2018届高考数学大一轮复习第一章集合与第二节命题及其关系充分条件与必要条件.docx

第二节命题及其关系、充分条件与必要条件2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义。2016，北京卷，4,5分(充要条件的判断)2016，天津卷，5,5分(充要条件的判断)2014，全国卷，9,5分(逻辑推理判断)1.分析四种命题的相互关系；由原命题写另一种命题；2.判定指定条件之间的关系；探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件；与命题真假性结合。微知识小题练自|主|排|查1命题(1)命题的概念用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。(2)四种命题及相互关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系。2充分条件、必要条件与充要条件的概念若pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件pq且qpp是q的必要不充分条件pq且qpp是q的充要条件pqp是q的既不充分也不必要条件pq且qp微点提醒1“否命题”与“命题的否定”是两个不同的概念，否命题是既否定命题的条件，又否定命题的结论，命题的否定只否定结论。2由于互为逆否命题的两个命题具有相同的真假性，因而当判断一个命题的真假比较困难时，可转化为判断它的逆否命题的真假。3“p是q的充分不必要条件”即为“pq且qp”；“p的充分不必要条件是q”即为“qp且pq”。小|题|快|练一 、走进教材1(选修11P10练习T3(2)改编)“(x1)(y2)0”是“x1且y2”的_条件。【解析】因为(x1)(y2)0，所以x1或y2，所以(x1)(y2)0x1且y2，x1且y2(x1)(y2)0，所以是必要不充分条件。【答案】必要不充分2(选修11P8习题1.1A组T2(1)改编)“若a，b都是偶数，则ab必是偶数“的逆否命题为_。【解析】“a，b都是偶数”的否定为“a，b不都是偶数”，“ab是偶数”的否定为“ab不是偶数”，故其逆否命题为“若ab不是偶数，则a，b不都是偶数”。【答案】若ab不是偶数，则a，b不都是偶数二、双基查验1(2016天津高考)设x0，yR，则“xy”是“x|y|”的()A充要条件B充分而不必要条件C必要而不充分条件 D既不充分也不必要条件【解析】由xy推不出x|y|，由x|y|能推出xy，所以“xy”是“x|y|”的必要而不充分条件。故选C。【答案】C2命题“若，则tan1”的逆否命题是()A若，则tan1 B若，则tan1C若tan1，则 D若tan1，则【解析】以否定的结论作条件、否定的条件作结论得出的命题为逆否命题，即“若，则tan1”的逆否命题是“若tan1，则”。故选C。【答案】C3设集合A，B，则“AB”是“ABA”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【解析】由AB，得ABA；反过来，由ABA，且(AB)B，得AB，因此，“AB”是“ABA”成立的充要条件。故选C。【答案】C4“在ABC中，若C90，则A，B都是锐角”的否命题为：_。【解析】原命题的条件：在ABC中，C90。结论：A，B都是锐角。否命题是否定条件和结论。即“在ABC中，若C90，则A，B不都是锐角”。【答案】在ABC中，若C90，则A，B不都是锐角5若“x21”是“x1得x1或x1。由题意知x|x1或x1，结合数轴可知，a1，从而a的最大值为1。【答案】1微考点大课堂考点一 四种命题及其相互关系【典例1】(1)命题“若x，y都是偶数，则xy也是偶数”的逆否命题是()A若xy是偶数，则x与y不都是偶数B若xy是偶数，则x与y都不是偶数C若xy不是偶数，则x与y不都是偶数D若xy不是偶数，则x与y都不是偶数(2)原命题为“若z1，z2互为共轭复数，则|z1|z2|”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A真，假，真B假，假，真C真，真，假 D假，假，假【解析】(1)由于“x，y都是偶数”的否定是“x，y不都是偶数”，“xy是偶数”的否定是“xy不是偶数”，故原命题的逆否命题为“若xy不是偶数，则x，y不都是偶数”。故选C。(2)先证原命题为真：当z1，z2互为共轭复数时，设z1abi(a，bR)，则z2abi，则|z1|z2|，原命题为真，故其逆否命题为真；再证其逆命题为假：取z11，z2i，满足|z1|z2|，但是z1，z2不互为共轭复数，其逆命题为假，故其否命题也为假。故选B。【答案】(1)C(2)B反思归纳 1.写一个命题的其他三种命题时，需注意：(1)对于不是“若p，则q”形式的命题，需先改写； (2)若命题有大前提，写其他三种命题时需保留大前提。2.判断一个命题为真命题，要给出推理证明；判断一个命题是假命题，只需举出反例。3.根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假。【变式训练】(1)命题“若，则cos”的逆命题是()A若，则cosB若，则cosC若cos，则D若cos，则(2)已知命题：如果x3，那么x5；命题：如果x3，那么x5；命题：如果x5，那么x3。关于这三个命题之间的关系，下列三种说法正确的是()命题是命题的否命题，且命题是命题的逆命题；命题是命题的逆命题，且命题是命题的否命题；命题是命题的否命题，且命题 是命题的逆否命题。A BC D【解析】(1)命题“若，则cos”的逆命题是“若cos，则”。故选C。(2)命题的四种形式，逆命题是把原命题中的条件和结论互换，否命题是把原命题的条件和结论都加以否定，逆否命题是把原命题中的条件与结论先都否定，然后交换条件与结论所得，因此正确，错误，正确。故选A。【答案】(1)C(2)A考点二 充分条件与必要条件的判断多维探究角度一：用定义法判断充分条件、必要条件【典例2】(2016北京高考)设a，b是向量，则“|a|b|”是“|ab|ab|”的()A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】取ab0，则|a|b|0，|ab|0|0，|ab|2a|0，所以|ab|ab|，故由|a|b|推不出|ab|ab|。由|ab|ab|，得|ab|2|ab|2，整理得ab0，所以ab，不一定能得出|a|b|，故由|ab|ab|推不出|a|b|。故“|a|b|”是“|ab|ab|”的既不充分也不必要条件。故选D。【答案】D角度二：用集合法判断充分条件、必要条件【典例3】设p：1x1，则p是q成立的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件【解析】由2x20x0，且x|1x0可知：由p能推出q，但由q不能得出p，所以p是q成立的充分不必要条件。故选A。【答案】A角度三：用等价转化法判断充分条件、必要条件【典例4】(2017锦州模拟)给定两个命题p，q。若綈p是q的必要而不充分条件，则p是綈q的()A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件【解析】因为綈p是q的必要不充分条件，则q綈p但綈pq，其逆否命题为p綈q但綈qp，所以p是綈q的充分不必要条件。故选A。【答案】A反思归纳 充要条件的三种判断方法1.定义法：根据pq,qp进行判断。2.集合法：根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断。3.等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断的命题转化为其逆否命题进行判断。这个方法特别适合以否定形式给出的问题，如“xy1”是“x1或y1”的何种条件，即可转化为判断“x=1且y=1”是“xy=1”的何种条件。考点三 根据充分条件、必要条件求参数的取值范围母题发散【典例5】(1)(2016南昌模拟)已知条件p：|x4|6；条件q：(x1)2m20(m0)，若p是q的充分不必要条件，则m的取值范围是()A21，) B9，)C19，) D(0，)(2)已知Px|x28x200，非空集合Sx|1mx1m。若xP是xS的必要条件，则m的取值范围为_。【解析】(1)条件p：2x10，条件q：1mxm1，又因为p是q的充分不必要条件，所以有解得m9。故选B。(2)由x28x200得2x10，Px|2x10，由xP是xS的必要条件，知SP。则0m3。所以当0m3时，xP是xS的必要条件，即所求m的取值范围是0,3。【答案】(1)B(2)0,3【母题变式】1.本典例(2)条件不变，问是否存在实数m，使xP是xS的充要条件。【解析】若xP是xS的充要条件，则PS，即不存在实数m，使xP是xS的充要条件。【答案】不存在2本典例(2)条件不变，若綈P是綈S的必要不充分条件，求实数m的取值范围。【解析】由例题知Px|2x10，綈P是綈S的必要不充分条件，PS且SP。2,101m,1m。或m9，即m的取值范围是9，)。【答案】9，)反思归纳 由充分条件、必要条件求参数。解决此类问题常将充分、必要条件问题转化为集合间的子集关系求解。但是，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的验证，不等式中的等号是否能够取得，决定着端点的取值。微考场新提升1命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是()A“若a，b，c成等比数列，则b2ac”B“若a，b，c不成等比数列，则b2ac”C“若b2ac，则a，b，c成等比数列”D“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”解析根据原命题与其逆否命题的关系，易得命题“若a，b，c成等比数列，则b2ac”的逆否命题是“若b2ac，则a，b，c不成等比数列”。故选D。答案D2已知向量a(sin，cos)，b(cos，sin)，且a与b的夹角为，则“|ab|1”是“60”的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件解析由条件可知|a|b|1，若|ab|1，则(ab)21，即a2b22ab1，所以112cos1，即cos，故60。同理，若60，则|ab|1也成立。故“|ab|1”是“60”的充分必要条件。故选C。答案C3设m，n为正实数，则“mn”是“m2n2”成立的()A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件解析解法一：m，n为正实数是此题的大前提条件，所以可得m2n2m2n20(mn)(mn)0mn，故“mn”是“m20)，易知f(x)x2(x0)是单调递增函数，任取m，n0，当mn时，