二无界函数反常积分的审敛法备课讲稿.doc

二无界函数反常积分的审敛法备课讲稿 YANGZHOU UNIVERSITY 二、无界函数反常积分的审敛法第五节反常积分无穷限的反常积分无界函数的反常积分 一、无穷限反常积分的审敛法机动目录上页下页返回结束反常积分的审敛法?函数第五章YANGZHOU UNIVERSITY 一、无穷限反常积分的审敛法定理1.,0)(,),)(?x f a C x f且设若函数?xat t f x F d)()(.d)(收敛则反常积分?ax x f机动目录上页下页返回结束,),上有上界在?a证证:,0)(?x f?,),)(上单调递增有上界在?a xF根据极限收敛准则知?xax xttf xFd)(lim)(lim存在,.d)(收敛即反常积分?ax x fYANGZHOU UNIVERSITY定理2.(比较审敛原理),),)(?a C x f设有分大的x且对充)()(0x g x f?,则收敛x x gad)(?收敛x x fad)(?发散x x fad)(?发散x x gad)(?机动目录上页下页返回结束证证:不失一般性,),时设?a x)()(0xgx f?,d)(收敛若x xga?有则对a t?x x ftad)(?x xgtad)(?x xgad)(?的是故t x x ftad)(?因此单调递增有上界函数,YANGZHOU UNIVERSITYx x f x x fatatd)(d)(lim?.d)(收敛即反常积分x x fa?机动目录上页下页返回结束,d)(发散若x x fa?时有因为a t?x xgx x ftatad)(d)(0?,?t令.)(必发散可见反常积分x d xga?说明:已知?xxapd11,?p收敛1,?p发散)0(?a,)0()(作比较函数故常取?AxAx gp得下列比较审敛法.极限存在,YANGZHOU UNIVERSITYYANGZHOU UNIVERSITY例例1.判别反常积分xxxd1sin1342?解解:的敛散性.机动目录上页下页返回结束3421sin0?xx?341x?341x?由比较审敛法1可知原积分收敛.思考题:讨论反常积分xxd11133?的敛散性.提示:当x1时,利用11)1(1113333?xx x可知原积分发散.YANGZHOU UNIVERSITY定理4.(极限审敛法1)机动目录上页下页返回结束,0)(,),)(?x f a Cx f且若;d)(收敛时x x fa?.d)(发散时x x fa?l p0,1?l p0,1l x f xpx?)(lim则有:1)当2)当证证:,1时当?p根据极限定义,对取定的,0?当x充分大时,必有?l x f xp)(,即pxMx f?) (0)(?l M;d)(收敛可见x xfa?满足YANGZHOU UNIVERSITY当机动目录上页下页返回结束.d)(发散可见x xfa?,1时?p可取,0?必有?l xf xp)(即pxlx f?)()(?l NxN,0?l使时用任意正?l(,)?l N代替数pxxpxx fxf x1)(lim)(lim?注意:此极限的大小刻画了.0)(的快慢程度趋于时xfx?YANGZHOU UNIVERSITY例例2.判别反常积分?121dx xx的敛散性.解解:2211limx xxx?机动目录上页下页返回结束11lim21?xx1?根据极限审敛法1,该积分收敛.例例3.判别反常积分xxxd11223?的敛散性.解解:21lim2321xxxx?221limxxx?1?根据极限审敛法1,该积分发散.YANGZHOU UNIVERSITY定理5.机动目录上页下页返回结束,d,),)(收敛）（且若?ax xfa Cxf.d)(收敛则反常积分?ax xf证,)()()(21xfxfx?令则)()(0xfx?,d收敛）（?ax xf?,d)(也收敛?ax x?)() (2)(xfx xf?x xfx x x xfaa ad)(d)(2d)(?而.d)(收敛可见反常积分x xfa?YANGZHOU UNIVERSITY定义.设反常积分,d)(收敛x xfa?x xfad)(?,d)(收敛若?ax xf机动目录上页下页返回结束则称绝对敛收敛;x xfad)(?,d)(发散若?ax xf则称条件收敛.例例4.判断反常积分)0,(d sin0?a b a bx ex a为常数的敛散性.解解:,sinx ax ae x be?因,d0收敛而x exa?根据比较审敛原理知,d sin收敛?ax axbx e故由定理5知所给积分收敛(绝对收敛).YANGZHOU UNIVERSITY无界函数的反常积分可转化为无穷限的反常积分分. 二、无界函数反常积分的审敛法,)(,()(的瑕点为设xfa ba Cxf?机动目录上页下页返回结束由定义?babax xfx xf?d)(lim d)(0则有令,1ta x?例如?1120d)1(lim d)(a bttta fx xfba?a bttta f12d)1(因此无穷限反常积分的审敛法完全可平移到无界函数的反常积分中来.YANGZHOU UNIVERSITY定理6.(比较审敛法2)定理3目录上页下页返回结束为设非负函数a baCxf,)(?,0)1?M若存在常数qa xMxf)()(?;d)(收敛则xxfba?,0)2?N若存在常数a xNxf?)(.d)(发散则xxfba?,1?q瑕点,有有利用?xa xbaqd)(11,?q收敛1,?q发散有类似定理3与定理4的如下审敛法.使对一切充分接近a的x(xa).YANGZHOU UNIVERSITY定理7.(极限审敛法2)定理4目录上页下页返回结束，且若0)(,()(?xfbaCxf;d)(,收敛时xxfba?.d)(,发散时xxfba?l q0,10?l q0,1l xfaxqx?)()(lim则有:1)当2)当例例5.判别反常积分.lnd31的敛散性?xx解解:,1为瑕点此处?x利用洛必达法则得xxx ln1)1(lim1?xx111lim?1?根据极限审敛法2,所给积分发散.YANGZHOU UNIVERSITY例例6.判定椭圆积分定理4目录上页下页返回结束)1()1)(1(d210222?kx kxx的敛散性.解解:,1为瑕点此处?x由于?1limx21)1(?x)1)(1(1222x kx?)1)(1(1lim221x kxx?)1(212k?根据极限审敛法2,椭圆积分收敛.YANGZHOU UNIVERSITY类似定理5,有下列结论:,)(d)(?baa xxf收敛为瑕点若反常积分机动目录上页下页返回结束例例7.判别反常积分xxxdln10?的敛散性.解解:,d)(?bax xf收敛称为绝对收敛.,0为瑕点此处?x,0ln lim410?x xx因,1ln,41?xxx有的故对充分小从而4141ln lnxxxxx?411x?据比较审敛法2,所给积分绝对收敛.则反常积分YANGZHOU UNIVERSITY 三、?函数1.定义:函数?机动目录上页下页返回结束下面证明这个特殊函数在0?s内收敛.?1121011d,dx e xI xe x Ix s x s.)11I讨论)0(d)(01?s xe x sx s令;,11是定积分时当I s?,10时当?sx sx se xex1111?sx?11,11?s而.21收敛知根据比较审敛法I)(的反常积分含参变量sYANGZHOU UNIVERSITY机动目录上页下页返回结束)(1x sex?xsxex1lim?.)22I讨论?2limxx?0?112dx exIxs.12收敛知根据极限审敛法I综上所述,21)(I Is?.0上收敛在?sYANGZHOU UNIVERSITY2.性质 (1)递推公式机动目录上页下页返回结束证证:?0d)1(xexsx s)0()()1(?s s s s(分部积分)?0dx sex?01d0xexse xxs xs)(s s?注意到:?0d)1(x ex1?有,N?n)()1(n n n?)1()1(?nnn)1(!?n?!n?YANGZHOU UNIVERSITY (2)机动目录上页下页返回结束证证:,)1()(sss?.)(,0?s s时当1)1(?,0)(连续在且可证明?s s?)(,0ss时 (3)余元公式:)10()sin()1()(?sss s?有时当,21?s?)(21(证明略)YANGZHOU UNIVERSITY (4)机动目录上页下页返回结束得令,2u x?的其他形式)(s?)0(d)(01?sxexsxs)0(d2)(0122?s uu ess u,12t s?再令,21ts?即得应用中常见的积分?)1(2121d02?ttu euu t这表明左端的积分可用?函数来计算.例如,?0d2u eu?2121?2?YANGZHOUUNIVERSITY内容