2019届市第一中学校高三下学期第三次月考数学（理）试题（解析版）

2019届市第一中学校高三下学期第三次月考数学（理）试题一、单选题1已知复数满足（是虚数单位），则（ ）A0BC1D【答案】C【解析】先求出复数z,再求|z|得解.【详解】由题得故选C【点睛】本题主要考查复数的除法运算和复数的模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.2已知集合，则（ ）ABCD【答案】C【解析】先化简集合A,B，再求得解.【详解】由题得A=x|x1,B=x|-1x3，xZ=0,1,2,所以，所以.故选：C【点睛】本题主要考查集合的化简，考查集合的补集和交集的运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.3若，则实数，的大小关系为（ ）ABCD【答案】A【解析】先求出a,b,c的范围，再比较大小即得解.【详解】由题得， ，所以abc.故选：A【点睛】本题主要考查对数函数和指数函数的单调性的应用，考查实数大小的比较，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.4下列说法正确的是（ ）A设m为实数，若方程表示双曲线，则m2B“pq为真命题”是“pq为真命题”的充分不必要条件C命题“xR，使得x2+2x+30”的否定是：“xR，x2+2x+30”D命题“若x0为yf（x）的极值点，则f（x）0”的逆命题是真命题【答案】B【解析】根据双曲线的定义和方程判断A，复合命题真假关系以及充分条件和必要条件的定义判断B，特称命题的否定是全称命题判断C，逆命题的定义以及函数极值的性质和定义判断D.【详解】对于A：若方程表示双曲线，则，解得或，故A错误；对于B：若为真命题，则，同时为真命题，则为真命题，当真假时，满足为真命题，但为假命题，即必要性不成立，则“为真命题”是“为真命题”的充分不必要条件，故B正确；对于C：命题“，使得”的否定是：“，”，故C错误；对于D：命题“若为的极值点，则”的逆命题是：“若，则为的极值点”，此逆命题为假命题，比如：在中，其中，但不是极值点，故D错误.故选：B.【点睛】本题主要考查命题的真假判断，涉及知识点较多，综合性较强，难度不大，属于基础题5执行下面的程序框图，若输出的的值为63，则判断框中可以填入的关于的判断条件是（ ）ABCD【答案】B【解析】根据程序框图，逐步执行，直到的值为63，结束循环，即可得出判断条件.【详解】执行框图如下：初始值：，第一步：，此时不能输出，继续循环；第二步：，此时不能输出，继续循环；第三步：，此时不能输出，继续循环；第四步：，此时不能输出，继续循环；第五步：，此时不能输出，继续循环；第六步：，此时要输出，结束循环；故，判断条件为.故选B【点睛】本题主要考查完善程序框图，只需逐步执行框图，结合输出结果，即可确定判断条件，属于常考题型.6在数学兴趣课堂上，老师出了一道数学思考题，某小组的三人先独立思考完成，然后一起讨论.甲说：“我做错了！”乙对甲说：“你做对了！”丙说：“我也做错了！”老师看了他们三人的答案后说：“你们三人中有且只有一人做对了，有且只有一人说对了.”请问下列说法正确的是（ ）A乙做对了B甲说对了C乙说对了D甲做对了【答案】B【解析】分三种情况讨论：甲说法对、乙说法对、丙说法对，通过题意进行推理，可得出正确选项.【详解】分以下三种情况讨论：甲的说法正确，则甲做错了，乙的说法错误，则甲做错了，丙的说法错误，则丙做对了，那么乙做错了，合乎题意；乙的说法正确，则甲的说法错误，则甲做对了，丙的说法错误，则丙做对了，矛盾；丙的说法正确，则丙做错了，甲的说法错误，则甲做对了，乙的说法错误，则甲做错了，自相矛盾.故选：B.【点睛】本题考查简单的合情推理，解题时可以采用分类讨论法进行假设，考查推理能力，属于中等题.7割补法在我国古代数学著作中称为“出入相补”，刘徽称之为“以盈补虚”，即以多余补不足，是数量的平均思想在几何上的体现下图揭示了刘徽推导三角形面积公式的方法在内任取一点，则该点落在标记“盈”的区域的概率为（ ）ABCD【答案】C【解析】根据题意可得该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，即可得解.【详解】由题得.所以“盈”的区域的面积等于“虚”的区域的面积.而“虚”的区域占矩形区域的面积的四分之一，所以该点落在标记“盈”的区域的面积为三角形面积的四分之一，故该点落在标记“盈”的区域的概率为，故选【点睛】本题考查了几何概型的概率公式，考查了数学文化知识，属于基础题8将函数的图像向左平移个单位长度后，所得图像关于轴对称，则的值可能为（ ）ABCD【答案】D【解析】先化简函数的解析式，再平移得到函数，再根据函数的对称性得解.【详解】由题得，将函数的图像向左平移个单位长度后得到，由题得,当k=0时，.故选D【点睛】本题主要考查三角恒等变换和图像的变换，考查函数奇偶性的应用，考查三角函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.9已知空间中不同直线m、n和不同平面、，下面四个结论：若m、n互为异面直线，m，n，m，n，则；若mn，m，n，则；若n，m，则nm；若，m，nm，则n其中正确的是（）ABCD【答案】D【解析】由线面和面面平行和垂直的判定定理和性质定理即可得解【详解】对于，由面面平行的判定定理可得，若m、n互为异面直线，m，n，则或相交，又因为m，n，则，故正确；对于，若mn，m，n，则或或，相交，故错误，对于，若n，m，则nm；故正确，对于，若，m，nm，则n或n，故错误，综上可得：正确的是，故选D【点睛】本题考查了线面、面面的位置关系，考查了线面垂直、平行的判定及性质定理的应用，属中档题10在中，三内角、对应的边分别为、，且，边上的高为，则的最大值为（ ）AB1CD2【答案】C【解析】先化简已知得，再求出，再利用三角函数求h最大值得解.【详解】因为，所以所以.所以所以,所以当B=时，h取最大值.故选C【点睛】本题主要考查正弦定理解三角形，考查三角函数和三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.11若一个四位数的各位数字相加和为10，则称该数为“完美四位数”，如数字“2017”.试问用数字0，1，2，3，4，5，6，7组成的无重复数字且大于2017的“完美四位数”有（ ）个.A71B66C59D53【答案】A【解析】根据题意，分析可得四位数字相加和为10的情况有0、1、3、6，0、1、4、5，0、1、2、7，0、2、3、5，1、2、3、4；共5种情况，据此分5种情况讨论，依次求出每种情况下大于2017的“完美四位数”的个数，将其相加即可得答案【详解】根据题意，四位数字相加和为10的情况有0、1、3、6，0、1、4、5，0、1、2、7，0、2、3、5，1、2、3、4；共5种情况，则分5种情况讨论：、四个数字为0、1、3、6时，千位数字可以为3或6，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为0、1、4、5时，千位数字可以为4或5，有2种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为0、1、2、7时，千位数字为7时，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，千位数字为2时，有2071、2107、2170、2701、2710，共5种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为0、2、3、5时，千位数字可以为2或3或5，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，、四个数字为1、2、3、4时，千位数字可以为3或4或2，有3种情况，将其余3个数字全排列，安排在百位、十位、个位，有种情况，此时有个“完美四位数”，则一共有个“完美四位数”，故选：【点睛】本题考查排列、组合的应用，涉及分类计数原理的运用，分类讨论注意做到不重不漏12设表示不大于实数的最大整数，函数，若关于的方程有且只有5个解，则实数的取值范围为（ ）ABCD【答案】A【解析】根据分段函数的解析式，先讨论当x0时，函数零点的个数为三个，再讨论当x0时，函数的零点的个数为2个，利用导数结合数形结合分析得解.【详解】首先，确定在x0上，方程f(x)=1的解.时，在，所以由取整意义有lnx=-(n+1),又即在上，恒有取n=0,，令此时有一根，当n1时，恒有f(x)-11，此时在上无根.在上，又所以在上，恒有，.n=1时，在上，有n=2时，在有即所以此时有两根，这样在有三根，在显然有一根所以在有且仅有一根，由“洛必达法则”是先增后减，得或a0.单调递增，即故选：A【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，难度较大.二、填空题13若实数，满足约束条件，则的最大值是_【答案】【解析】作出不等式组表示的平面区域，平移目标函数所表示的直线，可得出目标函数的最大值.【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示：可变形为，表示斜率为的直线，平移该直线，当直线经过点时，取得最大值，【点睛】本题考查简单的线性规划问题.14已知平面向量，的夹角为，且，则_【答案】【解析】先由题意求出，得到，进而可求出结果.【详解】因为，所以，又向量，的夹角为，且，则，所以.故答案为【点睛】本题主要考查平面向量的数量积运算，熟记概念与运算法则即可，属于常考题型.15在的二项展开式中，只有第5项的二项式系数最大，且所有项的系数和为256，则含的项的系数为_【答案】8.【解析】根据已知求出n=8和a=1,再求含的项的系数.【详解】因为只有第5项的二项式系数最大，所以n=8.因为所有项的系数和为256，所以.设的通项为，令8-2r=6,所以r=1.所以含的项的系数为.故答案为：8【点睛】本题主要考查二项式的展开式的系数的求法，考查二项式系数问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.16已知抛物线：与直线交于、两点（、两点分别在轴的上、下方），且弦长，则过，两点、圆心在第一象限且与直线相切的圆的方程为_【答案】.【解析】先求出圆的半径为，再求出圆心为（1,4），即得圆的方程.【详解】联立直线和抛物线的方程得由题得|AB|=8=，所以m=1.所以解之得A(,所以AB的垂直平分线方程为y=-x+5,因为圆心在AB的垂直平分线上，所以设圆心（t,-t+5）,因为AB的垂直平分线和直线平行，因为两平行线间的距离为，所以圆的半径为.因为点A在圆上，所以，所以t=1.所以圆心为（1,4），所以圆的方程为.故答案为：【点睛】本题主要考查直线和抛物线的位置关系，考查圆的标准方程的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.三、解答题17已知数列满足：，数列中，且成等比数列；（1）求证：是等差数列；（2）是数列的前n项和，求数列的前n项和【答案】(1)证明见解析 (2)【解析】（1）根据递推式构造出，即，可得证；（2）先根据等差数列的前n项和公式，求出，可得，再运用裂项求和的方法可得解.【详解】（1）证明：，可得，所以，因为，所以得，所以是公差为1的等差数列；（2）成等比数列，可得，可得，解得，即，可得，则前n项和.所以.【点睛】本题考查根据递推式证明数列是等差数列，等差数列的前项和,以及运用裂项相消法求数列的和的方法，在证明数列是等差数列时，需构造等差数列的定义式，属于中档题.18某蛋糕店制作并销售一款蛋糕，制作一个蛋糕成本3元，且以8元的价格出售，若当天卖不完，剩下的则无偿捐献给饲料加工厂。根据以往100天的资料统计，得到如下需求量表。该蛋糕店一天制作了这款蛋糕个，以（单位：个，）表示当天的市场需求量，（单位：元）表示当天出售这款蛋糕获得的利润.需求量/个天数1525302010（1）当时，若时获得的利润为，时获得的利润为，试比较和的大小；（2）当时，根据上表，从利润不少于570元的天数中，按需求量分层抽样抽取6天.（i）求此时利润关于市场需求量的函数解析式，并求这6天中利润为650元的天数；（ii）再从这6天中抽取3天做进一步分析，设这3天中利润为650元的天数为，求随机变量的分布列及数学期望.【答案】(1) .(2) （i）3; （ii）见解析.【解析】（1）求出,再比较和的大小；（2）（i）先求出利润，再求出需求量，所以利润不少于570元时共有60天，再利用分层抽样求出这6天中利润为650元的天数；（ii）由题意可知，再求出随机变量的分布列及数学期望.【详解】（1）时，元；时，元，；（2）（i）当时，利润，当时，即，即，又，所以利润不少于570元时，需求量，共有60天，按分层抽样抽取，则这6天中利润为650元的天数为.（ii）由题意可知，其中，.故的分布列为0123.【点睛】本题主要考查函数解析式的求法，考查分层抽样，考查随机变量的分布列和期望，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.19如图，已知四棱锥，底面为菱形，为的中点.（1）求证：平面平面；（2）若点在线段上，当直线与平面所成角的正弦值为时，求线段的长.【答案】(1)见解析.(2)2.【解析】（1）先证明面，再证明平面平面；（2）以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法求出，解方程即得解.【详解】(1)证明：由题意易得，且，在中，在中，又，面，又面，平面平面.（2）由（1）可知面，所以以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则，设平面的一个法向量为，由，则令，所以，解得或（舍），故BN=2.【点睛】本题主要考查空间垂直关系的证明，考查线面角的求法和计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.20已知点，过点作抛物线：的切线，切点在第二象限.（1）求切点的纵坐标；（2）有一离心率为的椭圆：恰好经过切点，设切线与椭圆的另一交点为点，记切线、的斜率分别为、，若，求椭圆的方程.【答案】(1) .(2) .【解析】（1）设切点,求出的方程为，再把点D的坐标代入即得解；（2）先根据已知设椭圆方程为，再根据求出b的值得解.【详解】（1）设切点则有，由切线的斜率为，得的方程为，又点在上，所以，即，所以点的纵坐标.由（1）得，切线斜率，设，切线方程为，由得，又，所以，所以椭圆方程为，由得，又因为，即，解得，所以，所以椭圆方程为.【点睛】本题主要考查椭圆标准方程的求法，考查抛物线的切线的求法，考查直线和椭圆的位置关系问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.21已知函数，其中为自然对数的底数.（1）设函数（其中为的导函数），判断在上的单调性；（2）若函数在定义域内无零点，试确定正数的取值范围.【答案】(1) 在上单调递增.(2).【解析】（1）先分析得到，即得函数在上的单调性；（2）先利用导数求出，再对a分三种情况讨论，讨论每一种情况下的零点情况得解.【详解】（1）因为，则，在上单调递增.（2）由知，由（1）知在上单调递增，且，可知当时，则有唯一零点，设此零点为，易知时，单调递增；时，单调递减，故，其中.令，则，易知在上恒成立，所以，在上单调递增，且.当时，由在上单调递增知，则，由在上单调递增，所以，故在上有零点，不符合题意；当时，由的单调性知，则，此时有一个零点，不符合题意；当