考研数学公式手册随身看(打印版).pdf

目目 录录 一 高等数学 1 一 函数 极限 连续 1 二 一元函数微分学 4 三 一元函数积分学 11 四 向量代数和空间解析几何 16 五 多元函数微分学 24 六 多元函数积分学 30 七 无穷级数 34 八 常微分方程 40 二 线性代数 44 一 行列式 44 二 矩阵 45 三 向量 48 四 线性方程组 50 五 矩阵的特征值和特征向量 51 六 二次型 53 三 概率论与数理统计 55 一 随机事件和概率 55 二 随机变量及其概率分布 58 三 多维随机变量及其分布 60 四 随机变量的数字特征 63 五 大数定律和中心极限定理 65 六 数理统计的基本概念 66 七 参数估计 68 八 假设检验 70 经常用到的初等数学公式 72 平面几何 76 1 一 高等数学一 高等数学 一一 函数 极限 连续函数 极限 连续 考试内容考试内容 公式 定理 概念公式 定理 概念 函数和隐函数和隐 函数函数 函数 设有两个变量x和y 变量x的定义域为D 如果对于D中的每 一个x值 按照一定的法则 变量y有一个确定的值与之对应 则称变量y为变量x的函数 记作 yf x 基本初等基本初等 函数的性函数的性 质及其图质及其图 形 形 初等函初等函 数 数 函数关函数关 系的建立系的建立 基本初等函数包括五类函数 1 幂函数 yxR 2 指数函数 x ya 0a 且1a 3 对数函数 logayx 0a 且1a 4 三角函数 如sin cos tanyx yx yx 等 5 反三角函数 如 arcsin arccos arctanyx yx yx 等 初等函数 由常数C和基本初等函数经过有限次四则运算与有限此复合 步骤所构成 并可用一个数学式子表示的函数 称为初等函 数 数 列 极 限数 列 极 限 与 函 数 极与 函 数 极 限 的 定 义限 的 定 义 及其性质及其性质 函 数 的 左函 数 的 左 极 限 与 右极 限 与 右 极限极限 1 0 00 lim xx f xAfxfxA 2 00 0 lim lim 0 xxxx f xAf xAa xa x 其中 3 保号定理保号定理 0 lim 0 0 0 xx f xAAA 设又或则 一个 000 0 0 xxxxxf xf x 若则是 的k阶无穷小 0 x 常用的等阶无穷小 当时 sin arcsin tan arctan ln 1 e1 x x x x x x x 2 1 1 1cos 2 1 1 1 n xx xx n 无穷小的性质 1 有限个无穷小的代数和为无穷小 2 有限个无穷小的乘积为无穷小 3 无穷小乘以有界变量为无穷小 Th 在同一变化趋势下 无穷大的倒数为无穷小 非零的无穷小的倒数 为无穷大 极限的四极限的四 则运算则运算 lim lim f xAg xB 则 1 lim f xg xAB 2 lim f x g xA B 3 lim 0 f xA B g xB 3 极限存在极限存在 的两个准的两个准 则 则 单调有单调有 界 准 则 和界 准 则 和 夹逼准则夹逼准则 两 个 重 要两 个 重 要 极限 极限 1 xxf xx 0 夹逼定理 设在 的邻域内 恒有 00 lim lim xxxx xxA 且 0 lim xx f xA 则 2 单调有界定理 单调有界的数列必有极限单调有界定理 单调有界的数列必有极限 3 两个重要极限 两个重要极限 0 sin 1 lim1 x x x 1 0 2 lim 1 e x x x 重要公式 重要公式 0 0 1 011 1 011 lim0 nn nn mm x mm a nm b a xa xaxa nm b xb xbxb nm L L 4 几个常用极限特例 lim1 n n n lim arctan 2 x x lim arctan 2 x x lim arccot0 x x lim arccot x x lim e0 x x lim e x x 0 lim1 x x x 函数连续函数连续 的概念 的概念 函函 数间断数间断 点的类点的类 型 型 初等函初等函 数 的 连 续数 的 连 续 性 性 闭区间闭区间 上 连 续 函上 连 续 函 数的性质数的性质 连续函数在闭区间上的性质 1 连续函数的有界性 设函数 f x在 a b上连续 则 f x 在 a b上有界 即 常数0M 对任意的 xa b 恒有 f xM 2 最值定理 设函数 f x在 a b上连续 则在 a b上 f x至少取得最大值与最小值各一次 即 使得 4 max a x b ff xa b min a x b ff xa b 3 介值定理 若函数 f x在 a b上连续 是介于 f a与 f b 或最大值M与最小值m 之间的任一实数 则在 a b 上至少 一个 使得 fab 4 零点定理或根的存在性定理 设函数 f x在 a b上连 续 且 0f af b 则在 a b内至少 一个 使得 0 fab 2 sin sin 2 nn kxkkxn 3 cos cos 2 nn kxkkxn 7 4 1 1 mnm n xm m m n x L 5 1 1 ln 1 nn n n x x 6 莱布尼兹公式 若 u x v x均n阶可导 则 0 n niin i n i uvc u v 其中 0 u u 0 v v 微分微分中值中值 定理 定理 必必达达 法法则 则 泰勒泰勒公式公式 Th1 费马定理 若函数 f x满足条件 1 函数 f x在 0 x的某邻域内有定义 并且在此邻域内恒有 0 f xf x 或 0 f xf x 2 f x在 0 x处可导 则有 0 0fx Th2 罗尔定理 设函数 f x满足条件 1 在闭区间 a b上连续 2 在 a b内可导 则在 a b内 一个 使 0f Th3 拉格朗日中值定理 设函数 f x满足条件 1 在 a b上连续 2 在 a b内可导 则在 a b内 一个 使 f bf a f ba Th4 柯西中值定理 设函数 f x g x满足条件 1 在 a b上连续 2 在 a b内可导且 fx g x 均存在 且 0g x 则在 a b内 一个 使 f bf af g bg ag 洛必达法则 法则 0 0 型 设函数 f xg x满足条件 00 lim0 lim0 xxxx f xg x f xg x在 0 x的邻域内可导 在 0 x处可除外 且 0gx 0 lim xx fx gx 存在 或 则 00 limlim xxxx f xfx g xgx 8 法则 I 0 0 型 设函数 f xg x满足条件 lim0 lim0 xx f xg x 一个0X 当xX 时 f xg x可导 且 0gx 0 lim xx fx gx 存在 或 则 00 limlim xxxx f xfx g xgx 法则 型 设函数 f xg x满足条件 00 lim lim xxxx f xg x f xg x在 0 x 的邻域内可 导 在 0 x处可除外 且 0gx 0 lim xx fx gx 存在 或 则 00 limlim xxxx f xfx g xgx 同理法则 II 型 仿法则 I 可写出 泰勒公式 设函数 f x在点 0 x处的某邻域内具有1n 阶导 数 则对该邻域内异于 0 x的任意点x 在 0 x与x之间至少 一个 使得 2 00000 1 2 fxfxfxxxfxxx L 0 0 n n n fx xxRx n 其中 1 1 0 1 n n n f Rxxx n 称为 f x在点 0 x处的n阶泰勒余 项 令 0 0 x 则n阶泰勒公式 2 1 0 0 0 0 2 n n n f fxffxfxxRx n L 1 9 其中 1 1 1 n n n f Rxx n 在 0 与x之间 1 式称为麦克劳林公式 常用五种函数在 0 0 x 处的泰勒公式 1 2 11 e1 2 1 n xn x xxxe nn L 或 2 11 1 2 nn xxxo x n L 1 3 11 sinsinsin 3 2 1 2 nn xnxn xxx nn L 或 3 1 sin 3 2 n n xn xxo x n L 1 2 11 cos1coscos 2 2 1 2 nn xnxn xx nn L 或 2 1 1cos 2 2 n n xn xo x n L 1 231 1 11 1 ln 1 1 23 1 1 nnn n n xx xxxx nn L 或 231 11 1 23 n nn x xxxo x n L 2 1 1 1 1 1 2 mn m mm mmn xmxxx n L L 11 1 1 1 1 nm n m mmn x n L 或 2 1 1 1 2 m m m xm xx L 1 1 nn m mmn xo x n L 函数单调函数单调 性的性的判别判别 函数的极函数的极 值值 函数的函数的 图形的图形的凹凹 凸凸性 性 拐拐点点 1 函数单调性的判断 Th1 设函数 f x在 a b区间内可导 如果对 xa b 都有 0fx 或 0fx 则函数 f x在 a b内是单调增加的 或单调减少 Th2 取极值的必要条件 设函数 f x在 0 x处可导 且在 0 x处取极值 10 及渐近线及渐近线 用函数图用函数图 形描绘函形描绘函 数最大值数最大值 和最小值和最小值 则 0 0fx Th3 取极值的第一充分条件 设函数 f x在 0 x的某一邻域内可微 且 0 0fx 或 f x在 0 x处连续 但 0 fx不存在 1 若当x经过 0 x时 fx由 变 则 0 f x为极大值 2 若当x经过 0 x时 fx由 变 则 0 f x为极小值 3 若 fx经过 0 xx 的两侧不变号 则 0 f x不是极值 Th4 取极值的第二充分条件 设 f x在点 0 x处有 0fx 且 0 0fx 则 当 0 0fx时 0 f x为极小值 注 如果 0 0fx 此方法失效 2 渐近线的求法 1 水平渐近线 若lim x f xb 或lim x f xb 则yb 称为函数 yf x 的水平渐近线 2 铅直渐近线 若 0 lim xx f x 或 0 lim xx f x 则 0 xx 称为 yf x 的铅直渐近线 3 斜渐近线 若 lim lim xx f x abf xax x 则 yaxb 称为 yf x 的斜渐近线 3 函数凹凸性的判断 Th1 凹凸性的判别定理 若在 I 上 0fx 则 f x在 I 上是凸的 或凹的 Th2 拐点的判别定理 1 若在 0 x处 0fx 或 fx不存 在 当x变动经过 0 x时 fx变号 则 00 xf x为拐点 11 Th3 拐点的判别定理 2 设 f x在 0 x点的某邻域内有三阶导数 且 0fx 0fx 则 00 xf x为拐点 弧弧微分 微分 曲曲 率率的概念的概念 曲率半径曲率半径 1 弧微分 2 1 dSy dx 2 曲率 曲线 yf x 在点 x y处的曲率 3 2 2 1 y k y 对于参数方程 xt yt 3 2 22 tttt k tt 3 曲率半径 曲线在点M处的曲率 0 k k 与曲线在点M处的曲率半径 有如下关系 1 k 三三 一元函数一元函数积积分学分学 考试内容考试内容 对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 原原函数和函数和 不不定定积积分分 的概念 的概念 不不 定定积积分的分的 基本性质基本性质 基本性质 1 kf x dxkf x dx 0k 为常数 2 1212 kk f xfxfx dxf x dxfx dxfx dx LL 3 求导 f x dxf x 或微分 df x dxf x dx 4 F x dxF xC 或 dF xF xC C是任意常数 基本基本积积分分 公式公式 1 1 1 kk x dxxC k 1k 2 11 dxC xx 1 2dxxC x 1 lndxxC x 0 1 ee ln x xxx a a dxCaadxC a 12 cossinsincosxdxxCxdxxC 2 2 1 sectan cos dxxdxxC x 2 2 1 csccot sin dxxdxxC x 1 cscln csccot sin dxxdxxxC x 1 secln sectan cos dxxdxxxC x sec tanseccsc cotcscxxdxxCxxdxxC tanln coscotln sinxdxxCxdxxC 222 1 arctanarctan 1 dxxdx CxC aaaxx 222 arcsinarcsin 1 dxxdx CxC a axx 222 111 lnln 2211 dxaxdxx CC aaxxaxx 22 22 ln dx xxaC xa 重要公式重要公式 1 f xl l 设在上连续 则 0 ll l fx dxfxfxdx 0 0 2 l fx fx d xfx 当 为 奇 函 数 当 为 偶 函 数 2f xTa 设 是以为周期的连续函数 为任意实数 则 2 0 2 T aTT T a fx dxfx dxfx dx 222 0 1 3 4 a ax dxa 13 22 00 131 22 2 4 sincos 132 1 23 nn nn n nn xdxxdx nn n nn L L 当 为偶数 当 为奇数 2 0 5sincossincos 0 nm nxmxdxnxmxdx nm 2 0 sincossincos0nxmxdxnxmxdx 2 0 coscoscoscos0 0 nm nxmxdxnxmxdx nm 定定积积分的分的 概念和基概念和基 本性质 本性质 定定 积积分分中值中值 定理定理 1 定定积积分的基本性质分的基本性质 1 bbb aaa f x dxf t dtf u du L 定积分只与被积函数和积分限有关 而与积分变量无关 即 2 ba ab f x dxf x dx 3 b a dxba 4 bbb aaa f xg x dxf x dxg x dx 5 bb aa kf x dxkf x dx k 为常数 6 bcb aac f x dxf x dxf x dx 7 bb aa f xg x xa bf x dxg x dx 比较定理 设则 0 b a f xxa bf x dx 推论 1 当0 时 2 bb aa f x dxf x dx 8 b a mf xM xa bm M m baf x dxM ba 估值定理 设其中为常数 则 14 9 b a f xa ba b f x dxba f 积分中值定理 设在上连续 则在上至少 一个 使 1 b a ff x dx ba 平均值公式 积积分上限分上限 的函数及的函数及 其导数 其导数 牛牛 顿 莱顿 莱 布尼兹布尼兹公公 式式 Th1 x a f xabxab F xf t dtx 设函数 在 上连续 则变上限积分 对 可导 x a dd FxF xf t dtfx dxdx 且 有 x a F xf t dtFxfxx 推论1 设 则 x x x f t dtfxxfxx 推论2 xx xx aa f t g x dtg xf t dt 推论3 x a gxf t dtg x fxx Th2 f xa bxa b 设在 上连续 则 x a f x dtf xa b 是在上的一个原函数 Th3 f xa b牛顿 莱布尼茨公式 设在 上连续 F x f x是的的原原函数 则函数 则 b b a a fx dxF xF bF a 不不定定积积分分 和定和定积积分分 的的换换元元积积 分分法法与分与分 部积部积分分法法 1 不不定定积积分 分 分分部积部积分分法法 udvuvvdu 选择 u dv 的原则 积分容易者选作 dv 求导简单者选为 u 换换元元积积分分法法 f u duF uC 设 fxx dxfxdx 则 uxf u duF uCFxC 设 15 2 定定积积分分 换换元元法法 f xa bxt 设函数 在 上连续 若 满足 0 tt 1 在 上连续 且 2 aabt 并且 当 在 上变化时 tab 的值在 上变化 则 则 b a fx dxftt dt 分分部积部积分公式分公式 u xv xa bu x v x设 在 上具有连续导函数则 aa a b bb u x vx dxu x v xv x ux dx 3 定定积积分分不不等式等式证明中常用证明中常用的的不不等式等式 22 1 2abab 1 2 0 2aa a 3 柯西不等式 222 bbb aaa f x g x dxfx dxgx dx f xg xab 其中 在 上连续 有理函数有理函数 三角三角函数函数 的有理式的有理式 和和简简单无单无 理函数的理函数的 积积分 分 广广义义 积积分和定分和定 积积分的应分的应 用用 1 三角三角函数函数代换代换 函数 f x含根式 所作代换 三角形示意图 22 ax sinxat 22 ax tanxat 22 xa secxat 16 有理函数积分有理函数积分 1 ln A dxAxaC xa 1 1 2 1 1 nn AA dxC n xanxa 2 2 2 2222 4 2 4 3 4 24 p xu nn q p na dxdxdu pq pxpx qua x 令 2212 11 4 2 1 2 nnn x apdx dxa xpx qnxpx qxpx q 2 40pq z y x 标标准二准二次方程次方程及其图形及其图形 名称 方程 图形 椭球面 222 222 1 xyz abc a b c均为正数 ob c z y x 24 单叶双曲面 222 222 1 xyz abc a b c均为正数 双叶双曲面 222 222 1 xyz abc a b c均为正数 椭圆的抛物面 22 22 2 xy pz ab a b p为正数 双曲抛物面 又名马鞍面 22 22 2 xy pz ab a b p均为正数 二次锥面 222 222 0 xyz abc a b c为正数 o y x z 五五 多多元函数微分学元函数微分学 考试内容考试内容 对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 25 多多元函数元函数 的概念 的概念 二二 元函数的元函数的 几何意义几何意义 二元函数二元函数 的极限和的极限和 连续的概连续的概 念 念 二元函数 zf x y 连续 可导 两偏导存在 与可微三者的关系如 下 可导 可微 函数连续 表示可推出 用全微分定义验证一个可导函数的可微性 只需验证 lim0 xy zfx yxfx yy 是否为 有界闭区有界闭区 域域上上多多元元 连续函数连续函数 的性质 的性质 多多 元函数元函数偏偏 导数和导数和全全 微分 微分 全全微微 分存在的分存在的 必要必要条件条件 和和充充分分条条 件件 基本基本原原理理 1 xyyx xyyx Th zf x yfx yfx y Dfx yfx y 求偏导与次序无关定理 设的两个混合偏导数 在区域 内连续 则有 2 Thzf x yP x y zzzz dzdxdy xyxy 可微与偏导存在的关系定理 若在 点处可微 则在该点处必存在 且有 3 Th z zfx yP x y y P x y zfx yP x y 偏 导 存 在 与 可 微 的 关 系 定 理 z 若的 两 个 偏 导 数在 x 上 的 某 领 域 内 存 在 且 在连 续 则在点 处 可 微 多多 元元 复 合复 合 函数 函数 隐函隐函 数 的数 的 求求 导导 法法 二阶二阶偏偏 导数 导数 方向方向 导 数 和导 数 和 梯梯 度度 1 复合复合函数微分函数微分法法 1 zf u v ux y vx y 设则 zzuzv xuxvx zzuzv yuyv y 2 zf u v ux vx z duz dv z u dxv dx 设 dz 则称之为 的全导数 dx 26 3 0 zf x u v ux y vx y zffufv xxuxvx zfufv yuyvy 设 则 注注 复合函数一定要设中间变量 抽象函数的高阶偏导数 其中间变量 用数字 1 2 3 表示更简洁 2 隐函数微分隐函数微分法法 1 0 x y Fx ydy F x y dxFx y 设则 2 0 y x zz Fx y z Fx y zzz F x y z xFx y zyFx y z 则 3 yy x zz x F x y z 0 设由方程组确定的隐函数 G x y z 0 dy dz dx dx 则可通过 dy dz dx dx 解关于的线性方程组 0 0 xyz xyz dydz FFF dxdy dydz GGG dxdx yzx yzx dydz FFF dxdx dydz GGG dxdx 来求解 方向导数和梯度 Th1 设 zf x y 在 000 Mxy处可微 则 f x y在点 000 Mxy沿任意 方向 cos cos l 存在方向导数且 000000 coscos f xyf xyf xy lxy 在平面上l除了用方向角表示外也可用极角表示 cos sin l 0 2 l 是 的极角 此时相应的方向导 数的计算公式为 000000 cossin f xyf xyf xy lxy Th2 设三元函数 uf x y z 在 0000 Mxyz处可微 则 uf x y z 在点 0000 Mxyz沿任意方向 cos cos cos l 存在方向导数且有 27 000000000 coscos f xyzf xyzf xyz lxy 000 cos f xyz z 梯度 zf x y 在点 0 M的方向导数计算公式可改写成 000000 cos cos f xyf xyf xy lxy 000000 cos grad f xylgradf xygrad f xyl 这里向量 0000 00 f xyf xy gradf xy xy 成为 zf x y 在点 0 M的梯度 向量 00 f xy l l 随 而变化 00 00 grad f xy l grad f xy 即沿梯度方向时 方 向导数取最大值 00 grad f xy 空空间间曲线曲线 的的切线切线和和 法平面法平面 曲曲 面面的的切平切平 面面和和法线法线 1 曲线曲线的的切线切线及及法平面方程法平面方程 0000 1 xx t yy txyztt zz t 曲线在 000 000 xxyyzz x ty tz t 处的切线方程 000000 0 x txxy tyyz tzz 法平面方程 2 空间曲线 的一般式方程为 0 0 F x y z G x y z 000 P xyz 则在曲线 的 处的 000 ppp xxyyzz F GF GF G y zz xx y 切线方程 法线方程法线方程 28 000 0 ppp F GF GF G xxyyzz y zz xx y 2 空空间间曲面曲面在其上在其上某某点点处处的的切平面切平面和和法线方程法线方程 000 1 zf x yP x y z 设曲面为显示方程则在上一点处的 000 0 p p zz xxyyzz xy 切平面方程 000 1 p p xxyyzz z z x y 法线方程 000 2 0 F x y zP x y z 设曲面为隐式方程 则在上一点的 000 0 xyz p p FxxFyyFzz 切平面方程 000 xpypzp xxyyzz FFF 法线方程 二元函数二元函数 的二阶的二阶泰泰 勒勒公式 公式 多多 元函数的元函数的 极极值值和和条条 件件极极值值 多多 元函数的元函数的 最最大大值值 最最 小小值值及其及其 简简单应单应用用 1 多多元函数的极元函数的极值值 定义 定义 00 zf x yP x y 设函数在的某邻域内有定义 若若对对于于该邻该邻域域 内内异异于于 00 P xy 点的任一 Q x y点恒有 0000 f x yf xyf xy 或 00 f xyf x y则称为的极小值 极大极大值值 00 00 00 00 1 0 0 x y Th zfx yP xy fxy P xyzfx y fxy 取极值的必要条件 设在点的一阶偏导数存在 且 是的极值点 则 29 00 000 2 0 0 xy Th zfx yP xy fxyfxy 0 函 数 取 极 值 的 充 分 条 件 设在点 的 某 邻 域 内 有 连 续 的 二 阶 偏 导 数 且 222 000000 0 xyxy fxyfxyfxy 若或则为极小值点 22 000000 0 0 xy fx yfx yP x y 2 若或则为极大值点 2 无无条件条件极极 值值 解题程序 0 1 zf x yxy 0 求出的驻点 00 2 2 Thxy用判别是否为极值点 是 00 f xy则为 zf x y 的极值 3 条件极值 拉格朗日乘数法 1 x yzf x y 由条件 0 求的极值 解题程序 F x yf x yx y 令 00 0 0 0 xx yy fx yx y fx yx yxy x y 解方程组 求驻点 00 f xyf x y即为的极值 存在的话 30 0 0 00 00 2 0 0 0 0 xx yy zz uf x y z F x y zx y z fx yzx y z fx y zx y z fx y zx y z x y z x y zf x y zf x y z 由条件 x y z 0 求的极值 解题程序 令 解方程组 若 为其解即为的极值 若存在的话 12 1122 3 0 0 12 x y zx y zuf x y z F x y zf x y zx y zx y z 由条件 求函数的极值 解题程序 令 以下仿 六六 多元函数积分学多元函数积分学 考试内容考试内容 对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 二 重 积 分二 重 积 分 与 三 重 积与 三 重 积 分的概念分的概念 性质 性质 计算计算 和应用和应用 1 二重积分 二重积分 0 11 i I lim 1 2 max n iiii d i ni i f x y dfdd din L D 其中 为的直径 几何意义 几何意义 0 I D zf x yx yDzf x y 当时 而二重积分 表示以 为曲顶 以 为底的柱体体积 2 三重积分 三重积分 0 11 D i I lim 1 2 max n iiiii d i ni i F x y z dvfvdd dvin L 其中 为的直径 物理意义 物理意义 If x y z 三重积分 表示体密度为的空间形体 的质量 3 性质性质 只叙述二重积分的性质 三重积分类似只叙述二重积分的性质 三重积分类似 1 D kf xykf x yk D d d 为常数 31 2 DD f x yg x y df x y dg x y d 3 1 i n i i DD f x y df x y dD 其中为 D的构成子域且任两个子域没 有重迭部分1 2 im L 4 D dAAD 其中 为 的面积 5 比较定理 比较定理 DD Df x yg x yf x y dg x y d 若在 上恒有则 6 M mf x yD估值定理 设分别为在闭域 上的最大与最小值 AD为 的面积 则 D mAf x y dMA 7 f x yDAD Df x y dfA D 中值定理 若在闭域 上连续 为 的面积 则在 上至少 一点 使 8 二重积分的对称性原理对称性原理 xf x yy f x y D 1 如果积分域D关于 轴对称 为 的奇偶函数 则二重积分d 1 0 2 D fyf xyf x y f x y dff xyf x y 关于 为奇函数 即 关于y为偶函数 即 DD 1为 在上半平面部分 这个性质的几何意义见图 a b 32 yf x yx2 如果积分域D关于 轴对称 为 的奇偶函数 f x y D 则二重积分d 2 0 2 D fxfx yf x y f x y dfxfx yf x y 关于 的奇函数 即 关于 为偶函数 即 DD 2为 在右半平面部分 f x yx y3 如果D关于原点对称 同时为的奇偶函数 f x y D 则二重积分d 2 0 2 D ffxyf x y f x y dffxyf x y 关于x y的奇函数 即 关于x y为偶函数 即 DD 1为 在上半平面部分 yxf x yf x y DD 4 如果D关于直线对称 则dd 注 注 注意到二重积分积分域 D 的对称性及被积函数 f x y的奇偶性 一方面可减少计算量 另一方面可避免出差错 要特别注意的是仅当积 分域 D 的对称性与被积函数 f x y的奇偶性两者兼得时才能用性质 8 两类曲线两类曲线 积分的概积分的概 念 念 性质及性质及 计算 计算 两类两类 曲线积分曲线积分 的关系 的关系 格格 林公式 林公式 平平 1 平面曲线积分与路径无关的四个等价条件平面曲线积分与路径无关的四个等价条件 设函数 P x y Q x y在单连通区域 D 上具有一阶连续偏导数 则 L PdxQdy 与路径无关 QP x yD xy 33 面曲线积面曲线积 分与分与路路径径 无关的无关的条条 件件 0 L PdxQdyL 为一简单分段光滑封闭曲线 存在函数 u x yx yD 使 du x yPdxQdy 且 00 x y xy u x yPdxQdy 2 格林公式 设平面上的有界闭区域D由分段光滑的曲线L围成 函数 P x y Q x y在有D连续的一阶偏导数 则有 L D QP dxdyPdxQdy xy 或者 L D QP dxdyPdxQdy xy 二元函数二元函数 全全微分的微分的 原原函数 函数 两两 类类曲面积曲面积 分的概念分的概念 性质及性质及计计 算 算 两类两类曲曲 面积面积分的分的 关系 关系 高高斯斯 公式 公式 斯托斯托 克斯克斯 公式 公式 1 高斯 Gauss 公式 设 是空间中的有界闭区域 由分块光滑的曲面所S围成 函数 P x y z Q x y z R x y z在 由连续的一阶偏导数 则 coscoscos S S PQR dVPdydzQdzdxRdxdy xyz PQR dVPQRdS xyz 或 这里S是 的整个边界的外侧 即取外法向 cos cos cos 是S上点 x y z处的外法向量的方向余弦 2 斯托克斯公式 设 为分段光滑的又向闭曲线 S是以 为边界的分块光滑有向曲面 的 正 向 与S的 侧 即 法 向 量 的 指 向 符 合 右 手 法 则 函 数 P x y z Q x y z R x y z在包含S的一个空间区域内有连续的一阶偏 导数 则有 S RQPRQP dydzdzdxdxdyPdxQdyRdz yzzxxy S dydzdzdxdxdy PdxQdyRdz xyz PQR 或 34 cos cos cos S RQPRQP yzzxxy PdxQdyRdz 散 度散 度 和和 旋旋 度度 的 概 念的 概 念 及及计计算 算 曲曲 线 积线 积 分 和分 和 曲 面 积曲 面 积 分分 的应的应用用 1 散度的计算公式 设 AP x y z iQ x y z jR x y z k P Q R u vvvv 均可导 则A u v 在 P x y z 点处的散度为 PQR divA xyz u v 2 旋度的计算公式 设有矢量场 AP x y z iQ x y z jR x y z k u vvvv 其中 P Q R均有连续 的一阶偏导数 则旋度rotA uv 为 ijk rotA xyz PQR vvv u v 七七 无穷无穷级级数数 考试内容考试内容 对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 常常 数数 项 级项 级 数 的数 的 收 敛收 敛 与与 发 散发 散 的的 概念 概念 收敛收敛 级级 数 的 和数 的 和 的 概 念的 概 念 级级 数 的 基 本数 的 基 本 性 质 与性 质 与 收收 敛敛 的 必 要的 必 要 条件条件 1 级级数数 1 n n u 的性质 的性质 11 1 0 nn nn cucu 设的 常 数 则与有 相 同 敛 散 性 11 2 nn nn uv 设 有 两 个 数 级与 111 nnnn nnn usvuvs 若则 111 nnnn nnn uvuv 若收 敛 发 散 则发 散 35 111 nnnn nnn uvuv 若均 发 散则敛 散 性 不 定 注 添加或去消有限项不影响一个级数的敛散性 设级数 1 n n u 收敛 则对其各项任意加括号后所得新级数仍收敛于原级 数的和 几 何几 何 级级 数数 与与 p 级级数数 以以 及及 他 们他 们 的的收敛收敛性性 正 项 级正 项 级 数数 收 敛收 敛 性 的性 的 判别法判别法 正项级正项级数数 1 n n u 0 n u 的 的判判敛敛法法 1 0 nn uv 比较判敛法 设若 11 nn nn uv 收敛 则收敛 11 nn nn uv 发散 则发散 2 11 nn nn uv 比较法的极限形式 设及均为正项级数 lim 0 n n n n u A v v 且 11 1 0 nn nn Avu 若且收敛 则收敛 11 2 0 nn nn Avu 若且发散 则发散 两个常用的比较级数 1 1 1 1 1 n n a r iarr r 收敛 1时 级数 发散 1时 3 比比值判别法值判别法 达朗贝尔准则 适用于通项 n u中含有 n 或关于 n 的 若干连乘积形式 1 0 1 2 nn n unu L设对于来讲 1 1 1 1 1 lim 1 n n n n n n n u u u u 的判敛法的判敛法 莱布尼兹准则 莱布尼兹准则 1 1 1 0 n nn n uu 若交错级数满足条件 1 1 1 2 2 lim0 nnn n uunu LL 则交错级数收敛 其和 1 Su 其 n 项余和的绝对值 1 nn Ru 函数项级函数项级 数的收敛数的收敛 域与和函域与和函 数的概念数的概念 幂级数及幂级数及 其收敛半其收敛半 径 径 收敛区收敛区 间间 指开区指开区 间间 和收敛和收敛 域 域 幂级数幂级数 的和函数的和函数 1 幂级数 幂级数 2 012 0 nn nn n aa xa xa xa x LL 1 1 lim n n n a R a 收敛半径 若则 2 函数函数项级项级数数 1 n n ux 收敛收敛域域的的求求法法步骤步骤 1 x 用比值 或根值 法求 即 1 lim lim n n n nn n ux xuxx ux 或 1 2 n n xuxa b 解不等式方程1 求出的收敛区间 11 3 nn nn xaxbuau b 考察 或 时 或 的敛散性 1 4 n n ux 写出的收敛域 幂级幂级数在数在 其其收敛收敛区区 间内的基间内的基 本性质 本性质 简简 单单幂级幂级数数 的和函数的和函数 的的求求法法 初初 等等幂级幂级数数 展开展开式式 1 幂级数的四则运算性质 00 nn nn nn a xf xb xg x 设其收敛半径分别为 1212 min R R RR R xR R 则对有 1 000 nnn nnnn nnn a xb xab xf xg x 且在 R R 内绝对收敛 2 0111 10 000 nnn nnnnnn nnn a xb xa bababa b x L 37 f x g x 3 0 0 0bx 设则在的足够小邻域内 201 012 01 n nn n n n aa xa xf x CC xC xC x g xbb xb x LL LL LL 利用多项式的长除法可得 01 00 1 01 2 00 aa ba b CC bb L 2 幂级数的分析性质 0 n n n a xRRR 设幂级数的收敛半径为 则在 内有 1 0 n n n a xf x 的和函数 是连续的 2 00 nn nxn nn a xfa x 可逐项微分 且 1 00 nn nn nn a xna x 3 00 x nn nn nn a xf tta tdt x 00 可逐项积分 且 d 1 0 00 1 x nnn n nn a a t dtx n 3 函数的幂级数展开 泰勒级数 0 f xxx 设 在的某一邻域内具有任意阶导数 200 00000 0 2 n n n fxfx xxf xf xxxxx n L级数 0 0 n n fx xx n L 0 f xxx 称为 在处的泰勒级数 38 2 0 0 0 0 0 0 0 2 n n n ff xxffxx n L当时 级数化为 0 n n f x n L 称为麦克劳林级数 0 0 0 1 1 000 lim 0 1 R 01 1 n n n n nn n Thf xxx fx xx n f xRx xfxxxxx n n 0 设在某领域内具有任意阶导数 则泰勒级数 收敛于的充分条件 其中 4 常见的幂级数展开式 1 2 0 1 1 1 1 1 nn n uuuu u LL 2 2 0 1 1 1 1 1 1 1 nnnn n uuuu u LL 3 2 0 1 2 nn u n uuu eu nn LL 4 32121 0 sin 1 1 3 21 21 nn nn n uuu uu nn LL 5 2422 0 cos1 1 1 2 4 2 2 nn nn n uuuu u nn LL 6 2311 0 ln 1 1 1 1 1 2311 nn nn n uuuu uu nn LL 7 2 1 1 1 1 1 2 an a aa aan uauuu n L LL 随a的不同 而不同 但在 1 1 总有意义 39 函 数 的函 数 的 傅傅 立立 叶叶 系 数系 数 与与 傅傅 立立 叶叶 级级数 数 狄利狄利 克雷克雷定理定理 函数在函数在 l l 上的上的 傅傅 立立 叶 级叶 级 数数 1 2 0 2 f x 设是以为周期的函数 且在 或 上可积 则 2 0 11 cos cos 0 1 2 n af xnxdxf xnxdx n L 2 0 11 sin sin 1 2 n bf xnxdxf xnxdx n L f x称为的傅立叶系数 2 0 1 1 cossin 2 nn n f xaanx bnx 的傅立叶系数为系数的三角级数 0 1 1 cossin 2 nn n f xf xaanxbnx 称为的傅立叶级数 记为 3 2 f xll l设是以 为周期的函数 且在上可积 则以 n 1 a cos 0 1 2 l l n f xxdx n ll L 1 sin 0 1 2 l n l n bf xxdx n ll L 0 1 1 cossin 2 nn n nn aaxbx ll 为系数的三角级数 0 1 1 cossin 2 nn n nn f xf xaaxbx ll 称为的傅立叶级数 记为 f x 1 f x 3狄里赫莱收敛定理 设函数在上满足条件 除有限个第一类间断点外都连续 2 只有有限个极值点 则的傅立叶级数在 上收敛 且有 0 000 1 0 1 cossin 0 0 22 1 0 0 2 nn n f x x f x a ax bnxf xf xxf x ffx 为的 连 续 点 为 的 第 一 类 间 断 点 40 函数在函数在 0 l上 的上 的 正 弦 级 数正 弦 级 数 与 余 弦 级与 余 弦 级 数数 1 f x为 0 l上的非周期函数 令 0 0 f xxl F x fxlx 则 0 1 cos 2 n n an f xax l 余弦级数 其中 0 2 cos l n n af xxdx ll n 0 1 2 2 f x为 0 l上的非周期函数 令 0 0 f xxl F x fxlx 则 F x除 x 0 外在区间 上 为奇函数则 1 sin n n n f xbx l 正弦级数 其中 0 2 sin l n n bfxxdx ll n 1 2 八八 常常微分微分方程方程 考试内容考试内容 对应公式 定理 概念对应公式 定理 概念 常常微分微分方方 程程的基本的基本 概念 概念 变量变量 可可分分离离的的 微分微分方程方程 1 常微分方程 含有自变量 未知函数及未知函数的某些导数的方程式 称微分方程 而当未知函数是一元函数时称为常微分方程 2 可分离变量方程 1122 0f x gy dxfx gy dy 解 法 两 边 同 除 12 0gy fx 得 12 21 0 f xgy dxdy fxgy 12 21 f xgy dxdyC fxgy 奇奇次次微分微分 方程方程 一阶一阶 线线性微分性微分 1 齐次方程 y yf x 41 方程方程 伯努伯努 利利方程方程 全全 微分微分方程方程 解法 令 y u x 则yux du yux dx 于是 原方程 ln dududxdu uxf uxC dxf uuxf uu 2 可化为齐次型的方程 111 222 a xb ycdy f dxa xb yc 解法 1 当 12 0cc 时 11 11 22 22 y ab a xb ydyy x ffg y dxa xb yx ab x 属于 2 2 11 22 0 ab ab 即 11 22 ab ab 则 221 22 222 a xb ycdy fg a xb y dxa xb yc 令 22 a xb yu 则 22 du ab f u dx 属于 1 3 11 12 22 0 ab c c ab 不全为 0 解方程组 111 222 0 0 a xb yc a xb yc 求交点 令 xXyY 则原方程 dyX dXY 属于 2 3 一阶线性方程 yp x yq x 解法 用常数变易法求 1 求对应齐次方程 0yp x y 的通解 p x dx yCe 2 令原方程的解为 p x dx yC x e 3 代入原方程整理得 42 p x dxp x dx C x eq xC xq x edxC 4 原方程通解 p x dxp x dx yq x edxC e 4 贝努里方程 n yp x yq x y 其中0 1n 解 法 令 1 n Zy 则 方 程 1 1 dz p x zq x n dx 1 1 dz n p x zn q x dx 属于 3 5 全微分方程 0M x y dxN x y dy 为全微分方程 MN yx 通解为 00 0 xy xy M x y dxN x y dyC 可用简可用简单单 的的变量代变量代 换换求求解解的的 某些某些微分微分 方程方程 可可降降 阶的高阶阶的高阶 微分微分方程方程 线线性微分性微分 方程解方程解的的 性质及性质及解解 的的结构结构定定 理理 注 这里只限于讨论二阶线性方程 其结论可推广到更高阶的方程 二 阶线性方程的一般形式为 yp x yq x yf x 8 1 其中 p x q xf x均为连续函数 当右 端项 0f x 时 称为二阶线性齐次方程 否则称为非齐次方程 解的性质与结构