2 c2 求tanc的值 a b c 60 提示 令a c 2 可得 4cos2 3cos 1 0 得 cos 1 得 a c a 60 b 30 c 90 应用举例 应用二 判断三角形的形状 例1 abc中 若sin2acos2b cos2asin2b sin2c 判断 abc的形状 直角三角形 例4在 abc中 已知 a2 b2 sin a b a2 b2 sinc 试判断三角形的形状 例5在 abc中 若a2sin2b b2sin2a 2abcosacosb 1 试判断三角形的形状 2 若cosb 4 1 cosa 求 abc三边a b c的比 直角三角形或等腰三角形 正三角形 直角三角形或等腰三角形 直角三角形 8 15 17 应用三 三角形的证明 提示 1 法一 边换角 法二 角换边 2 法一 边换角 法二 角换边 法三 构造图形 3 作差换c2即可 差为 2 a2 b2 4absin c 30 2 a2 b2 4ab 2 a b 2 0 正三角形时取等号 证 由余弦定理知 cosa cosb cosc为有理数 cos5 即 cosc为有理数 而cos cos a b cosacosb sinasinb 证明sinasinb为有理数即可 由正弦定理可证 或由cos cos5 cos 3 2 cos 3 2 cos23 cos22 sin23 sin22 cos23 cos22 1 cos23 1 cos22 cos2acos2b 1 cos2a 1 cos2b 为有理数 且cos 0 cos5 为有理数知 cos 为有理数 例2已知 abc的三边均为有理数 a 3 b 2 试证cos5 与cos 均为有理数 c 2 在 abc中 a b是sina sinb成立的 条件 充要 课后练习 3 在 abc中 1 tana 1 tanb 2 则log2sinc 4 abc中 a b c分别是角a b c所对的边 若 a b c sina sinb sinc 3asinb 则 c 60 30 8 在 abc中 ab 1 bc 2 则角c的取值范围是 45 60 b 90 0 a 45 或135 a 180 a b 180 0 a 45 cosc cos a b sinasinb cosacosb 解 1 a c a c b b c b2 c2 a2 bc 12 已知 abc的三个内角a b c成等差数列 求cosacosc的取值范围 解 abc的三个内角a b c成等差数列 2b a c且a b c 180 b 60 c 120 a cosacosc cosacos 120 a cosacos120 cosa cosasin120 sina 0 a