数学人教版九年级上册二次函数与一元二次方程的关系.docx

二次函数和一元二次方程 的关系教学设计一 教学设计思路通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。二 教学目标1 知识与技能（1）经历探索函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系。总结出二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系，表述何时方程有两个不等的实根、两个相等的实数和没有实根（2）会利用图象法求一元二次方程的近似解。2 过程与方法经历探索二次函数与一元二次方程的关系的过程，体会方程与函数之间的联系三 情感态度价值观通过观察二次函数图象与x轴的交点个数，讨论一元二次方程的根的情况培养学生自主探索意识，从中体会事物普遍联系的观点，进一步体会数形结合思想四 教学重点和难点重点：方程与函数之间的联系，会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。难点：二次函数与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。五 教学方法讨论探索法六 教学过程设计（一）问题的提出与解决问题 如图，以20m/s的速度将小球沿与地面成30角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有关系h20t5t2。考虑以下问题（1）球的飞行高度能否达到15m？如能，需要多少飞行时间？（2）球的飞行高度能否达到20m？如能，需要多少飞行时间？（3）球的飞行高度能否达到20.5m？为什么？（4）球从飞出到落地要用多少时间？分析：由于球的飞行高度h与飞行时间t的关系是二次函数h=20t5t2。所以可以将问题中h的值代入函数解析式，得到关于t的一元二次方程，如果方程有合乎实际的解，则说明球的飞行高度可以达到问题中h的值：否则，说明球的飞行高度不能达到问题中h的值。解：（1）解方程 1520t5t2。 t24t3=0。 t11,t23。当球飞行1s和3s时，它的高度为15m。（2）解方程 2020t5t2。 t24t40。 t1t22。当球飞行2s时，它的高度为20m。（3）解方程 20.520t5t2。 t24t4.10。因为（4）244.10。所以方程无解。球的飞行高度达不到20.5m。（4）解方程 020t5t2。 t24t0。 t10,t24。当球飞行0s和4s时，它的高度为0m，即0s时球从地面飞出。4s时球落回地面。由学生小组讨论，总结出二次函数与一元二次方程的解有什么关系？例如：已知二次函数yx24x的值为3。求自变量x的值。分析 可以解一元二次方程x24x3（即x24x30） 。反过来，解方程x24x30又可以看作已知二次函数yx243的值为0，求自变量x的值。一般地，我们可以利用二次函数yax2bxc深入讨论一元二次方程ax2bxc0。（二）问题的讨论二次函数（1）yx2x2；（2） yx26x9；（3） yx2x0。的图象如图26.22所示。（1）以上二次函数的图象与x轴有公共点吗？如果有，有多少个交点，公共点的横坐标是多少？（2）当x取公共点的横坐标时，函数的值是多少？由此，你能得出相应的一元二次方程的根吗？先画出以上二次函数的图象，由图像学生展开讨论，在老师的引导下回答以上的问题。可以看出：（1）抛物线yx2x2与x轴有两个公共点，它们的横坐标是2，1。当x取公共点的横坐标时，函数的值是0。由此得出方程x2x2=0的根是2,1。（2）抛物线yx26x9与x轴有一个公共点，这点的横坐标是3。当x3时，函数的值是0。由此得出方程x26x9=0有两个相等的实数根3。（3）抛物线yx2x1与x轴没有公共点， 由此可知，方程x2x1=0没有实数根。总结：一般地，如果二次函数y= 的图像与x轴相交，那么交点的横坐标就是一元二次方程 =0的根。（三）归纳一般地，从二次函数yax2bxc的图象可知，（1）如果抛物线yax2bxc与x轴有公共点，公共点的横坐标是x0，那么当xx0时，函数的值是0，因此xx0就是方程ax2bxc0的一个根。（2）二次函数的图象与x轴的位置关系有三种：没有公共点，有一个公共点，有两个公共点。这对应着一元二次方程根的三种情况：没有实数根，有两个相等的实数根，有两个不等的实数根。由上面的结论，我们可以利用二次函数的图象求一元二次方程的根。由于作图或观察可能存在误差，由图象求得的根，一般是近似的。（四）例题例 利用函数图象求方程x22x20的实数根（精确到0.1）。解：作yx22x2的图象（如图），它与x轴的公共点的横坐标大约是0.7,2.7。所以方程x22x20的实