（储瑞年）关注热点问题 探索思维规律.ppt

关注热点问题探索思维规律2010 3 13利德智达 数学是一门思维的科学 思维能力是数学学科能力的核心 数学思维能力是以数学知识为素材 通过空间想象 直觉猜想 归纳抽象 符号表示 运算求解 演绎证明和模式构建等诸方面 对客观事物中的空间形式 数量关系和数学模式进行思考和判断 形成和发展理性思维 构成数学能力的主体 一 充分性与必要性 例1设p f x x3 2x2 mx 1在 内单调递增 q m 则p是q的a 充分不必要条件b 必要不充分条件c 充要条件d 既不充分也不必要条件 f x x3 2x2 mx 1在 内单调递增 例2三个同学对问题 关于x的不等式x2 25 x3 5x2 ax在 1 12 上恒成立 求实数a的取值范围 提出各自的解题思路 甲说 只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值 乙说 把不等式变形为左边含变量x的函数 右边仅含常数 求函数的最值 丙说 把不等式两边看成关于x的函数 作出函数图像 参考上述解题思路 选择你认为正确的思路 可得a的取值范围是 例3平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个 如两组对边分别平行 类似地 写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件 充要条件 充要条件 例4数列 an bn cn 满足 bn an an 2 cn an 2an 1 3an 2 n n 证明 an 为等差数列的充分必要条件是 cn 为等差数列 且bn bn 1 n n 必要性设 an 是公差为d1的等差数列 则bn 1 bn an 1 an 3 an an 2 an 1 an an 3 an 2 d1 d1 0 所以bn bn 1 n 1 2 3 成立 又cn 1 cn an 1 an 2 an 2 an 1 3 an 3 an 2 d1 2d1 3d1 6d1 常数 n 1 2 3 所以数列 cn 为等差数列 充分性设数列 cn 是公差为d2的等差数列 且bn bn 1 n 1 2 3 cn an 2an 1 3an 2 cn 2 an 2 2an 3 3an 4 得cn cn 2 an an 2 2 an 1 an 3 3 an 2 an 4 bn 2bn 1 3bn 2 cn cn 2 cn cn 1 cn 1 cn 2 2d2 bn 2bn 1 3bn 2 2d2 从而有bn 1 2bn 2 3bn 3 2d2 得 bn 1 bn 2 bn 2 bn 1 3 bn 3 bn 2 0 bn 1 bn 0 bn 2 bn 1 0 bn 3 bn 2 0 由 得bn 1 bn 0 n 1 2 3 由此不妨设bn d3 n 1 2 3 则an an 2 d3 常数 由此cn an 2an 1 3an 2 4an 2an 1 3d3 从而cn 1 4an 1 2an 2 3d3 4an 1 2an 5d3 两式相减得cn 1 cn 2 an 1 an 2d3 因此an 1 an cn 1 cn d3 d2 d3 常数 n 1 2 3 所以数列 an 是等差数列 二 存在性与唯一性 例5函数r 区间m a b a b 集合n y y f x x m 则使m n成立的实数对 a b 有a 0个b 1个c 2个d 无数多个 解法一解法二 例6两相同的正四棱锥组成如图所示的几何体 可放入棱长为1的正方体内 使正四棱锥的底面abcd与正方体的某一个平面平行 且各顶点均在正方体的面上 则这样的几何体体积的可能值有a 1个b 2个c 3个d 无穷多个 例7设有一组圆ck x k 1 2 y 3k 2 2k4 k n 四个命题 存在一条定直线与所有的圆均相切 存在一条定直线与所有的圆均相交 存在一条定直线与所有的圆均不相交 所有的圆均不经过原点其中真命题的代号是 圆ck x k 1 2 y 3k 2 2k4 k n 的圆心为 k 1 3k 圆心轨迹是直线y 3x 3 半径为直线y 3x 3与所有的圆ck都相交 b真 将原点坐标代入 得10k2 2k 1 2k4 k n 左边是奇数 右边是偶数 不可能成立 d真 当k 时 半径无限增大 a c假 例8已知椭圆的离心率为 过右焦点f的直线l与c相交于a b两点 当l的斜率为1时 坐标原点o到l的距离为 1 求a b的值 2 c上是否存在点p 使得当l绕f转到某一位置时 有成立 若存在 求出所有的p的坐标与l的方程 若不存在 说明理由 三 不变性与不变量 例9函数y loga x 3 1 a 0 a 1 的图象恒过定点a 若点a在直线mx ny 1 0上 其中mn 0 则的最小值为 函数y loga x 3 1 a 0 a 1 的图象恒过定点a 2 1 2m n 1 0 例10过抛物线y ax2 a 0 的焦点f作一直线交抛物线于p q两点 若线段pf与fq的长分别为p q 则等于 取pq为抛物线y ax2 a 0 的通径 则 例11坐标原点为o 抛物线y2 2x与过焦点的直线交于a b两点 则 a b c 3d 3 抛物线y2 2x的焦点是取ab为抛物线y2 2x的通径 则 例12已知椭圆c的中心在坐标原点 焦点在x轴上 椭圆c上的点到焦点距离的最大值为3 最小值为1 1 求椭圆c的标准方程 2 若直线l y kx m与椭圆c相交于a b两点 a b不是左右顶点 且以ab为直径的圆过椭圆c的右顶点 求证 直线l过定点 并求出该定点的坐标 1 由题意设椭圆的标准方程为 由已知得 a c 3 a c 1 解得a 2 c 1 b2 a2 c2 3 椭圆的标准方程为 2 设a x1 y1 b x2 y2 联立消元 得 以ab为直径的圆过椭圆的右顶点 2 0 四 推理与证明 例13观察下列等式 由以上等式推测一个一般的结论 对于n n 3 7 11 15 4n 1 1 3 5 7 2n 1 例14平面几何里有勾股定理 设 abc中 ab ac互相垂直 则ab2 ac2 bc2 拓展到空间 类比勾股定理 研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系 可以得出的正确结论是 设三棱锥a bcd的三个侧面abc acd adb两两垂直 则 已知正四面体abcd的表面积为s 其四个面的中心分别为e f g h 设四面体efgh的表面积为t 则等于 例15设f x 3ax2 2bx c 若a b c 0 f 0 0 f 1 0 求证 1 a 0且 2 1 2 方程f x 0在 0 1 内有两个实根 f x 3ax2 2bx cf 0 0 c 0 f 1 0 3a 2b c 0 a b c 0 b a c代入 得a c 0 a b c 0 c a b代入 得a b 0 代入 得2a b 0 2 1 2a0 a b 0 方程f x 0在 0 1 内有两个实根 例16等差数列 an 的前n项和为sn a1 1 s3 9 3 1 求数列 an 的通项与前n项和sn 2 设n 求证 数列 bn 中任意不同的三项都不可能成为等比数列 1 由已知解得d 2 故 2 由 1 得 假设数列中存在三项bp bq br p q r互不相等 成等比数列 则bq2 bpbr 即整理得 p r 2 0 p r 与p q r互不相等矛盾 故 bn 中任意不同三项都不可能成等比数列 五 运动与变换 例17若函数y f x 1 的图像与函数的图像关于直线y x对称 则f x a e2x 1b e2xc e2x 1d e2x 2 例18正四面体abcd的棱长为1 棱ab 平面 则正四面体上的所有点在平面 内的射影构成的图形面积的取值范围是 当棱cd 平面 时 射影构成的三角形abe面积最小 最小面积为s abe 当棱cd 平面 时 射影构成的四边形afeb面积最大 最大面积为故正四面体上的所有点在平面内的射影构成的图形面积的取值范围是 例19如图 动点p在正方体abcd a1b1c1d1的对角线bd1上 过点p作垂直于平面bb1d1d的直线 与正方体表面相交于m n 设bp x mn y 则函数y f x 的图象大致是 例20如图 等腰 abc的底边 高cd 3 点e是线段bd上异于点b d的动点 点f在bc边上 且ef ab 现沿ef将 bef折起到 pef的位置 使pe ae 记be x v x 表示四棱锥的体积 1 求v x 的表达式 2 当x为何值时 v x 取得最大值 3 当v x 取得最大值时 求异面直线ac与pf所成角的余弦值 1 由折起过程知 pe 平面abc 故pe是四棱锥的高 由ef bc 得 六 统计与概率 例21甲 乙 丙三名射箭运动员在某次测试中各射箭20次 三人的测试成绩如下表s1 s2 s3分别表示甲 乙 丙三名运动员这次测试成绩的标准差 则有a s3 s1 s2b s2 s1 s3c s1 s2 s3d s2 s3 s1 例22从某自动包装机包装的食盐中 随机抽取20袋 测得各袋的质量分别为 单位 g 492496494495498497501502504496497503506508507492496500501499根据频率分布估计总体分布的原理 该自动包装机包装的袋装食盐质量在497 5g 501 5g之间的概率约为 例23对变量x y有观测数 xi yi i 1 2 10 得散点图 对变量u v有观测数据 ui vi i 1 2 10 得散点图 由这两个散点图可以判断a 变量x与y正相关 u与v正相关b 变量x与y正相关 u与v负相关c 变量x与y负相关 u与v正相关d 变量x与y负相关 u与v负相关 例24某工厂有工人1000名 其中250名工人参加过短期培训 称为a类工人 另外750名工人参加过长期培训 称为b类工人 现用分层抽样方法 按a类 b类分二层 从该工厂的工人中共抽查100名工人 调查他们的生产能力 此处生产能力指一天加工的零件数 1 求甲 乙两工人都被抽到的概率 其中甲为a类工人 乙为b类工人 2 从a类工人中的抽查结果和从b类工人中的抽查结果分别如下表1和表2 i 先确定x y 再在答题纸上完成下列频率分布直方图 就生产能力而言 a类工人中个体间的差异程度与b类工人中个体间的差异程度哪个更小 不用计算 通过观察直方图直接回答结论 ii 分别估计a类工人和b类工人生产能力的平均数 并估计该工厂工人的生产能力的平均数 同一组中的数据用该组区间的中点值作代表 七 极值与最值 例25若函数在x 1处取极值 则a 例26函数的最大值为m 最小值为m 则的值为a b c d 定义域为 3 1 当x 1时 函数取最大值当x 3或x 1时 函数取最小值m 2 例27已知二面角 l 为60 动点p q分别在面 内 p到 的距离为 q到 的距离为2 则p q两点之间距离的最小值为a b 2c 2d 4 例28如图 已知抛物线e y2 x与圆m 相交于a b c d四点 1 求r的取值范围 2 当四边形abcd的面积最大时 求对角线ac bd的交点p的坐标 1 联立 消元 得x2 7x 16 r2 0 抛物线e与圆m有四个交点的充要条件是方程 有两个正根x1 x2 2 由 0 x1 x2 0 x1x2 0 列出关于a的不等式组 解不等式组 求得r的取值范围 3 通过x1 x2建立表示四边形abcd的目标函数f t s2 7 2t 2 7 2t 0 t 3 5 其中t2 x1x2 利用求导的方法 解决求函数f t 的最大值 八 应用与创新 主要采用应用问题的形式 主要过程是依据现实的生活背景 提炼相关的数量关系 将实际问题转化为数学问题 构造数学模型 并加以解决 要求考生能理解对问题陈述的材料 并对所提供的信息资料进行归纳 整理和分类 将实际问题抽象为数学问题 应用相关的数学方法解决问题并加以验证 能用数学语言正确地表达和说明 应用问题的命制坚持 贴近生活 背景公平 控制难度 的原则 切合中学数学教学的实际 应用问题的难度符合考生的水平 例29测量河对岸的塔高ab时 可以选与塔底b在同一水平面内的两个测点c与d 现测得 并在点c测得塔顶a的仰角为 求塔高ab 在 bdc中 在 abc中 例30某单位用2160万元购得一块空地 计划在该地块上建造一栋至少10层 每层2000平方米的楼房 经测算 如果将楼房建为x x 10 层 则每平方米的平均建筑费用为 单位 元 为使楼房每平方米的平均综合费用最少 该楼房应建为多少层 注 平均综合费用 平均建筑费用 平均购地费用 平均购地费用 购地总费用 建筑总面积 例31某地有三家工厂 分别位于矩形abcd的顶点a b及cd的中点p处 已知ab 20km bc 10km 为了处理三家工厂的污水 现要在矩形abcd的区域上 含边界 且与a b等距离的一点o处建造一个污水处理厂 并铺设排污管道ao bo op 设排污管道的总长为ykm 按下列要求写出函数关系式 设 boa rad 将y表示成 的函数关系式 设op x km 将y表示成x的函数关系式 请选用 1 中一个函数关系式 确定污水处理厂的位置使三条排污管道总长度最短 例32某车间甲组有10名工人 其中有4名女工人 乙组有5名工人 其中有3名女工人 先采用分层抽样方法 层内采用不放回简单随即抽样 从甲 乙两组中共抽取3名工人进行技术考核 1 求从甲 乙两组各抽取的人数 2 求从甲组抽取的工人中恰有1名女工人的概率 3 理 记 表示抽取的3名工人中男工人数 求 的分布列及数学期望 文 求抽取的4名工人中恰有2名男工人的概率 例33函数的最小值为a 190b 171c 90d 45 例34点p在直线l y x 1上 若存在过p的直线交抛物线y x2于a b两点 且 pa pb 则称点p为 点 那么下列结论中正确的是